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1、优秀学习资料欢迎下载高中数学解析几何问题研究题 1. Let point M move along the ellipse 18922yx ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is . (ellipse 椭圆； focus 焦点； coordinate 坐标) （第十四届高二第二试第18 题）译文：点 M是椭圆18922yx上一点，点 F 是椭圆的右焦点，点P（6，2） ，那么 3|MF|-|M
2、P| 的最大值是，此时点 M的坐标是 . 解在 椭 圆18922yx中 ，8,922ba， 则1, 12cc，所以椭圆的右焦点F的坐标为（1，0） ，离心率31ace，右准线9:2caxl，显然点P（6，2）在椭圆18922yx的外部 . 过点 P、M分别作 PG l于 G ，MD l于 D ，过点P作PQ MD于Q，由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|- |MP|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3 ，当且仅当点 P 位于线段MD上，即点 P与 Q点重合时取等号 . 由点 P位于线段 MD上，M D l及点 P （6，2） ，知点 M的纵坐标为 2，设 M的横坐标为0
3、x，即 M （0 x，2） ，则有184920 x，解得2230 x，因此 3|MF|-|MP| 的最大值是 3， 此时点 M的坐标是（223， 2）. 评析 若设点 M的坐标为 (x,y) ， 则可将 3|MF|-|MP| 表示成 x、 y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP| 转化为 |MD|-|MP| ，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程 . 拓展 将此题引伸拓广，可得-3 O 1 3 6 9 x M M Q D y P G l F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
4、- - - - -第 1 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载定理 M 是椭圆 E：)0(12222babyax上的动点， F是椭圆 E的一个焦点，c为椭圆 E的半焦距， P（m,n）为定点 . 若点 P在椭圆 E内，则当 F 是右焦点时，e1|MF|+|MP| 的最小值是mca2；当 F是左焦点时，e1|MF|+|MP| 的最小值是mca2. 若点 P在椭圆 E外，则F 是右焦点，且 0m ca2，|n| b时，e1|MF|-|MP| 的最大值是mca2. F 是右焦点，且 mca2，|n| b时，|MP|-e1|MF| 的最小值是cam2. F 是左焦点，且ca2m 0，|n| b时，e1
5、|MF|-|MP| 的最大值是mca2. F 是左焦点，且 m ca2，|n| b时，|MP|-e1|MF| 的最小值是cam2. 简证 1 、如图 1，作 MN 右准线 l 于 N，PQ l于 Q ，由椭圆定义， |MN|=e1|MF|. e1|MF|+|MP|=|MN|+|MP| |PQ|=mca2，当且仅当P、M 、Q 三点共线，且M在 P、 Q之间时取等号 . 如图 2， 同理可证e1|MF|+|MP|=|MN|+|MP| |PQ|=mca2，当且仅当 P、M 、Q三点共线， 且m O m F x M N y P M Q l 图 1 F m O x N M y Q M P l 图 2
6、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载M在 P、Q之间时取等号 . 如图 3，e1|MF|-|MP|=|MN|- |MP|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=mca2，当且仅当P位于线段 MN 上，即 P与 R重合时取等号 . 如图 4，|MP|-e1|MF|=|MP|- |MN|MQ|-|MN|=|NQ|=cam2，当且仅当 P位于直线 MN 上，即点 P与 Q重合时取等号 . 如图 5，e1|MF|-|MP|=|MN|- |MP|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=mca2，当且仅当P位于线
7、段 MN 上，即 P与 R重合时取等号 . 如图 6，|MP|-e1|MF|=|MP|- |MN|MQ|-|MN|=|NQ|=cam2，当且仅当 P位于直线 MN 上，即点 P与 Q重合时取等号 . 题 2 已知双曲线kyx22关于直线 x-y=1 对称的曲线与直线x+2y=1 相切，则k的值等于（）m O F m x M M R N y P Q l 图 3 O F m x M M N Q y P l 图 4 m F O x Q P y N R M M l 图 5 m F O x P y Q N M M l 图 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
