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1、考点十一 函数与方程知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义函数y=/(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.(2)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点三者间关系方程y(x)=O有实数根o函数y=/(x)的图象与x轴有交点o函数y=r)有零点.2 .函数零点存在性定理若函数y=/U)在闭区间睥，句上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即则在区间，与内，函数y=/(x)至少有一个零点，即相应的方程处0=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.3 .二次函数的图象与零点的关系A =力2 4 cA 0=0A 0)的图象与 X轴的交点两个交点一个交点无交点零点个数2104
2、 .二分法对于在区间团，切上连续不断且大砂贝b)/(3 0；第二步，求区间3,力的中点也；第三步，计算兀Q)；若氏r i)=O,则x i 就是函数的零点：若人足)穴。)0,则令=不(此时零点x o W(a,x i)：若於则令4=不(此时零点X o C(X /?);第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步.典例剖析题 型 一 函 数零点的判断和求解例 1函数式X)=-+4 x 4在 区 间 1,3 上有 零点.答 案 一 个解析 因为y(x)=-+4 x 4=-0-2)2,所以函数於)=+以一4在区间 1,3 上有一个零点2.变式训练 函数f(彳)=-3 x -3 有 零 点 的
3、区 间 是.答 案(2,3)解析/(-I)=-1 0,/(0)=-3 0,/(I)=-5 0,/2)=-1 0.解题要点 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理.当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断.题型二零点个数问题例 2 已知函数；(x)=l n(x+l)%试求函数的零点个数.解析 令 段)=0,即 l n(x+l)=；,在同一坐标系中画出=111。+1)和 y=:的图象，可知两个图象有两个交点，./U)有两个零点.变式训练 函数)%+的 零 点 个 数 是.答 案 1 个解析 函
4、数/(x)=，x +x 的零点，即方程历x +x=。的解，研究函数y =i 群与y=-x 图象的交点，作出两个函数的图象如图，可知有一个交点，故有一个零点.解题要点判断函数零点个数的三种方法：(1)直接求零点：令 r)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点；零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间口，口上是连续不断的曲线，且加)曾)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.题 型 三 参数范围问题例 3 (1)函数/(x)=I 1 一。的零点
5、的个数为3,则=.(2)函数y=Q)一根有两个零点，则，的 取 值 范 围 是.答 案(1)4 (2)(0,1)解 析(1)令函数/(眇=*4 M 一 二 0,可得4 了|二 .由 于函数人幻二*一4 x|一。的零点个数为 3,故函数)=上一4 式|的图象和函数y=a的图象有3个交点，如图所示：故斫4.故答案为4.(2)在同一直角坐标系内，画出=(；)和力=根的图象，如图所示，由于函数有两个零点,故 0 z n l.变式训练 设方程居一3|=。的解的个数为根，则?不 可 能 等 于.答 案 1解 析 在同一坐标系中分别画出函数=右一3|和”=a的图象，如图所示.可知方程解的个数为0 2 3 或
6、 4,不可能有1 个解.解题要点 数形结合是解决此类问题的基本思想，其要点是通过构造函数，把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，从而借助图象来求出参数的范围.题型四用二分法求方程的近似解例 4设f(x)=3，+3x-8用二分法求方程3、+3 x-8 =0 在区间(1,2)上近似解的过程中，计算得到/(1)。，/(1.2 5)0,/(1.7 5)0,则 方 程 的 根 落 在 区 间.答 案(1.2 5,1.5)解析 因为f(1.2 5)0,根据零点存在定理知，方程的根落在区间(1.2 5,1.5)内.变式训练 用二分法研究函数人x)=/+3 x l的零点时，第一次经计算1 0)0,外
