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1、1,第九章 重 积 分,2,重积分是定积分的推广和发展.其同定积分一样也是某种确定和式的极限,其基本思想是四步曲:,分割、取近似、求和、取极限.,定积分的被积函数是一元函数,其积分区域是一个确定区间.,而二重、三重积分的被积函数是二元、三元函数,其积分域是一个平面有界闭区域和空间有界闭区域.,重积分有其广泛的应用.,序 言,3,问题的提出,二重积分的概念,二重积分的性质,小结 思考题 作业,double integral,第一节 二重积分的概念与性质,第九章 重积分,4,一、问题的提出,定积分中会求平行截面面积为已知的,一般立体的体积如何求,先从曲顶柱体的体积开始.,而曲顶柱体的体积的计算问题
2、,一般立体的体积可分成一些比较简单的,?,回想,立体的体积、,旋转体的体积.,曲顶柱体的体积.,二重积分的一个模型.,可作为,5,曲顶柱体体积=,特点,1曲顶柱体的体积,困难,曲顶柱体,以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以,顶是曲面,且在D上连续).,?,曲顶,顶是曲的,6,柱体体积 =,特点,分析,?,曲边梯形面积是如何求,以直代曲、,如何创造条件使,?,解决问题的思路、步骤与,回忆,思想是,分割、,平顶,平,曲,这对矛盾互相转化,与,以不变代变.,曲边梯形面积,的求法类似,取近似、,求和、,取极限.,底面积高,7,步骤如下,用若干个小平 顶柱体体积之
3、 和,先任意分割曲顶柱体的底，,曲顶柱体的体积,并任取小区域，,近似表示,曲顶柱体的体积，,8,(1) 分割,相应地此曲顶,柱体分为n个小曲顶柱体.,(2) 取近似,第i个小曲顶柱体的体积的近似式,(用 表示第i个子域的面积) .,将域D任意分为n个子域,在每个子域内任取一点,9,(3) 求和,即得曲顶柱体体积的近似值:,(4) 取极限,)趋于零,求n个小平顶柱体体积之和,令n个子域的直径中的最大值(记作,上述和式的极限即为曲顶柱体体积,10,2. 非均匀平面薄片的质量,(1) 将薄片分割成n个小块，,看作均匀薄片.,(2),(3),(4),设有一平面薄片,求平面薄片的质量M.,11,也表示它
4、的面积,二、二重积分的概念,1. 二重积分的定义,定义,作乘积,并作和,12,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,这和式,则称此,零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于,的极限存在,极限为函数,二重积分,记为,即,13,曲顶柱体体积,它的面密度,曲顶,即,在底D上的二重积分,平面薄片D的质量,即,在薄片D上的二重积分,14,二重积分可写为,定积分中,1.重积分与定积分的区别:,重积分中,可正可负.,则面积元素为,D,15,(A) 最大小区间长;,(B) 小区域最大面积;,(C) 小区域直径;,(D)最大小区域直径.,D,16,2. 二重积分的存在定理,设f(x,
5、y)是有界闭区域D上的连续函数,存在.,连续函数一定可积,今后的讨论中,积分区域内总是连续的.,或是分片连续函数时,则,都假定被积函数在相应的,17,(2),3. 二重积分的几何意义,(3),(1),在D上的二重积分就等于,二重积分是,二重积分是,而在其它的部分区域上是负的.,这些部分区域上的,柱体体积的代数和.,那末,柱体体积的负值;,柱体体积;,在D上的若干部分区域上是正的,18,例 设D为圆域,?,二重积分,=,解,上述积分等于,由二重积分的几何意义可知，,是上半球面,上半球体的体积：,R,D,19,性质,为常数, 则,(二重积分与定积分有类似的性质),三、二重积分的性质,根据二重积分的
