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1、类型一：利用柯西不等式求最值例 1求函数的最大值解： 且， 函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为法二： 且， 函数的定义域为由，得即，解得时函数取最大值，最大值为. 当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式 1】设且，求的最大值及最小值。利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为 -10 【变式 2】已知，求的最值 . 法 一： 由柯西不等式于是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式于是的最大值为，最小值为. 【变式 3】设 2x+3y+5z=29 ，求函数的最大值根据柯西不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
2、第 1 页，共 7 页，故。当且仅当2x+1=3y+4=5z+6 ， 即时等号成立， 此时，变式 4： 设a (1， 0， 2)，b (x， y， z)， 假设 x2 y2 z2 16， 则ab的最大值为。【解】a (1， 0， 2)，b (x， y，z)ab x 2z 由柯西不等式 12 0 ( 2)2(x2 y2 z2) (x 0 2z)25 16 (x 2z)2 45 x 45 45ab 45，故ab的最大值为45: 变式 5：设 x，y，z R，假设 x2 y2 z2 4，则 x 2y 2z 之最小值为时， (x，y，z) 解(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)12 ( 2) 2
3、 22 49 36 x 2y 2z最小 值 为6 ，公 式 法 求(x ， y ， z) 此 时322)2(26221222zyx32x，34y，34z变式 6：设 x, y, zR，假设332zyx，则222)1(zyx之最小值为 _，又此时y_。解析：1436)1()332(1)3(2) 1(2222222222zyxzyxzyx最小值7181,233,2(2 )3( 31)3231xyztxyzttt73t72y变式 7：设 a，b，c 均为正数且a b c 9，则cba1694之最小值为解：2)432(ccbbaa(cba1694)(a b c) (cba1694) 9 (2 3 4)
4、2 81 cba1694981 9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页变式 8：设 a, b, c 均为正数，且232cba，则cba321之最小值为 _ 解： : 2222222)321 ()3()2()1()3()2()(cbacba18)321(cba，最小值为18 变式 9：设 x，y， z R 且14)3(5)2(16)1(222zyx，求 x y z 之最大、小值 : 【解】14)3(5)2(16)1(222zyx由柯西不等式知425)2 22222)23()52()41(zyx2)52(5)41(4yx
5、2)23(z25 1 (x y z 2)25 |x y z 2| 5 x y z 2 5 3 x y z 7 故 x y z 之最大值为7，最小值为 3 类型二：利用柯西不等式证明不等式基本方法：1巧拆常数例 1 2重新安排某些项的次序例23改变结构例 3 4添项例4例 1设、为正数且各不相等，求证：又、各不相等，故等号不能成立。例 2、为非负数，+=1，求证：即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页例 3假设，求证：解 ：， ， 所 证 结 论 改 为 证例 4，求证：左端变形，只需证此式即可。【变式 1】设 a,b,
6、c 为正数，求证：，即。同理，将上面三个同向不等式相加得，【变式2】设a,b,c为正数，求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页于是即【变式 3】已知正数满足证明。解：又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：，故。类型三：柯西不等式在几何上的应用6 ABC 的三边长为a、 b、c，其外接圆半径为R，求证：证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边 =。【变式】 ABC 之三边长为4，5，6，P 为三角形内部一点，P 到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。且4x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z)
7、2(x2+y2+z2)(42+52+62) (x2+y2+z2)77x2+y2+z2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页柯西不等式22211nnbababa222221222221nnbbbaaaniRbaii2, 1,等号当且仅当021naaa或iikab时成立 k 为常数，ni2, 1利用柯西不等式可处理以下问题：1） 证明不等式例 2:已知正数, ,a b c满足1abc证明2223333abcabc证明：23131312222222222abca ab bc c222333222abcabc2333abcab
8、c1abc又因为222abcabbcca在此不等式两边同乘以2，再加上222abc得：2223abcabc22223332223abcabcabc?故2223333abcabc2） 解三角形的相关问题例 3 设p是ABC内的一点，, ,x y z是p到三边, ,a b c的距离，R是ABC外接圆的半径，证明22212xyzabcR证明：111xyzaxbyczabc111axbyczabc记S为ABC的面积，则2242abcabcaxbyczSRR122abcabbccaxyzabbccaRabcR22212abcR3） 求最值例 4 已知实数, ,a b c ,d满足3abcd，222223
9、65abcd试求a的最值解：2222111236236bcdbcd即2222236bcdbcd由条件可得，2253aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页解得，12a当且仅当2361 21 31 6bcd时等号成立，代入111,36bcd时，max2a211,33bcd时min1a5利用柯西不等式解方程例 5在实数集内解方程22294862439xyzxyy解：222222286248624xyzxyy2222228624xyz2964364 144394又22862439xyy,.222222286248624xyzxyz即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得8624xyz，它与862439xyy联立，可得613x926y1813z精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页