7、6.第二次应计算.答 案f解析 因为用二分法研究函数/(x)=R+3 x 1 的零点时，第一次经计算次0)=/的图象的交点个数.作出函数图象知，y=sin 2x两函数交点有2个，即函数r)的零点个数为2.2.(2 0 1 5 湖南文)若函数於)=|2 2|一 b有两个零点，则实数6的取值范围是答 案（0,2）解 析 将函数式x）=|2 2|6 的零点个数问题转化为函数），=|2 工 一 2|的图象与直线y=b 的交点个数问题，数形结合求解.由兀0=|2 2|6=0得|2，一2|=尻在同一平面直角坐标系中画出y=|2*2|与yb的图象，如图所示.则当0 b l 时，y=5 1,y=c o s x
8、 Wl,所以两图象只有一个交点，即 方 程 c o s x=0 在 0,+8）内只有一个根，所以段）=6c o s x 在 0,+8）内只有一个零点，所以选项.4 .已知关于x的方程x l n x=o r+l（“eR）,下 列 说 法 正 确 的 是.（填序号）有两不等根 只有一正根 无实数根 不能确定答 案 解析 由 x l n x=a x+l（a W R）知 x 0,.,.l n x=a+1，作出函数=l n x 与 丫 2=。+：的图象，易知选.5 .函数兀0=尸+2 -1 的 零 点 所 在 的 大 致 区 间 是.（填序号）（0,1）（1,2）（2,3）（3,4）答 案 解析 大 0
9、）=_ 1 0,犬2）=1 1 0,1 3）=3 2 0,.穴 4）=7 1 0,则犬0）川）=一 2 0,.危)=2*+3工在R 上是增函数.而且一2)2 26 0,式-1)=2 1一3 0,41)=2+3=5 0,2)=22+6=100,，人 一 1)的 0,二段)=0 在(2,3)有零点，又大用为增函数，二段)=0 的零点在(2,3)内.4.方 程 一 2%|=/+1(。0)的 解 的 个 数 是.答 案 2解析(数形结合法)：必)，.而y=|一2H的图象如图，二)*2x|的图象与y=4+l 的图象总有两个交点.5.已知府)是定义在R 上的奇函数，当x 2 0 时，3工则函数g(x)=/
10、(x)x+3 的零点的集合为.答 案 一2一巾，1,3解析 当x 2 0 时，函数g(x)的零点即方程y(x)=X-3 的根，由J C2-3 x=x 3,解得x=l或 3；当x0时，由 x)是奇函数，得一兀0=八一)=/一 3(一助，即/)=一/一 3工由凡r)=x-3,得 =一 2一市(正根舍去).故选D.6.函数兀0=一1 一x+1 在 0,2 上.(填序号)有两个零点 有三个零点 仅有一个零点 无零点答 案 解 析 由于负*)=炉一X2x+l=(/l)(x1).令兀v)=o,得 X=-1,1.因此7U)在 0,2 上仅有一个零点.7.函数/(*)=2X+7的零点为.7答 案 一 57f(
11、x)=2 x 4-7 =0 x =解析 因为求解函数的零点，就是求解方程大x)=0 的解，而函数 2 的7零点一2.8 .函数/(x)=-x +6 x 9在 区 间 1,3 上有 个零点答 案 一 个解析 因为/(%)=-/+6 x 9=-。-3)2,所以函数/()=-f +6 x 9 在 区 间 1,3 上有一个零点3.9 .函数y(x)=3 x 7 +l nx 的零点位于区间(“，+l)(GN)内，则 =.答 案 2解析 由于犬1)=一4 0,X 2)=l n2-l 0,又兀v)在(0,+8)上为增函数，所以零点在区间(2,3)内，故=2.1 0 .已知函数y(x)=2 ；八 若函数g(x
12、)=/(x)一根有 3个零点，则实数m 的取值A 2A1,X 0,范围是.答 案(0,1)f2x 1,x 0,解 析 画出/(x)=,M的图象，如图.JT2 x,x W O由于函数g(x)=Kx)一胆有3个零点，结合图象得：即 m 6(0,1).1 1 .用二分法求方程Inx 2+x=0 在区间 1,2 上零点的近似值，先取区间中点一个 含 根 的 区 间 是.答 案|，2 卜则3-2J解析 由于X 1)=1 0,_/0)=l n|;0,所以下一个含根区间为1,2二、解答题1 2 .已知函数/(乃=-团+3 +。有 4个零点，求实数。的取值范围.解 析 由函数/(%)=-|洌+3 +。有 4个 零 点=-因+3 +。=0 有 4个根，即，-+3=一 硝 4 个 根.令 g(x)=-IM+3,h(x)=-a如下图.g(x)=x2-|x|+31 1 1 1由图知M x)=-a 在W到 3之间，所以实数。的取值范围是一-T .1 3 .函数/a)=|4 x X21 a 的零点的个数为3,求 a 的值。解析 令函数次x)=|f4x|。=0,可得lx2-4M=a.由于函数4x|一。的零点个数为3,故函数严F 一4x|的图象和函数产。的图象有3 个交点，如图所示：故 a=4.