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1、推广推广第九章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一、一、区域区域1.邻域邻域点集点集称为点称为点 P0 的的 邻域邻域.例如例如,在平面上在平面上,(圆邻域圆邻域)在空间中在空间中,(球邻域球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 ,也可写成也可写成点点 P0 的的去心邻域去心邻域
2、记为记为2.区域区域(1)内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 E 及一点及一点 P:若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P)E,若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P)E=,若对点若对点 P 的任一邻域的任一邻域 U(P)既含既含 E中的内点也含中的内点也含 E则称则称 P 为为 E 的的内点；内点；则称则称 P 为为 E 的的外点外点;则称则称 P 为为 E 的的边界点边界点 .的外点的外点,显然显然,E 的内点必属于的内点必属于 E,E 的外点必不属于的外点必不属于 E,E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E,也可能不属于也可能不属于 E.(2)聚点聚点
3、若对若对任意给定的任意给定的 ,点点P 的去心的去心邻域邻域内总有内总有E 中的点中的点,则则称称 P 是是 E 的的聚点聚点.聚点可以属于聚点可以属于 E,也可以不属于也可以不属于 E(因为聚点可以为因为聚点可以为 E 的边界点的边界点)D(3)开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集 E 的点都是的点都是内点内点，则称，则称 E 为为开集开集；若点集若点集 E E,则称则称 E 为为闭集闭集；若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连的折线相连,开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.则称则称 D 是是连通的连通的;连通的
4、开集称为连通的开集称为开区域开区域,简称简称区域区域;。E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的的边界边界,记作记作 E;例如，例如，在平面上在平面上开区域开区域闭区域闭区域 整个平面整个平面 点集点集 是开集，是开集，是最大的开域是最大的开域,也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域.o 对区域对区域 D,若存在正数若存在正数 K,使一切点使一切点 P D 与某定点与某定点 A 的距离的距离 AP K,则称则称 D 为为有界域有界域,界域界域.否则称为否则称为无无二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三
5、角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式定义定义1.设非空点集设非空点集点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域;数集数集称为函数的称为函数的值域值域 .当当 n=3 时时,有三元函数有三元函数映射映射称为定义称为定义在在 D 上的上的 二二元函数元函数,记作记作二元函数的定义二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数例例 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为 二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分
6、支:例如例如,二元函数二元函数定义域为定义域为圆域圆域说明说明:二元函数二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 .三元函数三元函数 定义域为定义域为图形为图形为空间中的超曲面空间中的超曲面.单位闭球单位闭球三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2.设设 二二 元函数元函数则称则称 A 为函数为函数(也称为二也称为二 重极限重极限)当当 n=2 时时,记记二元函数的极限二元函数的极限(二重极限二重极限)可写作：可写作：P0 是是 D 的聚的聚点点,若存在常数若存在常数 A,对一切对一切记作记作都
7、有都有对任意正数对任意正数 ,总存在正数总存在正数 ,oxy1z=x2+y2+1y=kx在平面上的在平面上的(0,0)点处点处.例如：例如：z(和的极限等于极限的和和的极限等于极限的和)1 二重极限存在的例子都有都有 z 1有有 z 1有有故：在故：在xoy平面上平面上点点.例例1.设设求证：求证：证证:故故总有总有要证要证 例例2.设设求证：求证：证：证：故故总有总有要证要证 若当点若当点趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，解解:设设 P(x,y)沿直线沿直线 y=k x 趋于点趋于点(0,0),在点在点(0,0)的极限的极限.则可以断定函数极限则可以断定函数极限则有则有
8、k 值不同极限不同值不同极限不同!在在(0,0)点极限不存在点极限不存在.以不同方式趋于以不同方式趋于不存在不存在.例例3.讨论函数讨论函数函数函数oxy zay=x.那么，那么，曲面曲面在点在点(0,0)附近附近的形状是怎样的呢的形状是怎样的呢?曲面与曲面与z轴无交点轴无交点;曲面关于平面曲面关于平面 y=x对称；对称；曲面关于平面曲面关于平面 y=x对称；对称；y=x2.二重极限不存在的例子oxyy=xza.D.那么，曲面在点那么，曲面在点(0,0)附近附近的形状是怎样的呢的形状是怎样的呢?曲面与曲面与z轴无交点轴无交点;曲面关于平面曲面关于平面 y=x对称；对称；曲面关于平面曲面关于平面
9、 y=x对称；对称；y=02.二重极限不存在的例子.oxyy=kxy=xza.D.那么，曲面在点那么，曲面在点(0,0)附近附近的形状是怎样的呢的形状是怎样的呢?曲面与曲面与z轴无交点轴无交点;曲面关于平面曲面关于平面 y=x对称；对称；曲面关于平面曲面关于平面 y=x对称；对称；y=0.2.二重极限不存在的例子.oxyy=kxy=xzay=x.D.那么，曲面在点那么，曲面在点(0,0)附近附近的形状是怎样的呢的形状是怎样的呢?曲面与曲面与z轴无交点轴无交点;曲面关于平面曲面关于平面 y=x对称；对称；曲面关于平面曲面关于平面 y=x对称；对称；.y=0.2.二重极限不存在的例子.oxyy=k
10、xy=xzay=x.D.那么，曲面在点那么，曲面在点(0,0)附近附近的形状是怎样的呢的形状是怎样的呢?曲面与曲面与z轴无交点轴无交点;y=0曲面关于平面曲面关于平面 y=x对称；对称；曲面关于平面曲面关于平面 y=x对称；对称；.但曲面无限逼近但曲面无限逼近z轴轴2.二重极限不存在的例子.四、四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3.设设 二二元函数元函数定义在定义在 D 上上,如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续,则称此函数则称此函数在在 D 上上如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,此时此时称为称为间断点间断点.则称则称 二二 元函数元函数连续连续.连续
11、连续,聚点聚点例如例如,函数函数在点在点(0,0)极限不存在极限不存在,又如又如,函数函数上间断上间断.故故(0,0)为其间断点为其间断点.在圆周在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：定理：若若 f(P)在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续,则则在在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m;(3)对任意对任意(有界性定理有界性定理)(最值定理最值定理)(介值定理介值定理)闭域闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略证明略)多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等
12、函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域解解:原式原式例例5.求求内容小结内容小结1.区域区域 邻域邻域:区域区域连通的开集连通的开集 2.多元函数概念多元函数概念n 元函数元函数常用常用二元函数二元函数(图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面)三元函数三元函数有有3.多元函数的极限多元函数的极限4.多元函数的连续性多元函数的连续性1)函数函数2)闭域上的多元连续函数的性质闭域上的多元连续函数的性质:有界定理有界定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续备用题备用题1.设设求求解法解法1 令令1.设求解法解法2 令即2.是否存在？是否存在？解解：所以极限不存在所以极限不存在.3.证明证明在全在全平面连续平面连续.证证:为为初等函数初等函数,故连续故连续.又又故故函数在全平面连续函数在全平面连续.由由夹逼准则得夹逼准则得