8、 - - -第 3 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载A、32 B、34 C、45 D54（第十五届高二培训题第19 题）解设点 P（x0,y0 ）是双曲线kyx22上任意一点，点P 关于直线 x-y=1 的对称点为P（x,y ）, 则12200yyxx，又100 xxyy，解、联立方程组得0011xyyx. P 点在双曲线kyx22上，kyx2020. 代入，得kxy22)1()1(，此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得 x=1-2y, 代入并整理，得01232kyy. 由题意， =4-12（k-1 ）=0，解得k=34，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程. 由于对称曲线
9、与直线相切，故由=0 便可求得 k 的值. 拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的结论 1 、点（ x0,y0 ）关于 x 轴的对称点是（ x0,-y0 ）. 2、点（ x0,y0 ）关于 y 轴的对称点是（ -x0, y0 ）. 3、点（ x0,y0 ）关于 y=x 的对称点是（ y0,x0 ）. 4、点（ x0,y0 ）关于 y=-x 的对称点是（ -y0,-x0 ）. 5、点（ x0,y0 ）关于 y=x+m的对称点是（ y0-m,x0+m）. 6、点（ x0,y0 ）关于 y=-x+n 的对称点是（ n-y0,n-x0 ）. 7、点（ x0,y0 ）关于直线 Ax+By+C=0 的对称
10、点是（ x,y ） ，x,y 是方程组)()(02210101010 xxByyAcyyBxxA的解. 根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线f(x,y)=0关于直线 y=x+m对称的曲线的方程是f(y-m,x+m)=0. 3. 21,FF是双曲线3322yx的左、右焦点，BA,两点在右支上， 且与2F在同一 条 直 线 上 ， 则11F AF B的 最 小 值 是_. （第四届高二第二试第15题）解双曲线3322yx, 即1322yx，如图，x A M y OB C D N F1 F2 l 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
11、- - - -第 4 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载BA,在双曲线右支上，3221AFAF, 3221BFBF, 故当22BFAF取得最小值时，11BFAF也取最小值 . 设l是双曲线对应于2F的准线，lBDlAC, 垂足为DC,，则由双曲线定义可知BDeBFACeAF22,，而MNBDAC2，其中MN是梯形ACDB的中位线，当21FFAB时，MN取最小值21232，这时，22BFAF取得最小值322 MNe, 从而11BFAF取最小值33143234. 评析解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现22BFAF，即)(BDACe， 亦即MNe2最小时，BFAF11也最小，并能
12、知道21FFAB时MN最小（这点请读者自己证明） . 本题虽然也有其他解法， 但都不如此法简单，双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用. 拓展将本题中的双曲线一般化，便得定理1F、2F是双曲线12222byax的左、右焦点，BA,两点在右支上，且与2F在同一条直线上，则BFAF11的最小值是aba224. 仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者）. 用此定理可知本题中的最小值为3314312342. 题4. 方程|3|2222yxyx表示的曲线是( ) A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线（第十二届高二培训题第23 题）解法 1 由|3|2222yxyx的两边平方
13、并整理得012102yxxy. 令vuyvux,，则012102vuvuvuvu，整理得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载91812288222vvuu，即9322222vu，故已知方程表示双曲线，选C. 解法 2 已知方程就是2|3|22222yxyx，由双曲线的第二定义， 可知动点 Pyx,到定点 （2， 2） 的距离与到定直线03yx的距离比为2，因为12，所以选 C. 评析根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直线方程 . 显然，平方可去掉根号与绝对值符号，
14、但却出现了乘积项xy. 如何消去乘积项便成了问题的关键. 解法 1 表明对称换元是消去乘积项的有效方法. 解法 2 从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（ 2，2）的距离与到定直线03yx的距离之比为2的动点yx,的轨迹，根据双曲线定义选C.显示了发现与联想在解题中的作用. 拓展将此题一般化，我们有下面的定理若|22CByAxbyax（baCBA、为常数，且BA、不全为零），则（1）当1022BA时，方程表示ba,为一个焦点， 直线0CByAx为相应准线的椭圆 . （2）当122BA时，方程表示ba,为一个焦点，直线0CByAx为相应准线的双曲线 .
