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1、1/83学科网（北京）股份有限公司2022 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练【江苏专用】年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练【江苏专用】专题专题 1212 压轴大题突破培优练（二压轴大题突破培优练（二）（精选江苏模拟（精选江苏模拟 3030 道）道）一、解答题一、解答题1（2022江苏无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为（a、b），且 a、b 满足 a24a4?，点 B 为 x 轴上动点，过点 P 作 PCy 轴于点 C(1)求 O、P 两点间的距离；(2)如图 1，点 A 为 y 轴正半轴上一点，连接 PA、PB、AB，若 B（4，0），且 2APB90PAC，求点
2、A 的坐标；(3)如图 2，过点 P 作 PDPB 交 y 轴正半轴于点 D，点 M 为 BD 的中点，点 N（1，0），则 MN 的最小值为（请直接写出结果）【答案】(1)?(2)A（0，?）(3)?【解析】【分析】（1）连接 OP，根据二次根式的性质可求得 b4，a2，运用勾股定理即可求得 OP；（2）过点 B 作 BDCP 交 CP 延长线于点 D，作 BEAP 于点 E，易证四边形 OBDC 是正方形，根据 2APB90PAC，可得 PB 平分APD，由角平分线性质可得 BDBE4，设 OAx，运用三角形面积公式和正方形面积公式计算即可；（3）设 M（x，y），根据点 M 是 BD 中
3、点，可得出 B（2x，0），D（0，2y），根据直角三角形性质可得出 MP?BD，由勾股定理或两点间距离公式可得出 y?x+?，即点 M 的运动轨迹是直线 y?x+?，根据点到直线距离垂线段最短即可求得答案(1)解：如图 1，连接 OP，2/83学科网（北京）股份有限公司a2+4a+4?，（a+2）2?，?，b4，a2，P（2，4），PCOC，PC2，OC4，OP?；(2)解：如图 2，过点 B 作 BDCP 交 CP 延长线于点 D，作 BEAP 于点 E，B（4，0），C（0，4），OBOC4，BOCOCDBDC90，四边形 OBDC 是正方形，BDOBOC4，2APB90PAC，BPD+
4、APB90+PAC，BPDAPB，即 PB 平分APD，3/83学科网（北京）股份有限公司BDPD，BEPA，BDBE4，设 OAx，则 AC4x，PA?h?h?h?，SABPS正方形OBDCSBDPSAPCSAOB，?h?h?444?42?2（4x）?4x，解得：x14（舍去），x2?，经检验：h?符合题意，A（0，?）；综上所述，点 A 的坐标为（0，?）；(3)解：如图 3，设 M（x，y），点 M 是 BD 中点，点 B、D 分别在 x 轴、y 轴上，B（2x，0），D（0，2y），DPB90，DMBM，MP?BD，h?h?，化简，得：y?x+?，点 M 的运动轨迹是直线 y?x+?，
5、MN 的最小值即为点 N（1，0）到直线 y?x+?的距离，过点 N 作直线 y?x+?的垂线，垂足为 Q，设直线交 y 轴于点 H，交 x 轴于点 G，则 OG5，OH?，GQNGOH90，NGQHGO，4/83学科网（北京）股份有限公司NGQHGO，?注?注?，即 QNGHGNOH，GNOGON4，GH?，QN?4?，解得：QN?，MN 的最小值为?故答案为?【点睛】本题主要考查了二次根式性质，勾股定理，两点间距离公式，正方形判定和性质，角平分线判定和性质，三角形面积公式，直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，一次函数图象和性质，熟练掌握相关知识，灵活运用转化思想将求 MN 最小值转化为
6、点到直线距离是解题关键2（2022江苏宿迁一模）如图 1，探照灯、汽车前灯的反光曲面都是“抛物镜面”，它是由过等腰直角三角形（?t?）顶点的抛物线绕着对称轴旋转一周所形成的，我们将抛物线和线段?t 所围成的封闭图形称之为“碗形”，记作“碗形?t?”，其中抛物线部分叫“标准线”，记作“标准线?t”，抛物线的顶点 C 称为“碗顶”，直角三角形的斜边?t 的长度称为“碗宽”，碗顶 C 到?t 的距离称为“碗高”(1)若碗形?t?的碗宽是?cm，则碗高是_cm（直接写出结果）(2)如图 2，碗形?t?的碗宽为 4，点 A 与坐标原点重合，点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在x 轴下方，求标准线?t
