《2022年高中数学柯西不等式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学柯西不等式.docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -类型一：利用柯西不等式求最值例 1求函数的最大值解： 且, 函数的定义域为,且,即时函数取最大值,最大值为法二： 且, 函数的定义域为由,得即,解得时函数取最大值,最大值为.当函数解析式中含有根号经常利用柯西不等式求解【变式 1】设且,求的最大值及最小值.利用柯西不等式得,故最大值为10,最小值为 -10【变式 2】已知,求的最值 .法 一： 由柯西不等式于是的最大值为,最小值为.法二： 由柯西不等式于是的最大值为,最小值为.【变式 3】设 2x+3y+5z=29 ,求函数的最大值依据柯西不等式可编辑资料
2、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -,故.当且仅当2x+1=3y+4=5z+6 ,即时等号成立, 此时,变式 4：设 a1, 0,2, bx, y,z,如 x2y 2z216,就 a b 的最大值为.a bx2z02z 2【解】a1, 0,2, bx, y , z由柯西不等式 1 202 2x 2y2z2x516x2z245x4545a b45 ,故 a
3、 b 的最大值为45 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 5：设 x , y, zR,如 x222y z4,就 x2y2z 之最小值为时, x ,y , z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解x2y2z2x2y2z21 22 222 4 936x2y2z最小 值 为6 ,公 式 法 求x, y , z此 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyz1222 262 22 22 x32 , y4 , z4333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 6：设 x, y, zR,如 2x3 y此时 y .z 3 ,就 x2 y1 2z2 之
4、最小值为 ,又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： x2 y1 218z2 2 23 212 2 x3 y3z2 x 2 y1 2z2 3614可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最小值7xy 1zt,x2y3z3,2t2 t3 t313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23132ty774916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 7：设 a, b, c 均为正数且abc9,就ab之最小值为c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：2a a3b4c 2bc4916abcabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
5、_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -49162 923481491681abcabc99可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 8：设 a, b, c 均为正数,且a2b3c2 ,就 1a23之最小值为 bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： :a) 2122b 233c2 1 2a2 2b3 2 c123 2
6、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abc18 ,最小值为18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x12 y2 2z32变式 9：设 x , y, zR 且1,求 xyz 之最大、小值 :1654可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】2 x1162 y252z341 由柯西不等式知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 2（5 222 x1 24 y2 25 z3 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 x145 y2 522 z3
7、2251xyz2 25|xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z2|5xyz253xyz7故 xyz 之最大值为7,最小值为3类型二：利用柯西不等式证明不等式基本方法： （ 1）巧拆常数（例 1）（ 2）重新支配某些项的次序（例2）（ 3）转变结构（例 3）（ 4）添项（例4）例 1设、为正数且各不相等,求证：又、各不相等,故等号不能成立.例 2、为非负数,+=1,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
8、料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -即例 3如,求证：解 ：, , 所 证 结 论 改 为 证例 4,求证：左端变形,只需证此式即可.【变式 1】设 a,b,c 为正数,求证：,即.同理,将上面三个同向不等式相加得,【变式2】设a,b,c为正数,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -于是即【变式 3
9、】已知正数满意证明.解：又由于在此不等式两边同乘以2,再加上得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类型三：柯西不等式在几何上的应用,故.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 ABC 的三边长为a、 b、c,其外接圆半径为R,求证：证明：由三角形中的正弦定理得,所以,同理,于是左边 =.【变式】 ABC 之三边长为4,5, 6,P 为三角形内部一点,P 到三边的距离分別为x , y ,z,求的最小值.且4x+5y+6z=由柯西不等式4x+5y+6z 2 x 2 +y2+z2 42+52+62 x 2+y2+z2 77x 2+y 2+z2.可编辑资料 - - - 欢迎下
10、载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -柯西不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a ba ba ba 2a 2a b 2b 22222b a bR,i1,2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21 12 2n n12n12nii可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等号当且仅当a1a2an0 或 bikai 时成立（ k 为常数, i1
11、,2n ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用柯西不等式可处理以下问题：1） 证明不等式例 2: 已知正数 a,b, c 满意 abc1证明a 2b 2c 2a3b 3c 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23131312323232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：a 2b2c2a 2 a 2b 2 b 2c 2 c2a2b2c2abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 3b 3c32abcabc1可编辑资料 - - - 欢迎下
12、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于a2b 2abc3 a 2c2a bb cc在a此不等式两边同乘以2,再加上 a 2b2 b2c2c2 得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a 2b 2c2a3b3c33 a 2b2c2故 a3b3c3a 2b2c23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2） 解三角形的相关问题例 3 设 p 是ABC 内的一点,x, y, z 是 p 到三边a,b, c 的距离, R 是ABC 外接圆的半径,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑
13、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明xyz1222abc2 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：xyzax1by1cz1axbycz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111abc记 S 为ABC 的面积,就axbycz2S2abcabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 R2 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyz3） 求最值abcabbcca 2Rabc1abbcca 2R1a 2b2c22 R可编辑资料 - -
14、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 已知实数a,b, c , d 满意a bcd3 ,a 22b 23c26d 25 试求 a 的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：2b 23c26d 2111236b cd22即 2b3c26 d 22bcd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由条件可得,5a23a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 -
15、 - - - - - - - - -第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得, 1a2 当且仅当2b3c6d时等号成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 21 31 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入 b1,c1 , d1 时,amax2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b1,c3621,d时33amin1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
16、料_25）利用柯西不等式解方程例 5在实数集内解方程x2y 28 x6 yz294224 y39可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：x2y2z2862248x6 y224 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2z28 26224 296 43 641 4 442 3 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又8 x6 y224 y392 ,.x2y2z28 26224 28x6 y224z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyz,它与8 x 86246 y24 y39 联立,可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x6y91326z1813可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载