6、几何意义,确定积分值,练习,20,以1为高的,性质2,将区域D分为两个子域,性质3,若 为D的面积,D1,D2,既可看成是以D为底,柱体体积.,对积分区域的可加性质.,D,又可看成是D的面积.,21,问,在有界闭区域D1上可积,且,则必有,22,特殊地,性质4(比较性质),设,则,例,的值= ( ).,(A) 为正,(B) 为负,(C) 等于0,(D) 不能确定,为负,B,23,选择题,比较,(D) 无法比较.,C,性质4(比较性质),的大小,则( ),24,解,例,判断,的正负号.,故,于是,又当,25,几何意义,以m为高和以M为高的两个,证,再用性质1和性质3,性质5(估值性质),则,为D
7、的面积,则曲顶柱体,的体积介于以D为底,平顶柱体体积之间.,证毕.,26,解,估值性质,区域D的面积,在D上,例,不作计算,27,性质6(二重积分中值定理),体积等于,显然,几何意义,证,D上连续,为D的面积,则在D上至少存在一点,使得,则曲顶柱体,以D为底,为高的平顶柱体体积.,将性质5中不等式各除以,有,28,的最大值M与最小值m之间的.,由闭区域上连续函数的介值定理.,两端各乘以,点的值,证毕.,即是说,确定的数值,是介于函数,在D上至少存在一点,使得函数在该,与这个确定的数值相等,即,29,(A),(B),(C),(D),提示:,B,是有界闭区域D:,上的,连续函数,不存在.,利用积分
8、中值定理.,30,利用积分中值定理,解,即得:,由函数的连续性知,显然,其中点,是圆域,内的一点.,31,补充,在分析问题和算题时常用的,设区域D关于x轴对称,如果函数 f(x, y)关于坐标y为偶函数.,性质7,则,D1为D在第 一象,限中的部分,对称性质,坐标y为奇函数,则,设区域D关于x轴对称,如果函数 f (x, y)关于,32,设f(x, y)关于y为偶函数,证,则,得,33,坐标y为奇函数,自证!,则,设区域D关于x轴对称,如果函数 f(x,y)关于,34,这个性质的几何意义如图:,35,如果函数 f(x,y)关于坐标x为奇函数,如果函数 f(x,y)关于坐标x,则,为偶函数,则,
9、类似地,设区域D关于y轴对称,且D1为D在,第一象限中的部分,36,设D为圆域(如图),0,0,D1为上半圆域,D2为右半圆域,?,37,解,由性质得,例,38,为顶点的三角形区域,(A),(B),(C),(D),0.,A,1991年研究生考题, 选择,3分,D1是D在第一象限的部分,练习,39,D1,D2,D3,D4,记 I=,则I= I1+ I2, 其中,I1=,I2=,而 I1 =,D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称,40,而 I2 =,是关于x的偶函数,关于y的奇函数.,所以,D1,D2,D3,D4,41,今后在计算重积分利用对称性简化计算时,注意,被积函数的奇偶性.,积分
10、区域的对称性,要特别注意考虑两方面:,42,思考,当f为关于x且关于y的偶函数时：,当f为关于x或关于y的奇函数时：,0,？,4,？,设区域 关于x轴、y轴均对称, 函数 f(x, y)在D上可积，则,43,?,若D为,?,此式的几何意义是:中心在原点的上半球的体积等于它在第一卦限内的体积的4倍.,?,?,0,D1为 x0, y 0, 则,44,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,(曲顶柱体的体积),(四步:分割、取近似、求和、取极限),四、小结,(注意对称性质的用法),45,思考题1,将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处.,被积函数为定义在平面区域上,思考题解答,相同点,定积分与二重积分都表示某个和式的,极限值,且此值只与被积函数及积分区域有关.,不同点,定积分的积分区域为区间,被积函数为,定义在区间上的一元函数,而二重积分的积分,区域为平面区域,的二元函数.,46,思考题2,二重积分,的几何意义是以,为曲顶,D为底的曲顶柱体体积.,(是非题),非.,47,作业,习题9-1,(78页),2. 4.(1) (3) (4) 5.(1) (3),