7、 的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）(3)将（2）中的碗形?t?绕点 B 顺时针旋转得到碗形?t?，旋转角为?，且 tan?标准线?t、标准线?t 和线段?围成的封闭图形的面积为_（直接写出结果）5/83学科网（北京）股份有限公司过点?作?t 交?t 于点 D，交?t 于点 F试求?的值【答案】(1)?(2)?h?h(3)?cm2；?【解析】【分析】（1）根据定义直接求等腰?t?t?斜边上的高即可，（2）根据定义可得等腰?t?t?，碗形?t?的碗宽为 4，可得 t 的坐标，根据（1）的方法求得?的坐标，进而待定系数法求解析式即可；（3）根据旋转的性质可得碗形?t?的面积和碗形?t?的面
8、积相等，则标准线?t、标准线?t 和线段?围成的封闭图形的面积即碗形?t?的面积加上?t减去碗形?t?的面积，即?t，根据旋转角度的正切值，进而求得?的坐标，即可求得?t，即标准线?t、标准线?t 和线段?围成的封闭图形的面积；过点?作?t，连接 t?，根据旋转的性质可得?为碗形?t?的碗高，等于碗形?t?的碗高，根据（2）可得?，进而根据?th?t 可得?，进而求得?的长，t?的长，勾股定理即可得?的长，t?的长，根据旋转可知 t?t?，进而勾股定理即可求得?的长，然后即可求得比值(1)解：?碗形?t?的碗宽是?cm?t?在?t?t?中，?t?sin?设碗高是 hcm，则?t?h?h?故答案
9、为：?；(2)?碗形?t?的碗宽为 4，即?t?t h?如图，过点?作?h 轴，6/83学科网（北京）股份有限公司?在等腰?t?t?中，t?t?sin?碗高是?cm，则?t?h?t?是等腰三角形?t?t?h?设标准线?t 的函数表达式为?h?将点 t h?代入得，?解得?标准线?t 的函数表达式为?h?h?h即?h?h?h?(3)解：如图，延长 t?交?轴于点?，过点?分别作 hh?轴的垂线段，?h?，垂足分别为?h?，则四边形?是矩形，7/83学科网（北京）股份有限公司?t?tan?t?tan?t?t?tan?，?在?t?t 中，设?，则 t?t?t?t?t?，?t t?h?t?t?（平方厘
10、米）根据旋转的性质可得碗形?t?的面积和碗形?t?的面积相等，?标准线?t、标准线?t 和线段?围成的封闭图形的面积?碗形?t?t?碗形?t?t?（平方厘米）故答案为：?（平方厘米）如图，过点?作?t，连接 t?，?旋转?为碗形?t?的碗高，等于碗形?t?的碗高，根据（2）可得?，?th?t8/83学科网（北京）股份有限公司?t?tan?t?设?tan?t?t?h?t?在?t?t 中，t?t?h?t?t?t?【点睛】本题考查了旋转的性质，待定系数法求解析式，解直角三角形，理解题意，作出辅助线是解题的关键3（2022江苏宿迁一模）2022 年 2 月 4 日，第 24 届冬季奥林匹克运动会在北京
11、胜利召开，在冬奥会期间，北京某校打算组织部分师生利用周日时间到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当日共有 A、B 两场比赛，两场比赛的票价如下图所示，其中 x 轴表示一次性购票人数，y 轴表示每张票的价格，如：一次性购买 A 场比赛门票 10 张，票价为 400 元/张，若一次性购买 A 场比赛门票 80 张，则每张票价为 200 元(1)若一次性购买 B 场比赛门票 10 张，则每张票价为_元（直接写出结果）9/83学科网（北京）股份有限公司(2)若一次性购买 A 场比赛门票?张，需支付门票费用多少元？（用 a 的代数式表示）(3)该校共组织 120 人（每人购买一张门票）分两组分别
12、观看 A、B 两场比赛，共花费 32160元，若观看 A 场比赛的人数不足 50 人，则有多少人观看了 B 场比赛？【答案】(1)?(2)?(3)99 或 72【解析】【分析】(1)对于B场门票，求得当?h?时，票价?与购票人数h 之间的函数关系式，把h?代入即可；(2)对于 A 场门票，求得?h?时，票价?与购票人数 h 之间的函数关系式，把 h?代入即可求解；(3)设观看 A 场比赛的人数为 h 人，h?，则观看 B 场比赛的人数为?h 人，根据题意应分两种情况：第一种情况：当?h?；第二种情况：当?h?时分别列出方程进行求解即可(1)解：对于 B 场门票，当?h?时，票价?与购票人数 h
13、 之间的函数关系式为?h?，该直线过点(70，240)，(0，450)，可得?，解得?，?h?，当 h?时，?，一次性购买 B 场比赛门票 10 张，则每张票价为?元，故答案为：?；(2)解：对于 A 场门票，当?h?时，票价?与购票人数 h 之间的函数关系式为?h?，10/83学科网（北京）股份有限公司该直线过点(30，400)，(70，200)，可得?，解得?，?h?，当 h?时，?，若一次性购买 A 场比赛门票?张，需支付门票费用?元；(3)解：设观看 A 场比赛的人数为 h 人，h?，则观看 B 场比赛的人数为?h 人，根据题意应分两种情况：第一种情况：当?h?，由题意得?h?h?，解
