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1、1,三重积分的概念,三重积分的计算,小结 思考题 作业,(triple integral),第三节三重积分,第九章 重积分,2,是空间有界闭区域上的,如当各小闭区域直径中的最大值,在每个,将闭区域任意分成n个小闭区域,其中,并作和,作乘积,有界函数.,也表示它的体积.,表示第i个小闭区域,上任取一点,一、三重积分的概念,(define),3,记为,函数,趋于零时这和的极限总存在,则称此极限为,在闭区域上的三重积分.,即,体积元素,4,设被积函数,连续函数一定可积,则区域V 的体积为,在上是可积的.,的三重积分存在性时,(existence),5,与二重积分的性质类似.,补充三重积分,对称性质,
2、则称f关于变量z的奇 函数.即对称点的函数值仅仅符号相反（或者是函数值相等）,(1),关于,坐标面的上半部区域.,(偶),(property),6,或,而得结果为零.,例,?,?,0,则,7,例,？,0,？,(2),关于两个坐标面,在第一,五卦限部分的区域.,在一,五卦限部分的区域,则,8,1988年研究生考题,选择,3分,C,则( )成立.,9,关于三个坐标面都对称,在第一卦限部分的区域.,例,？,0,？,(3),在第一,卦限的部分, 则,10,(4),关于原点对称,关于原点对称的一半区域.,特别注意：对称点上积分微元的相等或者是刚好反号是问题的本质属性！,11,二、三重积分的计算,1. 在
3、直角坐标系下计算三重积分,故直角坐标系下的体积元素为,在直角坐标系下三重积分可表为,在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的,平面的来划分,12,直角坐标系中将三重积分化为三次积分,投影法,思想是,(先一后二法),如图,闭区域,面上的投影为闭区域D,过点,作直线,13,X型,再计算,的函数,得,则,14,如何写出当D为Y型闭域时,?,化为三次积分的公式,三重积分,相交不多两点情形.,15,所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积分(累次积分).,和积分域选取适当的三次积分进行计算.,解题时,要依据具体的被积函数,同样,也可以把积分域向yOz、zOx面投影.,16,解,由于V是长方体,故,例,三次
4、积分的上、下限,都是常数,计算三重积分,其中V是长方体,17,解,化三重积分,为三次积分,例,所围成的闭区域.,其中积分区域为由曲面,得交线, 由此推出投影区域,18,例 求,解,的原函数不是初等函数,应先x对积分,一定要交换积分次序.,19,解,画积分区域的草图.,采用先对x积分,再对y、z,积分的方法简单.,例,将V向yOz平面投影,对任一,x取值为,先对z积分?,得平面区域,20,截面法,(红色部分),(先二后一法),截面法的一般步骤,(1),投影,得投影区间,(2),(3),计算二重积分,(4),最后计算单积分,21,即,当被积函数仅与变量z有关,截面法的公式还有两个.,?,用上公式简
5、便.,希自己推,注,且截面Dz易知时,22,截面法(先二后一法),解,计算三重积分,例,原式=,23,投影法(先一后二法),计算三重积分,?,24,已知椭球V: 内点(x,y,z)处质量的体密度为: 求椭球的质量.,提示,25,解,因为,而,其中,26,由对等性知,因此,所以,27,解,两曲面的交线为,所以,例,极坐标,28,规定,直角坐标与柱面坐标的关系为,就叫点M的,柱面坐标.,2.利用柱面坐标计算三重积分,cylindrical coordinates,设M(x, y, z)为空间内一点,并设点M在xOy,面上的投影P的极坐标为,则这样的三个数,29,柱面坐标系中,以z轴为中心轴的圆柱面
6、；,过z轴的半平面.,与xOy平面平行的平面;,三坐标面分别为,称点M的柱面坐标,30,柱面坐标系中的体积元素为,在柱面坐标系中,如图,得小柱体,即,直角坐标系下三重积分与,(红色部分).,若以三坐标面分割空间区域,柱(面)坐标系下三重,积分的关系是,31,?,如何计算柱坐标系下三重积分,回想,直角坐标系下计算三重积分方法.,将三重积分化为,三次积分(累次积分),32,柱坐标系下三重积分的计算,可得柱坐标系下三重积分化为三次积分,与x, y, z等同的看为三个变量.,如,极坐标不等式表示,只要把被积,函数中的,的计算公式.,类比公式,先将在xOy面上的投影域用,33,从而,故,再确定的下, 上
