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1、第九章 曲线积分与曲面积分 第三节 格林公式及其应用,一、格林公式,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,区域连通性的分类,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,格林公式,定理1,证明(1),同理可证,证明(2),两式相加得,G,F,证明(3),由(2)知,1. 简化曲线积分,简单应用,例 1计算曲线积分,解如果添加有向线段 OA，则 AnO + OA = L是一条正向的封闭曲线.我们设由它围成的区域为 D.,因为 P(x, y) = exsin y my, Q(x, y)
2、= excos y - m，,所以,y,x,O,D,n,A(a, 0),则由格林公式得,而,2. 简化二重积分,解,(注意格林公式的条件),3. 计算平面面积,解,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,设 G 是一个开区域，,如果对 G 内任意指定的两点 A 与 B，,以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两条不相同的分段光滑曲线 L1、L2，,等式,恒成立，则称曲线积分 在 G 内与路径无关.这时，我们 可将曲线积分记为,命题在区域 G 中，曲线积分 与路径无关的充要条件是：对 G 内任意一条闭曲线 C，有,证先证必要性.,因此,再证充分性.,设 A、B 是 G 内的任意两点，,AnB 与 A
3、mB 是 G 内的任意两条路径.,因为对 G 内任意一条闭曲线 C，,所以由题设有,恒有,因此,这就说明了曲线积分 与路径无关.,定理2,两条件缺一不可,有关定理的说明：,证充分性：,(x, y) G，所以对 G 内任意一条正向封闭曲线 L1,及其围成的区域 D1，,因为 D1 G ，,所以 D1是单连域，,由格林公式有,因为,于是由定理 1 知，曲线积分 在 G 内与路径无关.,必要性：,于是由格林公式 知，,这结果与沿G内沿任意闭曲线的曲线积分为零的假设矛盾.,例 5计算,其中 L 是摆线 x = t sin t, y = 1- cos t，从点 A(2p, 0) 到点 O(0, 0) 的
4、一段弧.,解显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.,能否换一条路径呢？,其中 P(x, y) = x2y + 3xex,再选一条路径 L1：,由 A(2p, 0) 沿 x 轴到原点.,审查一下：,由 L 与 L1 所围的平面域是否单连通域.,P(x, y) 与 Q(x, y) 偏导数是否连续，,现在是连续的.所围的域是单连通域，,这样可以换为在 L1 上求曲线积分，,即,x,y,O,L1,L,A,因为 L1 上 dy = 0，y = 0 所以上式为,即,例 6计算,解如果不换路径，计算非常困难，为了换路径，先要计算 P、Q 的偏导数.,其中 L 由点 A(- p, - p) 经曲线 y = p
5、cos x 到点 B(p, - p) (如图).,则,再考虑换一条路径.,以 为半径的圆周，由 A 经大半圆到 B 为 L1，,如果换成由 A 经直线到 B 为 L1，则 L 与 L1 所围的平面域内函数 P(x, y) 与 Q(x, y) 在原点处偏导数不存在.,作一个以原点为圆心，,则此时，L 与 L1 所围的平面域内函数 P(x, y) ， Q(x, y) 的偏导就连续了.,即 L 与 L1 所围的平面域为单连通域.这就可以将 L 换为 L1. L1 的参数方程为,代入，得,从例 5，例 6 中我们可以归纳一下换积分路径的步骤：,则可进行下一步，否则就是积分与路径有关.,1. 计算,是否
6、相等.如果,2. 选一条路径(与原路径同起、终点)L1，,使与原路径 L 所围平面域上函数 P(x, y)与Q(x, y) 偏导数连续，所围的区域为单连通域，,则可将路径 L 换为 L1.,三、二元函数的全微分求积,如果在区域G 上存在函数u(x,y)，使得,则称 在G内为二元 函数u(x,y)的全微分，也称u(x,y)为,在区域G上的一个原函数.,定理3,证明,必要性：设存在函数 u(x ,y)使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 所以,从而在D内每一点都有,充分性：,在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数,由上述证明可看到
7、，在定理的条件下，二元函数:,具有性质：d u = P dx + Q dy,u( x, y ) 为 P dx + Q dy 在域 G 内的一个原函数.,这里起点,可任意取，,但必须在单连通的开区域G内。,解,例8. 验证,是某个函数的全微分,并求出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,例7. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,证 令,则,由此可知存在原函数,或,四、小结,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,3. 格林公式的应用.,格林公式;,3.与积分路径无关的条件,与路径无关的四个等价命题,条件,等 价 命 题,