14、得 h?，观看了 B 场比赛的有?人；第二种情况：当?h?时，由题意得?h?h?h?，解得h?，h?(不合题意舍去)，观看 B 场比赛的人数有?人，综上可得，观看 A 场比赛的人数不足 50 人，则有 人或 72 人观看了 B 场比赛【点睛】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数的解析式及一次方程的应用，分类讨论分段求解是解题的关键4（2022江苏宿迁一模）如图 1，已知矩形?t?的边长?t?cm，t?cm某一时刻，动点 M 从点 A 出发，沿?t 以?cm?s 的速度向点 B 匀速运动：同时点 N 从点 D 出发，沿?方向以?cm?s 的速度向点 A 匀速运动，点 N 运动到点 A 时停
15、止运动，运动时间为 t(1)若?t注 是等腰直角三角形，则 t?_（直接写出结果）(2)是否存在时刻 t，使以 A、M、N 为顶点的三角形与?相似？若存在，求 t 的值，若不存在，请说明理由(3)如图 2，连接?注、?t，试求?注?t 的最小值11/83学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)2(2)存在，理由见解析(3)15【解析】【分析】（1）根据题意可知只有?t?注 时，?t注 是等腰直角三角形，再根据题意可用 t 表示出?t?t，?注?t，列出等式，解出 t 即可；（2）分类讨论当?注t?时和当?注t?时，列出比例式，代入数据，即可求解；（3）取 CN 中点 E，作 E 点关于 CD
16、的对称点?，连接?作 M 点关于 BC 的对称点t?，连接?t?，?t?根据作图可知?，?t?t，即可知当?t?最小时?注?t最小，即最小值为?t?的长连接?并延长，交 CD 于点 F，AB 于点 G由作图结合题意易求出?t?，t?t?，tt?tt?t?t?t，从而可求出?t?t?tt?t在?t?t?中，利用勾股定理可求出?t?t?t?，最后根据二次函数的性质，即得出 t?时，?t?最小，即此时?t?，故可求出?注?t 的最小值为 15(1)?t?注?，若?t注 是等腰直角三角形时，只有?t?注根据题意可知?t?t，?注?t，则?注?注?t，t?t，解得 t?，故答案为：2(2)?t?注?，以
17、 A、M、N 为顶点的三角形与?相似分为两种情况，当?注t?时，有?注?t，即?t?t，解得：t?；当?注t?时，有?t?注，即?t?t，解得：t?当 t?或 t?时，以 A、M、N 为顶点的三角形与?相似；(3)12/83学科网（北京）股份有限公司如图，取 CN 中点 E，作 E 点关于 CD 的对称点?，连接?作 M 点关于 BC 的对称点t?，连接?t?，?t?根据作图可知?，?t?t，?注?t?t?t?，当?t?最小时?注?t 最小，?t?t?，?t?的最小值为?t?的长，即?注?t 的最小值为 2?t?的长如图，连接?并延长，交 CD 于点 F，AB 于点 G作 E 点关于 CD 的
18、对称点?，?，?又E 为中点，?注?t，G 为 AB 中点，?t?，t?t?作 M 点关于 BC 的对称点t?，tt?tt?t?t?t，?t?t?tt?t?t在?t?t?中，?t?t?t?t?t?，t?，?t?时，?t?最小，即?t?注?t?t?【点睛】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形性质，相似三角形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系的应用，三角形中位线的判定和性质，勾股定理以及二次函数的性质（3）综合性强，较为困难，作出辅助线，利用三角形三边关系判断出?注?t 的最小值为 2?t?的长是解题关键13/83学科网（北京）股份有限公司5（2022江苏无锡一模）如图，抛物线 y=ax2-2ax
19、-3a（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C，且 OB=OC(1)求抛物线的解析式；(2)如图，若点 P 是线段 BC（不与 B，C 重合）上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于M 点，连接 CM，当PCM 和ABC 相似时，求此时点 P 的坐标；(3)若点 P 是直线 BC（不与 B，C 重合）上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于 M 点，连接 CM，将PCM 沿 CM 对折，如果点 P 的对应点 N 恰好落在 y 轴上，求此时点 P 的坐标；【答案】(1)?h?h?(2)?，?或?，?(3)?，?或?，?【解析】【分析】（1）