7、边界面,注,通常是先积,再积,后积,34,如积分域为圆柱域(如图).,则,35,解,例,所围成.,积分域用柱坐标表示为,原式,其中由半圆柱面,36,例,已知立体内任一点的质量的体密度,解,因为,平面,求曲面,所围立体的质量M,与该点,到z轴的距离的平方成正比.,的交线是,上的圆,体密度函数为,37,的下边界面是,上边界面是,故,所以在xOy面上的投影域,即,是半径为2的圆域,38,解,?,如先对z积分,其中是由锥面,例,与平面,思考,所围成的锥台体.,39,可看出如先对z积分,(积不出来).,将遇到积分,最后对z积分.,这里应先对,积分,40,解,例,所围成的空间闭区域.,同理,41,计算,柱
8、坐标,42,所以,计算,43,当被积函数是,积分域由圆柱面 (或一部分)、锥面、抛物面,用,所围成的.,柱面坐标,计算三重积分较方便.,44,曲面 之内及曲面,之外所围成的立体的体积,D,45,锥面 被圆柱面,所截,求锥面下方、 xOy面上方、圆柱内的区域V 的体积.,解,V=2V1,提示,练习,V1为第一卦限部分的体积.,46,记投影向量与x轴正方向的,规定,正方向间的夹角为,夹角为,球面坐标.,称,为点M的,2.利用球面坐标计算三重积分,设M(x, y, z)为空间内一点,向xOy平面投影,47,球面坐标系中的三坐标面分别为,原点为心的球面；,过z轴的半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,原
9、点为顶点、z轴为轴的圆锥面；,48,球面坐标系中的体积元素为,若以三坐标面分割空,得小六面体,(红色部分).,于是,在球面坐标系中，,间区域,49,通常是,50,如积分域为球域(如图).,则,51,解,法一,采用,例,所围的立体.,球面坐标,52,53,法二,采用,柱面坐标,54,解,采用,例,由锥面和球面围成,所成的公共部分的体积.,球面坐标,55,解,积分域关于xOy坐标面对称，,被积函数是z的奇函数.,例,利用对称性简化计算,其中积分区域,56,或,积分区域,57,当积分区域是球形域,或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面,被积函数具有,的形式时,用,球面坐标,计算三重积分较简便.,或是
10、球的一部分;,58,1989年研究生考题(数学一)计算, 5分,练习,解,被积函数是,围成的空间区域,x的奇函数.,请再用柱面坐标做.,59,2003年研究生考题(数学一) 12分,练习,设函数,连续且恒大于零,其中,(1) 讨论,在区间,内的单调性.,(2) 证明,60,(1) 解,因为,(1) 讨论,在区间,内的单调性.,61,所以,单调增加.,(1) 讨论,在区间,内的单调性.,62,(2) 证,因,(2) 证明,要证明,只需证明,即,令,63,则,故,单调增加.,因为,所以,因此,(2) 证明,64,柱面坐标系下计算三重积分,柱面坐标体积元素 ),三、小结,三重积分的定义,直角坐标系下
11、计算三重积分,(思想:计算时将三重积分化为三次积分),三重积分的计算,(四步:分割、取近似、求和、取极限),(直角坐标体积元素 ),(柱面坐标与直角坐标的关系,65,球面坐标系下计算三重积分,球面坐标体积元素 ),(球面坐标与直角坐标的关系,使用对称性简化运算,恰当选择坐标系计算三重积分,(注意选择的原则),66,思考题1,是非题,非,但被积函数,67,思考题2,分别化为在柱坐标系和球坐标系下的累次积分.,将累次积分,思考题解答,积分域V是由,1. 化为柱面坐标,68,2. 化为球面坐标,得三角形区域（如图）,积分域V是由,积分域V的边界曲面在球坐标系下分别表示为:,69,思考题3,是非题,非,因为被积函数,的积分范围是,整个球体,而非球表面.,70,作 业,习题9-3 (106页）,10.(2) 11. (2) (4) 12.(2) (3) 13.,1.(2) (4) 5. 7. 8. 9.(2),