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第九章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分,一、问题的提出,实例1:密度为 的曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,实例2:柱面的面积,分割,求和,取极限,近似值,精确值,二、对弧长的曲线积分的概念,1.定义,被积函数,积分弧段,积分和式,曲线形构件的质量,柱面的面积,2.存在条件：,3.推广,注意：,4.性质,5.几何与物理意义,三、对弧长曲线积分的计算,定理,在公式中注意:,特殊情形：,例1,计算,其中L的方程是,解,例2,解,例3,计算,其中,是以,为顶点的,三角形边界.,是分段光滑弧段,解,在OA上，,故,在AB上，,故,故,在BO上，,因此,例4,计算,其中,是螺线,的第一圈,解,以圆弧的圆心为坐标原点,例5,有一段铁丝成半圆形L，,半径为R，,其上任一点的线密度的大小等于该点到其,两端点连线的距离，,求其质量.,L的对称轴为y 轴,则,建立坐标系(如图).,解,L 的参数方程为,例6. 计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,五、小结,1、对弧长曲线积分的概念,2、对弧长曲线积分的计算,3、对弧长曲线积分的应用,思考题,1.以下两式正确否？,区域,则,(错误),曲线,则,(正确),