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1、压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)1.(2016浙江)如图，设椭圆y21(a1).(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.解(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AM，由得(1a2k2)x22a2kx0，故x10，x2，因此|AM|x1x2|.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k20，k1k2.由(1)知，|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由
2、于k1k2，k1，k20得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22).因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a，由e，得00)交于A，B两点，且3，其中O为坐标原点.(1)求p的值；(2)当|AM|4|BM|最小时，求直线l的方程.解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为xmy.联立消去x，得y22pmyp20.y1y22pm，y1y2p2.3，x1x2y1y23.又x1x2，p23p24.p0，p2.(2)由抛物线定义，得|AM|x1x11，|BM|x2x21，|
3、AM|4|BM|x14x25259，当且仅当x14x2时取等号.将x14x2代入x1x21，得x2(负值舍去).将x2代入y24x，得y2，即点B.将点B代入xmy1，得m.直线l的方程为xy1，即4xy40.3.已知动点S(x，y)到直线l：x2的距离是它到点T(，0)的距离的倍. (1)求动点S的轨迹C的方程；(2)设轨迹C上一动点P满足：2，其中M，N是轨迹C上的点，直线OM与ON的斜率之积为，若Q(，)为一动点，E1(，0)，E2(，0)为两定点，求|QE1|QE2|的值.解 (1) 点S(x，y)到直线x2的距离，是到点T(，0)的距离的倍，则|x2| ，化简得1.所以轨迹C的方程为
4、1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则2，即xx12x2，yy12y2，因为点P，M，N在椭圆1上，所以x2y4，x2y4，x22y24，故x22y22(x2y)42(x2y)4(x1x22y1y2)421624(x1x22y1y2)4，设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，kOMkON，因此x1x22y1y20，所以2421，所以点Q是椭圆2421上的点，而E1，E2恰为该椭圆的左，右焦点，所以由椭圆的定义可得，|QE1|QE2|2.4.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(1，0)与F2(1，0)的距离之和为4.(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与
5、x轴负半轴交点为A，过点M(4，0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点(B在M、C之间)，N为BC中点.证明：kkON为定值；是否存在实数k，使得F1NAC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由.(1)解由已知可得：曲线C是以两定点F1(1，0)和F2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，所以a2，c1b，故曲线C的方程为1.(2)证明设过点M的直线l的方程为yk(x4)，设B(x1， y1)，C(x2， y2)(x2x1).联立方程组得(4k23)x232k2x64k2120，则故xN，yNk(xN4).所以kON，所以kkON为定值.解若F1NAC，则kACkF1N1，因为F1(1，0)，kF1N，因为A(2，0)，kAC，故1，代入y2k(x24)得x228k2，y22k8k3，而x22，故只能k0，显然不成立，所以这样的直线不存在.