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1、第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题课习题课（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容曲曲线线积积分分曲曲面面积积分分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定定义义计计算算定定义义计计算算联联系系联联系系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义联联系系计计算算 (与方向有关)与路径无关的四
2、个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义联联系系计计算算一代,二换,三投(与侧无关)一代,二投,三定向 (与侧有关)定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式3.三重积分与曲面积分的
3、联系三重积分与曲面积分的联系高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式梯度梯度通量通量旋度旋度环流量环流量散度散度（三）（三）场论初步场论初步例例1 计算计算。二、例题（1，0）（0，1）1.解解解解BDBD例例3 计算曲线积分计算曲线积分 ,其中其中为为 在第一象限沿逆时针方向的半圆弧在第一象限沿逆时针方向的半圆弧.解：记解：记 ,.则由于则由于 ,则所给积分与路径无关。现取则所给积分与路径无关。现取 ,从从 变到变到 ;则有则有分析分析 本题若直接转化为定积分计算是比较繁的。我们可以本题若直接转化为定积分计算是比较繁的。我们可以先看先看 ,以决定是否用格林公式或其他的方法计算。以决定是否用格林公式或其他的方法计算。解解 法法2 由对称性（轮换性）由对称性（轮换性）曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy解解由对称性由对称性例例8解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系解解(如下图如下图)