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1、学习好资料欢迎下载高中数学复习系列 - 不等式（柯西不等式）【柯西不等式的主要内容】1. 柯西主要贡献简介：柯西（ Cauchy） ，法国人，生于1789 年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2. 二维形式的柯西不等式：若, , ,a b c dR，则当且仅当时, 等号成立 . 变式 10. 若, , ,a b c dR，则|2222bdacdcba或bdacdcba2222；变式 20.若, , ,a b c dR，则222222()()abcdacbd；
2、变式 30. （三角形不等式）设332211,yxyxyx为任意实数，则：222212122323()()()()xxyyxxyy3. 一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式 ： 设n为 大 于1的 自 然 数 ，,iia bR(i1,2, ,n) ，则： .当且仅当时, 等号成立 . (若0ia时，约定0ib，i1,2, ,n). 变式 10.设,0(1,2, ),iiaR bin则：iiniiibaba212)( . 当且仅当时, 等号成立 . 变式 20. 设0(1,2, ),iia bin则：iiiniiibaaba21)(. 当且仅当nbbb21时, 等号成立 . 如果一个定理与很多
3、学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、 向量、 几何、 三角、 函数等各方面都有联系. 所以 , 它的重要性是不容置疑的！ 柯西不等式的应用：例 1.已知实数, ,a b c ,d满足3a b c d，22222365abcd. 试求a的最值例 2 在实数集内解方程22294862439xyzxyy例 3 设P是三角形ABC内的一点，, ,x y z是p到三边, ,a b c的距离，R是ABC外接圆的半径，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4、名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载证明：22212xyzabcR例 4 ( 证明恒等式 ) 已知, 11122abba求证：122ba。例 5 ( 证明不等式 ) 设,121nnaaaa求证 :011111113221aaaaaaaannn【同步训练 】1. 已知12,na aaR，求证：222212121()nnaaaaaan2. 已知, , ,a b c d是不全相等的正数，求证：2222abcdabbccdda名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
5、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载3. 已知222231,xyzxyz求的最小值. 4. 设12n,x ,xR ,x12nxx1,x且求证：2221212x11 x111nnxxxxn5. 已知实数, , , ,a b c d e满足8a b c d e, 2222216,abcde求e的取值范围 . 6. 已知, ,x y zR且1,xyz求证：14936xyz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
6、- - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载7. 已知正数, ,a b c满足1abc证明2223333abcabc8. 若 n 是不小于2 的正整数，试证：4111112172342122nn。参考答案 : 一般形式的柯西不等式：设n为大于 1的自然数，,iia bR(i1,2, ,n) ，则：211212)(niiiniiniibaba，其中等号当且仅当nnababab2211时成立 ( 当0ia时，约定0ib，i1,2, ,n). 等号成立当且仅当)1(niabii柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的名师资料总结 - -
7、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。例 1 解：由柯西不等式得，有2222111236236bcdbcd即2222236bcdbcd由条件可得，2253aa解得，12a当且仅当2361 21 31 6bcd时等号成立，代入111,36bcd时，max2a211,33bcd时min1a例 2 解：由柯西不等式，得
8、222222286248624xyzxyy2222228624xyz2964364 144394又22862439xyy. 222222286248624xyzxyz即不等式中只有等号成立. 从而由柯西不等式中等号成立的条件，得8624xyz它与862439xyy联立，可得613x926y1813z例 3 证明：由柯西不等式得，111xyzaxbyczabc111axbyczabc记S为ABC的面积，则2242abcabcaxbyczSRR122abcabbccaxyzabbccaRabcR22212abcR故不等式成立。例 4 证明：由柯西不等式，得11111222222bbaaabba当且
9、仅当abab2211时，上式取等号，,1122baab,112222baba于是122ba。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 5 分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：, 11111322111nnnaaaaaaaa证明：为了运用柯西不等式，我们将11naa写成1322111nnnaaaaaaaa于是. 111121322113221naaaaaaaaaaaan
10、nnn即,1111111111132211322111nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa故.011111113221aaaaaaaannn我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。练习1证：22222221212(111 )()(111)nnaaaaaa22221212()()nnn aaaaaa222212121()nnaaaaaan2、2222222222222222222: ()()(), , ,()() aacdbcdaa
11、bbccddaabcda b c dbcdaabcdabbccddabcdabbccdda证明是不全相等的正数不成立即 3 2222222222222:()(123 )(23 )1114113,12314714114xyzxyzxyzxyzxyzxyz解当且仅当即时取最小值 4 、2221212221212122n1212n1222n12: (1) ()111(1x11) (11x)( 111x111x)()11nnnnnnxxxnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx证明名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精
12、心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 5 22222222222222:4(a)(1 1 1 1)()(abcd)4(16)(8) ,64464 16165160,05bcdabcdeeeeeeee解即即故 6 2222:149149()()123()3611111,49632.xyzxyzxyzxyzxyzxyzxyz证法一 用柯西不等式当且仅当即时等号成立:149149()()()494914()()()144612361112 ,3 ,632xyzxyzxyzxyzxyzyxzxzyxyxzyzyx zxxyz
13、证法二代入法当且仅当即时 等号成立 7证明：利用柯西不等式23131312222222222abca ab bc c222333222abcabc2333abcabc1abc又因为222abcabbcca在此不等式两边同乘以2，再加上222abc得：2223abcabc22223332223abcabcabc故2223333abcabc9、证明：证明：1111111111111(1)2()2342122342242nnnn111122nnn所以求证式等价于4111271222nnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
14、名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载由柯西不等式有2111()(1)(2)2 122nnnnnnn于是：2111241122(1)(2)273nnnnnnnn又由柯西不等式有222222111111(111 )(122(1)(2)(2 )nnnnnn111112()(1)(1)(2)(21)222nnn nnnnnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -