《00高中数学第章柯西不等式与排序不等式及其应用.排序不等式讲义4-.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《00高中数学第章柯西不等式与排序不等式及其应用.排序不等式讲义4-.pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-2.2 排序不等式 学习目标：1。了解排序不等式的数学思想和背景.2。理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题 教材整理 1 顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn为b1，b2,，bn的任一排列，称a1b1a2b2anbn为这两个实数组的顺序和；称a1bna2bn1anb1为这两个实数组的反序和;称a1c1a2c2ancn为这两个实数组的乱序和 教材整理 2 定理(排序原理,又称为排序不等式）设a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2，cn为b1，b2，bn的任一排列，则有a1b
2、na2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，等号成立(反序和等于顺序和）a1a2an或b1b2bn，可简记作:反序和乱序和顺序和 已知xy，Mx4y4，Nx3yy3x，则M与N的大小关系是()AMN BMN 学必求其心得，业必贵于专精 -2-CM0,错误!0，于是得错误!错误!，从而1bc错误!错误!。（2)由(1）知错误!错误!错误!0 且abc0，学必求其心得，业必贵于专精 -3-错误!错误!错误!,a2b2c2.由排序不等式，顺序和乱序和得 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!1c2,故a2b2c2错误!错误!错误!错误!错误!.利
3、用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组 1已知 0a1a2an，求证：错误!错误!错误!错误!a1a2an.证明 0a1a2an,a错误!a错误!a错误!,错误!错误!错误!，由排序不等式知，乱序和不小于反序和，得 错误!错误!错误!错误!a错误!错误!a错误!错误!a2，n错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -4-因此错误!错误!错误!错误!a1a2an.字母大小顺序不定的不等式证明【例 2】设a，b,c为正数,求证：错误!错误!错误!错误!错误!错误!.精彩点拨（1）题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目
4、中没有给出a,b，c的大小顺序解答本题时不妨先设定abc，再利用排序不等式加以证明 自主解答 不妨设 00，则a2b2c2，错误!错误!错误!，则a2错误!b2错误!c2错误!（乱序和）a2错误!b2错误!c2错误!（反序和)，同理，b2错误!c2错误!a2错误!(乱序和)a2错误!b2错误!c2错误!(反序和）两式相加再除以 2,可得abc错误!错误!错误!.利用排序不等式求最值【例 3】设a，b，c为任意正数,求错误!错误!错误!的最小值 精彩点拨 由对称性，不妨设abc0，注意到错误!错误!1，设法构造数组，利用排序不等式求解 自主解答 不妨设abc,则abacbc,错误!错误!错误!，
5、由排序不等式得，学必求其心得，业必贵于专精 -6-错误!错误!错误!错误!错误!错误!，abc错误!错误!错误!错误!错误!，上两式相加,则 2错误!3，即错误!错误!错误!错误!.当且仅当abc时，错误!错误!错误!取最小值错误!.1分析待求函数的结构特征,构造两个有序数组 2运用排序原理求最值时，一定验证等号是否成立，若等号不成立,则取不到最值 3已知x，y，z是正数，且xyz1，求t错误!错误!错误!的最小值 解 不妨设xyz0，则x2y2z2，错误!错误!错误!。由排序不等式，乱序和反序和 错误!错误!错误!x2错误!y2错误!z2错误!xyz.又xyz1，错误!错误!错误!1,当且仅
6、当xyz错误!时，等号成立 故t错误!错误!错误!的最小值为 1.学必求其心得，业必贵于专精 -7-排序不等式的特点 探究问题 1排序不等式的本质含义是什么？提示 排序不等式的本质含义是两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大;反方向单调(一增一减）时所得两两乘积之和最小注意等号成立的条件是其中一个序列为常数序列 2排序原理的思想是什么？提示 在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时,我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来,继而利用不等关系来解题因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方
7、法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题【例 4】若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min，25 min和30 min,每台电脑耽误1 min,网吧就会损失0。05 元在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小?学必求其心得，业必贵于专精 -8-精彩点拨 这是一个实际问题,需要转化为数学问题 要使经济损失降到最小,即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台所用时间t1 min 时,三台电脑等候维修的总时间为 3t1 min，依此类推，等候的总时间为 3t12t2t3 min，求其最小值即可 自主解答 设t1，t2
8、,t3为 25,30，45 的任一排列,由排序原理知 3t12t2t332523045180（min），所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小 1首先，理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型 2 三台电脑的维修时间 3t12t2t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值（运用排序原理）4有 5 个人各拿一只水桶到水龙头接水,如果水龙头注满这 5个人的水桶需要时间分别是 4 分钟,8 分钟，6 分钟,10 分钟，5 分钟，那么如何安排这 5 个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？学必求其心得，业必贵于专精 -9-解 根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为 455463
9、82101 84(分钟）即按注满时间为 4 分钟,5 分钟，6 分钟，8 分钟，10 分钟依次等水，等待的总时间最少 1设a1，a2，a3为正数，且a1，a2,a3的任一排列为a1，a2，a3,则a1a1错误!错误!的最小值为(）A3 B6 C9 D12 解析 由题意，不妨设a1a2a30,则错误!错误!错误!0，错误!错误!错误!错误!错误!错误!3，当且仅当a1a2a3时等号成立 答案 A 2设a，b，c为正数，Pa3b3c3，Qa2bb2cc2a,则P与Q的大小关系是（)APQ BPQ CP0，则a2b2c20。由排序不等式得a2ab2bc2ca2bb2cc2a.PQ。答案 B 3锐角三
10、角形中,设P错误!,Qacos Cbcos Bccos A，则P，Q的关系为()APQ BPQ CPQ D不能确定 解析 不妨设ABC，则abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有 Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin（AB)sin（BC）sin（AC）R(sin Csin Asin B)错误!P。答案 C 4若c1，c2，c3是 4，5，6 的一个排列，则c12c23c3的最大值是_，最小值是_ 解析 由排序不等式，顺序和最大，反序和最小 学必求其心得，业必贵于专精 -11-最大值为14253632,最小值为16253428.答案 32 28 5已知a，b，c为正数，abc，求证:错误!错误!错误!错误!错误!错误!.证明 abc0，a5b5c5，1c错误!错误!0，错误!错误!错误!,1b3c3错误!错误!，由顺序和乱序和得 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!,错误!错误!错误!c2a3错误!错误!。