20、在抛物线 yax22ax3a（a0）中，令 y0，得出点 A、B 坐标，再根据 OBOC，建立方程求出 a 的值即可得到二次函数的解析式；（2）易证CPMOBC，则可分两种情况讨论：当PCMBAC 时，当PCMBCA 时；求出直线 BC 解析式，设点 M 的坐标为（m，m22m3），则 P 的坐标为（m，m3），分别表示出 PM，PC，利用相似三角形的性质列出比例式，求出 m 的值即可得到对应的点 P 的坐标；（3）分三种情况讨论：当点 P 在线段 BC 上时（不与 B，C 重合），根据折叠的性质和平行线的性质证明PCMPMC，则 PCPM，然后列方程求解即可得出 P 点坐标；当点 P 在线段
21、 CB 的延长线上时，同理可求 P 点坐标；当点 P 在线段 BC 的延长线上时，点P 的对应点 N 不可能落在 y 轴上，此情况不存在(1)解：在 yax22ax3a（a0）中，令 y0，得：ax22ax3a0，14/83学科网（北京）股份有限公司解得：x13，x21，A（1，0），B（3，0），OB3，OBOC，OC3，C（0，3），3a3，a1，抛物线解析式为：yx22x3；(2)解：OBOC3，OA1，BOC90，OBCOCB45，AB4，BC?，PMx 轴，PMy 轴，CPMOCB45，CPMOBC，分情况讨论：当PCMBAC 时，设直线 BC 解析式为 ykxb，代入 B（3，0）
22、，C（0，3）得：?，解得：?，直线 BC 解析式为：yx3，设点 M 的坐标为（m，m22m3），则 P 的坐标为（m，m3），PMm3（m22m3）m23m，PC?，PCMBAC，?t?tt?，即?，整理得：?，解得：?或?（舍去），当?时，m3?，此时 P 的坐标为（?，?）；当PCMBCA 时，则有?t?t?t，由可得?，15/83学科网（北京）股份有限公司整理得：?，解得：?或?（舍去），当?时，m3?，此时 P 的坐标为（?，?）；综上所述：当PCM 和ABC 相似时，点 P 的坐标为（?，?）或（?，?）；(3)解：分三种情况讨论：当点 P 在线段 BC 上时（不与 B，C 重合
23、），由（2）可知直线 BC 解析式为：yx3，设点 M 的坐标为（m，m22m3），则 P 的坐标为（m，m3），PMm3（m22m3）m23m，PC?，PCM 沿 CM 对折，点 P 的对应点 N 恰好落在 y 轴上，PCMNCM，PMy 轴，NCMPMC，PCMPMC，PCPM，?，整理得：?，解得：?，m20（舍去），当 m?时，m3?，此时 P 的坐标为?，?；当点 P 在线段 CB 的延长线上时，由（3）中情况可知：PMm22m3（m3）m23m，PC?，PCPM，?，16/83学科网（北京）股份有限公司整理得：?，解得：?，m20（舍去），当 m?时，m3?，此时 P 的坐标为?，
24、?；当点 P 在线段 BC 的延长线上时，点 P 的对应点 N 不可能落在 y 轴上，故此情况不存在；综上所述：当点 P的对应点 N恰好落在y 轴上时，点P 的坐标为?，?或?，?【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质以及解一元二次方程等知识点，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题关键6（2022江苏宿迁一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过?h?，t?h ，?h?三点(1)求抛物线的解析式；(2)若点 t 为第三象限内抛物线上一动点，点 t 的横坐标为?，?tt 的面积为?，求?关于?的函
25、数关系式，并求出?的最大值(3)若点?是抛物线上的动点，点?是直线?h 上的动点，若以点?、?、t、?为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点?的坐标【答案】(1)?h?h ；(2)?，4；(3)Q 点的坐标为（4，）或（?，?）或（?，?）或（-4，）.【解析】17/83学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先假设出函数解析式，利用待定系数法求解函数解析式；（2）设出 M 点的坐标，利用 S=SAOM+SOBM-SAOB 即可进行解答；（3）当 OB 是平行四边形的边时，表示出 PQ 的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当 OB 是对角线时，由图可知点 A 与 P 应该重
26、合(1)解：设抛物线解析式为?h?h?，将?h?，t?h ，?h?三点代入得，?解得?，?抛物线解析式为?h?h ；(2)解：?点 t 的横坐标为?，点 t 为第三象限内抛物线上一动点，?t 的坐标为（?，?），?S=SAOM+SOBM-SAOB?，?，?当?时，S 有最大值为 4；(3)解：设 P（h，?h?h ），当 OB 为边时，根据平行四边形的性质得?th?t，?点 Q 的横坐标等于 P 的横坐标，又?直线的解析式为?h，?（h，h），?h?h?h?，解得 h?h h?，h?不合题意，应舍去，如图，当 OB 为对角线时，点 A 与 P 重合，OP=4，四边形 PBQO 为平行四边形，则
