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1、 考点十一 函数与方程 知识梳理 1函数的零点(1)函数零点的定义 函数 yf(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)函数的零点、方程的根、函数图象与 x 轴交点三者间关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 2函数零点存在性定理 若函数 yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0 0 0)的图象 与 x 轴的交点 两个交点 一个交点 无交点 零点个数 2 1 0 4二分法 对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把函数 f(x)的零
2、点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 5二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间(a，b)，验证 f(a)f(b)0；第二步，求区间(a，b)的中点 x1；第三步，计算 f(x1)；若 f(x1)0，则 x1就是函数的零点；若 f(x1)f(a)0，则令 ax1(此时零点 x0(x1，b)；第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步 典例剖析 题型一 函数零点的判断和求解 例 1 函数 f(x)4x4 在区间1，3上有 零点.答案 一个 解析 因为 f(x)4x4=，所以函数 f(x)4x4 在区间1，3上有一个零点
3、 2.变式训练 函数有零点的区间是 答案(2，3)解析 .解题要点 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理 当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断 题型二 零点个数问题 例 2 已知函数 f(x)ln(x1)1x，试求函数的零点个数 解析 令 f(x)0，即 ln(x1)1x，在同一坐标系中画出 yln(x1)和 y1x的图象，可知两个图象有两个交点，f(x)有两个零点 变式训练 函数的零点个数是 答案 1 个 解析 函数的零点，即方程的解，研究函数与图象的交点，作出两个函数的图象如图，
4、可知有一个交点，故有一个零点.解题要点 判断函数零点个数的三种方法:(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 题型三 参数范围问题 例 3(1)函数 f(x)4xx2a 的零点的个数为 3，则 a (2)函数 y12|x|m 有两个零点，则 m 的取值范围是_ 答案(1)4 (2)(0
5、，1)解析 (1)令函数 f(x)=|x24x|a=0，可得|x24x|=a由于函数 f(x)=|x24x|a 的零点个数为 3，故函数 y=|x24x|的图象和函数 y=a 的图象有 3 个交点，如图所示：故 a=4故答案为 4 (2)在同一直角坐标系内，画出 y112|x|和 y2m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故 0m1.变式训练 设方程|x23|a 的解的个数为 m，则 m 不可能等于_ 答案 1 解析 在同一坐标系中分别画出函数 y1|x23|和 y2a 的图象，如图所示 可知方程解的个数为 0,2,3 或 4，不可能有 1 个解 解题要点 数形结合是解决此类问题的基本思想
6、，其要点是通过构造函数，把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，从而借助图象来求出参数的范围 题型四 用二分法求方程的近似解 例 4 设，用二分法求方程在区间上近似解的过程中，计算得到，则方程的根落在区间_ 答案 解析 因为根据零点存在定理知，方程的根落在区间内.变式训练 用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次经计算 f(0)0，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_ 答案(0，0.5)，f(0.25)解析 因为用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次经计算 f(0)0，可得其中一个零点 x0(0，0.5)，第二次应计算中点值 f(0.25)的函数值，然后
7、依次进行判定 当堂练习 1(2015 湖北文)函数 f(x)2sin xsinx2x2的零点个数为_ 答案 2 解析 f(x)2sin xsinx2x22sin xcos xx2sin 2xx2.令 f(x)0，则 sin 2xx2，则函数 f(x)的零点个数即为函数 ysin 2x 与函数 yx2的图象的交点个数作出函数图象知，两函数交点有 2 个，即函数 f(x)的零点个数为 2.2(2015 湖南文)若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_ 答案(0,2)解析 将函数f(x)|2x2|b的零点个数问题转化为函数y|2x2|的图象与直线yb的交点个数问题，数形结
8、合求解 由 f(x)|2x2|b0 得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出 y|2x2|与 yb 的图象，如图所示 则当 0b1 时，y x1，ycosx1，所以两图象只有一个交点，即方程 xcosx0 在0，)内只有一个根，所以 f(x)xcosx 在0，)内只有一个零点，所以选项 4已知关于 x 的方程 xln xax1(aR)，下列说法正确的是_(填序号)有两不等根 只有一正根 无实数根 不能确定 答案 解析 由 xln xax1(aR)知 x0，ln xa1x，作出函数 y1ln x 与 y2a1x的图象，易知选.5函数 f(x)x32x1 的零点所在的大致区间是_(填序号)(0,
9、1)(1,2)(2,3)(3,4)答案 解析 f(0)10，f(2)110，f(3)320，f(4)710，则 f(0)f(1)20，f(x)2x3x 在 R 上是增函数 而 f(2)2260，f(1)2130，f(1)2350，f(2)226100，f(1)f(0)0.故函数 f(x)在区间(1,0)上有零点 3方程 log3xx30 的解所在的区间是_ 答案 (2,3)解析 设 f(x)log3xx3，则 f(2)log3210，f(x)0 在(2,3)有零点，又 f(x)为增函数，f(x)0 的零点在(2,3)内 4方程|x22x|a21(a0)的解的个数是_ 答案 2 解析 (数形结合
10、法)a0，a211.而 y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与 ya21 的图象总有两个交点 5已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x.则函数 g(x)f(x)x3 的零点的集合为_ 答案 2 7，1,3 解析 当 x0 时，函数 g(x)的零点即方程 f(x)x3 的根，由 x23xx3，解得 x1或 3；当 x0 时，由 f(x)是奇函数，得f(x)f(x)x23(x)，即 f(x)x23x.由 f(x)x3，得 x2 7(正根舍去)故选 D.6函数 f(x)x3x2x1 在0,2上_(填序号)有两个零点 有三个零点 仅有一个零点 无零点 答案 解
11、析 由于 f(x)x3x2x1(x21)(x1)令 f(x)0，得 x1,1.因此 f(x)在0,2上仅有一个零点 7函数的零点为_ 答案 解析 因为求解函数的零点，就是求解方程 f(x)=0 的解，而函数的零点 8函数 f(x)6x9 在区间1，3上有_个零点 答案 一个 解析 因为，所以函数在区间1，3上有一个零点 3 9函数 f(x)3x7ln x 的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则 n_.答案 2 解析 由于 f(1)40，f(2)ln 210，又 f(x)在(0，)上为增函数，所以零点在区间(2,3)内，故 n2.10已知函数 f(x)2x1，x0，x22x，x0，若函数 g(
12、x)f(x)m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是_ 答案(0,1)解析 画出 f(x)2x1，x0，x22x，x0的图象，如图 由于函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，结合图象得：0m1，即 m(0,1)11用二分法求方程 lnx2x0 在区间1,2上零点的近似值，先取区间中点 c32，则下一个含根的区间是_ 答案 32，2 解析 由于 f(1)10，f32ln32120，所以下一个含根区间为32，2.二、解答题 12已知函数有 4 个零点，求实数 的取值范围.解析 由函数有 4 个零点有 4 个根，即有 4 个根令如下图 由图知在到 3 之间，所以实数 的取值范围是 13函数 f(x)|4xx2|a 的零点的个数为 3，求 a 的值。解析 令函数 f(x)=|x24x|a=0，可得|x24x|=a 由于函数 f(x)=|x24x|a 的零点个数为 3，故函数 y=|x24x|的图象和函数 y=a 的图象有 3 个交点，如图所示：故 a=4