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1、 柯西不等式 1.二元均值不等式有哪几种形式 答案：(0,0)2ababab及几种变式.2.已知a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd 证法：（比较法）22222()()()abcdacbd=.=2()0adbc 定理：若a、b、c、d为实数，则22222()()()abcdacbd.变式：2222|abcdacbd 或 2222|abcdacbd 或2222abcdacbd.定理：设1212,nna aa b bbR，则 222222212121 122()()()nnnnaaabbba ba ba b （当且仅当1212nnaaabbb时取等号，假设0ib）变式：
2、222212121()nnaaaaaan.定理：设,是两个向量，则|.等号成立（是零向量，或者,共线）练习：已知a、b、c、d为实数，求证222222()()abcdacbd.证法：（分析法）平方 应用柯西不等式 讨论：其几何意义（构造三角形）三角不等式：定理：设1122,x y xyR，则22222211221212()()xyxyxxyy.变式：若112233,x y xyxyR，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式 例 1：求函数31102yxx 的最大值 分析：如何变形 构造柯西不等式的形式 变式：31102yxx 推广：,(,)ya bxcdefxa b c d e fR 例
3、2：若,x yR，2xy，求证：112xy.分析：如何变形后利用柯西不等式（注意对比 构造）要点：222211111111()()()()()()22xyxyxyxyxy 讨论：其它证法（利用基本不等式）练习：已知321xy，求22xy的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313xyxyxy.讨论：其它方法（数形结合法）练习：已知a、bR，求证：11()()4abab.例 1：已知321xyz，求222xyz的最小值.练习：若,x y zR，且1111xyz，求23yzx的最小值.变式：若,x y zR，且1xyz，求222xyz的最小值.变式：若,x y
4、 zR，且1xyz，求xyz的最大值.例 2：若abc，求证：cacbba411.要点：21111()()()()()(1 1)4acabbcabbcabbc 例 3 已知正数,a b c满足1abc 证明 2223333abcabc 证明：利用柯西不等式23131312222222222abca ab bc c 222333222abcabc 2333abcabc 1abc 又因为 222abcabbcca 在此不等式两边同乘以 2，再加上222abc得：2223abcabc 22223332223abcabcabc故2223333abcabc 例 4 设p是ABC内的一点，,x y z是p
5、到三边,a b c的距离，R是ABC外接圆的半径，证明22212xyzabcR 证明：由柯西不等式得，111xyzaxbyczabc111axbyczabc 记S为ABC的面积，则2242abcabcaxbyczSRR 122abcabbccaxyzabbccaRabcR22212abcR 故不等式成立。练习：已知实数,a b c,d满足3abcd，22222365abcd试求a的最值 解：由柯西不等式得，有2222111236236bcdbcd 即2222236bcdbcd 由条件可得，2253aa 解得，12a当且仅当2361 21 31 6bcd 时等号成立，代入111,36bcd时，m
6、ax2a 211,33bcd时 min1a 排序不等式 排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:12aa na;12bb nb.12,c c nc是12,b b，,nb的任一排列,则有 1 122a ba b +nna b(同序和)1 122a ca c+nna c(乱序和)121nna ba b+1na b(反序和)当且仅当12aa =na或12bb =nb时，反序和等于同序和.排序不等式的应用：例 1：设12,na aa是n个互不相同的正整数，求证：32122211112323naaaann.证明过程：设12,nb bb是12,na aa的一个排列，且12nbbb，则121,2,nbbbn.又222111123n，由排序不等式，得 3322112222222323nnaabbababnn 小结：分析目标，构造有序排列.练习：已知,a b c为正数，求证：3332222()()()()abcabcbaccab.解答要点：由对称性，假设abc，则222abc，于是 222222a ab bc ca cb ac b，222222a ab bc ca bb cc a，两式相加即得.