27、 BQ=OP=4，点 Q 的横坐标为 4，?（4，），综上，Q 点的坐标为（4，）或（?，?）或（?，?）或（-4，18/83学科网（北京）股份有限公司）【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求抛物线解析式，坐标与图形性质，三角形面积求法，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论求得结果7（2022江苏宿迁一模）某园林专业户王先生计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润?与投资量 h 成正比例关系，如图 1 所示；种植花卉的利润?与投资量 h 成二次函数关系，如图 2 所示（图中实线部分）(
28、1)分别求出?与?关于投资量 h 的函数解析式；(2)王先生以总资金 万元投入种植花卉和树木，且投入种植花卉的资金不能超过投入种植树木资金的?倍设王先生投入种植花卉资金?万元，种植花卉和树木共获利?万元，求?关于?的函数解析式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？(3)若王先生想获利不低于?万，在（?）的条件下，直接写出投资种植花卉的资金?的范围【答案】(1)?h，?h?19/83学科网（北京）股份有限公司(2)他至少获得 17 万元利润，他能获取的最大利润是 42 万元(3)当?时，王先生获利不低于?万【解析】【分析】（1）设种植树木的利润?与投资量 h 的解析式为?h，种植花
29、卉的利润?与投资量 h 的解析式为?h?，然后利用待定系数法求解即可；（2）王先生投入种植花卉资金?万元，则其投入种植树木资金为?万元，根据题意可得?，由此利用二次函数的性质求解即可；（3）根据题意可列不等式?，据此求解即可(1)解：设种植树木的利润?与投资量 h 的解析式为?h，种植花卉的利润?与投资量 h 的解析式为?h?，由题意得：?，?，?，?h，?h?；(2)解：王先生投入种植花卉资金?万元，则其投入种植树木资金为?万元，?，投入种植花卉的资金不能超过投入种植树木资金的?倍，?，?，?，当?时，?最小?，当?时，?最大?，他至少获得 17 万元利润，他能获取的最大利润是 42 万元；
30、(3)解：由题意得?，?，?或?，解得?或?（舍去），当?时，王先生获利不低于?万【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识20/83学科网（北京）股份有限公司8（2021江苏省锡山高级中学实验学校三模）在平面直角坐标系 h?中，抛物线?h?h?与 y 轴交于点 A，直线?h?经过点 A，并与抛物线相交于另一点 B，抛物线对称轴?与 x 轴交于点 C，若?t 恰被直线?平分；(1)求?_求抛物线解析式；(2)M 为线段?t 上一点，其横坐以标为 3，过 M 作直线?垂直于 x 轴，动直线?t 且始终与抛物线相交于 P、Q 两点（P
31、、Q 不与 A、B 重合）；求证：无论?运动到何处，始终有?t?被?分成面积相等的两部分【答案】(1)3；?h?h?(2)见解析【解析】【分析】(1)根据抛物线的解析式确定点 A(0，n)，把点 A 的坐标代入解析式?h?中即可确定n 的值；过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D，根据?t 恰被直线?平分，得证CAO=CBD，根据tanCAO=tanCBD，确定点 B 的坐标为(6，6)，代入二次函数的解析式即可(2)设 P(h?，?)，Q(h?，?)，设 PQ 的解析式为?h?t，PQ 的中点为 N，利用根与系数关系定理，证明 N 在直线?上，从而证明 MN 是MPQ 的边 PQ 上的中线，根
32、据等底同高的三角形面积相等即可得证(1)抛物线?h?h?与 y 轴交于点 A，点 A(0，n)，直线?h?经过点 A，n=3，故答案为：321/83学科网（北京）股份有限公司如图，过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D，设直线?与 AB 的交点为 E，?t 恰被直线?平分，AOBD?，CAO=ACE=BCE=CBD，抛物线?h?h?与 y 轴交于点 A，点 A(0，3)，对称轴为直线 x=?=2，AO=3，OC=2，tanCAO=tanCBD，?t?，设 CD=2h，则 BD=3h，故点 B 的坐标为(2+2h，3h)，代入解析式?h?中，得 3h=?，解得 h=2，点 B 的坐标为(6，6)，
