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1、 考点七 指数与指数函数知识梳理1根式如果axn，那么x叫做a的n次实数方根(n1且nN*)，当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，记为：；当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(1)两个重要公式 ()na(注意a必须使有意义)(2)0的任何次方根都是0(3)负数没有偶次方根2分数指数幂(1)分数指数幂的概念：正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质：arasars(
2、a0，r，sQ)；(ar)sar s(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3无理数指数幂一般地，无理数指数幂ar(a0，r是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂4指数函数的图象与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1是R上的增函数是R上的减函数典例剖析题型一 指数幂的化简与求值例1 的值是 答案 3解析 .变式训练 下列各式正确的是 (填序号) a01答案 解析根据根式的性质可知正确，a1条件为(a0)，故、错例2 化简或求值(1)(2) 解析(1)原式= =. (2)原式ab.解题要点 指数幂运算的一般原则(1)有
3、括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答题型二 指数函数的图象和性质例3函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 (填序号) a1，b1，b0 0a0 0a1，b0答案解析 由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.变式训练 指数函数y=恒过的定
4、点为 答案(，2)解析 由函数y=ax恒过(0，1)点,可得当3x2=0，即时，y=2恒成立,故函数恒过点(，2).故答案为：(，2)题型三 指数值的大小比较例4设，则y1、y2、y3 的大小关系是 答案y1y3y2解析 因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数，所以y1y3y2变式训练 若，则x的取值范围是 答案(，3)解析 原不等式可化为，而指数函数y=是定义在R上的减函数,所以x3.解题要点 比较大小时，首先要观察有无同底或是同指数的，若指数相同，底数不同，则利用幂函数的单调性；若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性；若底数不同，指数也不同，应寻找中间值(常用0，1)进行比较.当堂
5、练习1的大小关系是_答案解析函数是减函数，由，知；又，由函数的性质，知，故；所以.2函数yax33恒过定点_答案 (3，4)解析 当x3时，f(3)a3334，所以f(x)必过定点(3，4)3. 已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域 答案 1,9解析 由f(x)过定点(2,1)可知b2，因f(x)3x2在2,4上是增函数，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9.4化简的结果是 答案 解析 5若指数函数y=(a2)x在(，+)上是减函数，那么解得 答案 A解析 指数函数y=(a2)x在(，+)上是减函数，0a21，解得2a3课后作业一、 填空
6、题1.设集合Ax|x1|2，By|y2x，x0，2，则AB 答案1，3)解析由|x1|2，解得1x3，由y2x，x0,2，解得1y4，AB(1,3)1,41,3)2若a，b，c，则a、b、c的大小关系是 答案 cba解析 由yx在R上单调递减，知，而1，所以.即cba.3的值为 答案 0解析 .4的值是 答案0或2(ab)解析 当ab0时，原式abab2(ab)；当ab0时，原式baab0.5设a40.7，b0.30.5，clog23，则a、b、c的大小关系是 答案 bc42,0b0.30.51,1clog232，所以bca .6函数f(x)的定义域为 答案 (3,0解析 若使函数有意义，则，解得30，且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大，求a的值解析 当a1时，f(x)ax为增函数，在x1,2上，f(x)最大f(2)a2，f(x)最小f(1)a.a2a.即a(2a3)0.a0(舍)或a1.a.当0a1时，f(x)ax为减函数，在x1,2上，f(x)最大f(1)a，f(x)最小f(2)a2.aa2.a(2a1)0，a0(舍)或a.a.综上可知，a或a.