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1、学习必备欢迎下载3.1 3.2 柯西不等式1. 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2ababab及几种变式 . 2. 已知a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd证法： （比较法）22222()()()abcdacbd= .=2()0adbc定理：若a、b、c、d为实数，则22222()()()abcdacbd. 变式：2222|abcdacbd或2222|abcdacbd或2222abcdacbd. 定理：设1212,nna aa b bbR，则222222212121 122()()()nnnnaaabbba ba ba b（当且仅当1212nnaaabb
2、b时取等号，假设0ib）变式：222212121()nnaaaaaan. 定理：设,是两个向量，则| |. 等号成立？（是零向量，或者,共线）练习：已知a、b、c、d为实数，求证222222()()abcdacbd. 证法： （分析法）平方 应用柯西不等式 讨论：其几何意义？（构造三角形）三角不等式：定理：设1122,x yxyR，则22222211221212()()xyxyxxyy. 变式：若112233,x yxyxyR，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？例 1：求函数31102yxx的最大值？分析：如何变形？ 构造柯西不等式的形式变式：31102yxx 推广：,( , , ,
3、 , ,)ya bxcdefxa b c d e fR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载例 2：若, x yR，2xy，求证：112xy. 分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 构造）要点：222211111111()()()() ()() 22xyxyxyxyxy讨论：其它证法（利用基本不等式）练习：已知321xy，求22xy的最小值 . 解答要点：（凑配法）2222222111()(32 )(32 )131313xyxyxy. 讨论：其它方法（数形结合法）练习：已知a、bR，求证：11()(
4、)4abab. 例 1：已知321xyz，求222xyz的最小值 . 练习：若, ,x y zR，且1111xyz，求23yzx的最小值 . 变式：若, ,x y zR，且1xyz，求222xyz的最小值 . 变式：若, ,x y zR，且1xyz，求xyz的最大值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载例 2：若abc，求证：cacbba411. 要点：21111()()()()()(1 1)4acabbcabbcabbc例 3 已知正数, ,a b c满足1abc证明2223333abcabc证明
5、：利用柯西不等式23131312222222222abca ab bc c222333222abcabc2333abcabc1abc又因为222abcabbcca在此不等式两边同乘以2，再加上222abc得：2223abcabc22223332223abcabcabc故2223333abcabc例 4 设p是ABC内的一点，, ,x y z是p到三边, ,a b c的距离，R是ABC外接圆的半径，证明22212xyzabcR证明：由柯西不等式得，111xyzaxbyczabc111axbyczabc记S为ABC的面积，则2242abcabcaxbyczSRR122abcabbccaxyzabb
6、ccaRabcR22212abcR故不等式成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载练习：已知实数, ,a b c ,d满足3abcd，22222365abcd试求a的最值解：由柯西不等式得，有2222111236236bcdbcd即2222236bcdbcd由条件可得，2253aa解得，12a当且仅当2361 21 31 6bcd时等号成立，代入111,36bcd时，max2a211,33bcd时min1a3.3 排序不等式排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:12aa na;12bb nb.
7、12,c c nc是12,b b， ,nb的任一排列 , 则有1 122a ba b +nna b ( 同序和 ) 1 122a ca c+ +nna c ( 乱序和 ) 121nna ba b+ +1na b ( 反序和 ) 当且仅当12aa =na或12bb =nb时，反序和等于同序和. 排序不等式的应用：例 1：设12,na aa是n个互不相同的正整数，求证：32122211112323naaaann. 证明过程：设12,nb bb是12,na aa的一个排列，且12nbbb，则121,2,nbbbn. 又222111123n，由排序不等式，得3322112222222323nnaabbababnn小结：分析目标，构造有序排列. 练习：已知, ,a b c为正数，求证：3332222()()()()abcabcbaccab. 解答要点：由对称性，假设abc，则222abc，于是222222a ab bc ca cb ac b，222222a ab bc ca bb cc a，两式相加即得 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页