33、代入解析式?h?h?中，解得?，抛物线的解析式为?h?h?(2)设 P(h?，?)，Q(h?，?)，PQ 的中点为 N，则 N 的坐标为(h?h?，?)；M 的横坐以标为 3，过 M 作直线?垂直于 x 轴，直线?的解析式为直线 x=3；动直线?t，直线 AB 为?h?，不妨设 PQ 的解析式为?h?t，22/83学科网（北京）股份有限公司根据题意，得h?，h?是方程?h?t?h?h?即h?h?t?的两个根，h?+h?=6，N 的坐标为(3，?)；点 N 在直线?上，MN 都在直线?上，MN 是MPQ 的边 PQ 上的中线，根据等底同高的三角形面积相等，?t?注?t?注，无论?运动到何处，始终
34、有?t?被?分成面积相等的两部分【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线解析式的确定，锐角三角函数的应用，一次函数图像平行的特点，根与系数关系定理，三角形中线的性质，熟练掌握抛物线的性质，灵活运用等角的三角函数值相等原理，中线的性质是解题的关键9（2021江苏省锡山高级中学实验学校三模）现有一辆装满防疫物资的大货车从 A 地沿一直线公路以 60 千米/小时的速度匀速驶向 B 地，B 地志思者协会在得到消息后决定派出志愿者车队前去接收大货车物资，志愿者的私家车车队出发时比大货车晚 1 个小时，车队匀速行驶途中接到志愿者协会中心电话，由原接收大货车物资改为接收从 A 地发出的另一批滞后物资，
35、大货车物资按原计划送达 B 地志愿者车队在遇到滞后物质后，立刻停车装卸搬运共花费 1 个小时，然后掉头按原速原路返回 B 地（掉头时间忽略不计），并与大货车同时到达 B 地 已知大货车和志愿者车队与 B 地之间的距离 y（千米）与志愿者车队所用时间 x（小时）的关系如图所示，请结合图象回答下列问题：(1)A、B 两地之间相距_千米；志愿者车队的速度是_千米/小时；(2)求志愿者车队過大货车并鸣笛致敬时，大货车离出发地有多远；(3)当大货车与志愿者车队相距 30 千米时，大货车出发多长时间？【答案】(1)480，90(2)22823/83学科网（北京）股份有限公司(3)当大货车与志愿者车队相距
36、30 千米时，大货车出发 3.6 小时或 4 小时或 7 小时【解析】【分析】（1）根据题意可知当志愿者车队出发时，大货车已经行驶了 60 千米，由函数图象可知当 h?时，大货车距离 B 地的距离为 420 千米，由此即可求出 A、B 两地之间相距 420+60=480千米；然后求出志愿者车队的实际行驶时间为 8-1-1=6 小时，由函数图象可知志愿者接收物资的地点距离 B 地 270 千米，即可求出志愿者车队的速度；（2）设志愿者车队出发 t 小时，两车相遇，根据两车相遇时行驶路程之和为 A、B 两地的距离，列方程求解即可；（3）分三种情况：当第一次两车相遇前，当第一次两车相遇后，志愿者车队
37、没有返回时，当志愿者车队返回时，三种情况讨论求解即可(1)解：志愿者车队比大货车车队晚出发一小时，当志愿者车队出发时，大货车已经行驶了 60 千米，由函数图象可知当 h?时，大货车距离 B 地的距离为 420 千米，A、B 两地之间相距 420+60=480 千米；整个过程中大货车的行驶时间=48060=8 小时，志愿者车队比大货车晚出发 1 小时，中间卸货停留一小时，志愿者车队的实际行驶时间为 8-1-1=6 小时，由函数图象可知志愿者接收物资的地点距离 B 地 270 千米，志愿者车队的速度=（270+270）6=90 千米/小时(2)解：设志愿者车队出发 t 小时，两车相遇，由题意得?h
38、?h?，解得 h?，大货车离出发地的距离?千米；(3)解：设大货车的出发时间为 m，当第一次两车相遇前，大货车与志愿者车队相距 30 千米时?，解得?；当第一次两车相遇后，志愿者车队没有返回时，?，解得?，当志愿者车队返回时，?，解得?，24/83学科网（北京）股份有限公司综上所述，当大货车与志愿者车队相距 30 千米时，大货车出发 3.6 小时或 4 小时或 7 小时【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，正确读懂函数图象是解题的关键10（2022江苏无锡一模）如图，抛物线 y?x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B左边），与 y 轴交于点 C直
39、线 y?x2 经过 B、C 两点(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 是抛物线上的一动点，过点 P 且垂直于 x 轴的直线与直线 BC 及 x 轴分别交于点 D、25/83学科网（北京）股份有限公司MPNBC，垂足为 N设 M（m，0）当点 P 在直线 BC 下方的抛物线上运动时，是否存在一点 P，使PNC 与AOC 相似若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)?h?h?；(2)?的坐标为?h?或?，?【解析】【分析】（1）先求出 B、C 的坐标，再代入抛物线解析式中，即可求解；（2）先求出 P、M、D 的坐标，再判断出AOC 与COB 相似，得出?th?t?，当PNC?
40、AOC，得出?注?，继而得出?th即可得出结论；当PNC?COA，得出?注?，继而得出?，即可得出结论；(1)针对于直线?h?，令 h?，则?，?h?，令?，则?h?，?h?，?t?h?，将点 t，?坐标代入抛物线?h?h?中，得?，?抛物线的解析式为?h?h?；(2)存在，?PNBC，垂足为 N设 M（m，0），?，?，?，?由（1）知，抛物线的解析式为?h?h?，令?，则?h?h?，?h?或 h?，?点?h?，?，?t?h?，?h?，?t?，?，26/83学科网（北京）股份有限公司?t，?t?，?AOC?COB，?th?t?，?注?与?相似，?当?注?，?注?，?注?t?，?t，?点?的纵
41、坐标为?，?，?（舍?或?，?h?；当?注?时，?注?，?t?，?，?t?，?，?，又?h?，?h?，?h?，?，?，?，?或?（舍?，?，?即满足条件的点?的坐标为?h?或?，?【点睛】本题考查二次函数综合题，主要涉及到待定系数法，相似三角形的判定及其性质，中点坐标公式，利用方程的思想解本题的关键11（2022江苏宿迁一模）某种蔬菜在 36 月份的销售单价与销售月份之间的关系如图（甲）所示，成本与销售月份之间的关系如图（乙）所示（图（甲）中 4 个点在一条直线上，图27/83学科网（北京）股份有限公司（乙）中的 4 个点在一条抛物线上）(1)求该蔬菜 5 月份的销售单价（精确到 0.1 元）
42、(2)求该蔬菜 4 月份每千克的成本（精确到 0.1 元）(3)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？每千克的最大收益是多少元？（收益售价成本）【答案】(1)该蔬菜 5 月份的销售单价为 3.7 元；(2)蔬菜 4 月份每千克的成本为 2.3 元；(3)5 月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，每千克的最大收益是 2.3 元【解析】【分析】（1）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出每千克蔬菜销售单价?与销售月份h 之间的关系式，再把 h?代入解析式求函数值即可；（2）利用待定系数法求出每千克成本与销售月份之间的关系式，再把 h?代入解析式求函数值即可；（3）由收益?每千克售价成本列出?与
43、 h 的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值(1)设该蔬菜销售单价?与销售月份 h 之间的关系式为?h?，将（3，5）和（6，3）代入得，?，解得：?，?h?，当 h?时，?，该蔬菜?月份的销售单价为?元；(2)设成本与销售月份之间的关系式为：?h?，把（3，4）代入得，?，28/83学科网（北京）股份有限公司解得，?h?，即?h?h?，当 h?时，?，该蔬菜 月份每千克的成本为?元；(3)设销售每千克蔬菜的收益为?元，根据题意得：?h?h?h?h?，?，当 h?时，?有最大值，最大值为?，?月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，每千克的最大收益是?元【点睛】本题考查了用二次函数的实际应用以
44、及用待定系数法求函数解析式，解题关键理解题意正确列出关系式12（2022江苏宿迁一模）我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解如图（甲），把方程 x21x 的解看成函数 yx2 的图象与函数 y1x 的图象的交点的横坐标，求得方程 x21x 的解为 x1.5(1)如图（乙），已画出了反比例函数?h在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程 2x22x10 的正数解（要求画出相应函数的图象，结果精确到 0.1）(2)选择：三次方程 x3x22x+10 的根的正负情况是A，有两个负根，一个正根B有三个负根C有一个负根，两个正根D有三个正根【答案】(1)1.4；见解析；29/83学科网（北京）股份有
45、限公司(2)C【解析】【分析】（1）根据题意可知，方程?h?h?的解可看作是函数?h与函数?h?的交点坐标，所以根据图象可得正数解约为?；（2）方程h?h?h?变形为h?h?h，在坐标系中画出函数?h?h?与函数?h的图象，根据图象的交点情况即可判断(1)h?，将?h?h?两边同时除以 h，得?h?h?，即?h?h?，把?h?h?的正数解视为由函数?h与函数?h?的图象在第一象限交点的横坐标如图：正数解约为?；(2)关于 h 的方程h?h?h?变形为h?h?h，在坐标系中画出函数?h?h?与函数?h的图象如图：30/83学科网（北京）股份有限公司，由图象可知，函数?h?h?与函数?h的交点在第
46、三象限一个，第四象限两个，关于 h 的方程h?h?h?有两个正根，一个负根，故选：C【点睛】本题考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系，一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解13（2021江苏淮安一模）如图，抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B的左边），与 y 轴交于 C 点，点 D 是抛物线的顶点(1)求 B、C、D 三点的坐标；(2)连接 BC，BD，CD，设点 P 的横坐标为 m，当 SPBCSBCD 时，求 m 的值（点 P 不与点 D 重合）；(3)连接 AC，将AOC 沿 x 轴正方向平移，设移动距离为 a，停止运动，设运动
47、过程中AOC与OBC 重叠部分的面积为 S，并写出相应自变量 a 的取值范围31/83学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)B（3，0），C（0，3），D（1，4）(2)?或?或 2(3)?【解析】【分析】（1）令 y=0，解方程即可求得 A、B 的坐标，令 x=0，即可求得 C 的坐标，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据待定系数法求得直线 BC 的解析式，过点 D 作 DEy 轴，交 BC 于点 E，则 xD=1=xE，求得 yE=-2，DE=2，进而得出 SBCD=SBED+SCDE=?21+?22=3，然后分两种情况分别讨论求得即可；（3）分三种情况：当 0a1 时，根据
48、S=SAOC-SAOE-SFGC即可求得；当 1a3时，如图 4，根据 S=SAOC-SFGC=即可求得；当 3a4 时，如图 5，S=?（4-a）?（4-a）(1)解：当 y0 时，x22x30，解得 x11，x23，A（1，0），B(3，0），当 x0 时，y3，C（0，3），yx28x3（x1）34，D（1，4）；(2)设 BC：ykx+b，将 B（3，0），C(0，3）代入得：?，解得：?，直线 BC 为 yx3，过点 D 作 DEy 轴，交 BC 于点 E，xD1xE，yE2，DE2，SBCDSBED+SCDE?21+?22=3，过点 P 作 PQy 轴，交直线 BC 于点 P(m，
49、m22m3），Q（m，m-3），当 P 是 BC 下方抛物线上一点时，如图 1，32/83学科网（北京）股份有限公司?t?t?m11（舍），m22，当 P 是 BC 上方抛物线上一点时，如图 2，?t?t?,解得 m1?，m2?，综上：m 的值为?或?或 2；(3)当 0a1 时，如图 3，33/83学科网（北京）股份有限公司OA1a，OCOC3，?即?，OE33a，CE3a，?t?t，即?，OG3a，GCa，?3，FCG 边 CG上的高为?a，SSAOCSAOESFGC?13?（1-a）（3-3a）-?a?a=-?a2+3a；当 1a3 时，如图 4，34/83学科网（北京）股份有限公司GC
50、a，FCG 边 CG上的高为?a，SSAOCSFGC?13?a?a?a2+?；当 3a4 时，如图 5，AB4a，CCa，设AFB 边 AB 上的高为 h，则CFC边 CC的高为 3h，AFBCFC，?，解得 h?(4-a)，S?（4a）?(4-a)=?a23a+6；综上，?【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，抛物线的交点坐标，三角形的面积等，分类讨论思想的应用是解题的关键14（2021江苏淮安二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点A 和点 B（1，0），与 y 轴交于点 C（0，3）35/83学科网（北京）股份有限公司(1)求抛