15、 （ 3 ） 当122BA且0cBbAa时 ， 方 程 表 示 过 点ba,且 与 直 线0CByAx垂直的直线 . （ 4 ） 当122BA且0cBbAa时 ， 方 程 表 示ba,为 焦 点 ， 直 线0CByAx为准线的抛物线 . 读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理. 题 5. 已知1x，则动点Axxxx1,1与点 B（1，0）的距离的最小值是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载（第七届高二第一试第23题）解法 1 由已知得2222111101ABxxxxxx214
16、xx212 xx2111723222xxxx将 此 式 看 作 以xx1为自变量的二次函数，111,22xxxxx, 这表明该二次函数的定义 域 是,2.该 函 数 在2,上 是 增 函 数 ，当21xx时 ，1, 1272122mi n22m i nABAB. 解法 2 令24,tanx，则112tan2csc22tansin2xx112 ,xxx112tan2cot 2 .tantan2xx2222172csc 212cot 28csc 24csc238 csc2.42AB当12csc，即4时，12741182minAB. 解 法3 设11xttytt（ t1） , 两 式 平 方 并 相
17、 减 ， 得),0,2(422yxyx即动点 A 的轨迹是双曲线422yx的右半支在 x 轴上方的部分（含点（ 2，0） ） ，由图知 |AB|min=1. 评析 所求距离 |AB| 显然是 x 的函数，然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的复合函数，在定义域, 1上的最小值并不好求，解法1 根据|AB| 0，通过平方，先求2min| AB，再求 |AB|min=2min| AB，并将xx1看作一个整体，将原问题化为求二次函数在,2上的最值问题；解法 2 通过三角换元，把求|AB|minx O 1 2 B y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
18、- -第 7 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载的问题转化为求关于2csc的二次函数在,2的最小值问题，整体思想、转化思想使得问题化繁为简，化生为熟；解法 3 则求出点 A的轨迹， 从图形上直观地看出答案，简捷得让人拍案叫绝，这应当归功于数形结合思想的确当运用. 许多最值问题，一旦转化为图形，往往答案就在眼前. 题 6. 抛物线2xy上到直线02yx的距离最小的点的坐标是_（第九届高二培训题第27题）解法 1 设抛物线2xy上的点的坐标是2, xx，则它到直线02yx的距离是2271()22422xxxd，当12x时d最小，此时14y. 故所求点的坐标是1 1,2 4. 解法 2 如图，将直
19、线02yx平移至与抛物线2xy相切，则此时的切点即为 所 求 点 . 设 切 线 方 程 为kxy， 代 入2xy， 得02kxx. 由o， 即041k， 得14k. 解214yxyx得1214xy. 故所求点的坐标是1 1,2 4. 解法 3 设所求点的坐标为P00, yx，则过点 P 的抛物线的切线应与直线02yx平行 . 而其切线方程为002yyx x，故120 x，012x.20014yx. 故所求点的坐标为1 1,2 4. 评析解法 1 由点线距离公式将抛物线上的任意一点2,xx到直线02yx的距离d表示成x的二次函数，再通过配方求最值，体现了函数思想在解析几何中的运用 . 解法 2
20、 运用数形结合思想发现与直线02yx平行的抛物线2xy的切线的切点就是所求点，设切线方程为kxy后运用方程思想求出k，进而求出切x yO -2 -2 y=x2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载点坐标 . 解法 3 则设切点为 P00, yx，直接写出过二次曲线0, yxf上一点 P0,0yx的切线方程，由切线与已知直线平行. 两斜率相等，求出切点坐标. 解法 2、3 不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法. 解法 3 涉
21、及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程，下面用导数证明一般情形的结论：定理 过抛物线cbxaxy2上一点 P00, yx的切线方程是00022yyxxax xbc. 证 明设 过 点P00, yx的 抛 物 线cbxaxy2的 切 线 的 方 程 为00 xxkyy.baxy2/，baxykxx0/20，代入得0002xxbaxyy，000022222axbxxyyy，200000022yyxxax xbyaxbx.点00, yx在抛物线cbxaxy2上，cbxaxy0200，cbxaxy0200，代入，得切线方程为00022yyxxax xbc. 拓展观察切线方程的特征，就是同时将曲线方程中的
22、22, yx分别换成xx0，yy0，把yx,分别换成00,22xx yy便得切线方程 . 事实上，对于一般二次曲线，有下面的定理 . 定理过二次曲线022FEyDxCyBxyAx上一点00,yx的该曲线的切线方程是0000000222x yxyxxyyAx xBCy yDEF. 运用该定理必须注意点00,yx在曲线上 . 例求过点3 ,2的曲线2223448300 xxyyxy的切线的方程 . 解经验证，点3 ,2在曲线2223448300 xxyyxy上， 根据上面的定理，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页优秀学
23、习资料欢迎下载所 求 切 线 方 程 为23322 234 348300222yxyxxy， 即0922213yx. 题 7 在抛物线xy42上恒有两点关于直线3kxy对称, 则k的取值范围是 . (第十五届高二培训题第 71题) 解法 1 设两点 B11,yx、C22,yx关于直线3kxy对称，直线 BC的方程为mkyx，将其代入抛物线方程xy42，得0442mkyy. 若设 BC的中点为 M00, yx，则kyyy22210. 因为 M在直线3kxy上，所以3222mkkk.kkkkkkm32223232，因为 BC与抛物线相交于 两 个 不 同 点 ， 所 以016162mk. 再 将m
24、的 式 子 代 入 ， 经 化 简 得0323kkk，即0312kkkk，因为032kk，所以01k. 解 法2 由 解 法1 ， 得kyy421，kkkmyy12884321. 因 为212212yyyy，所以kkkk1288432，解得01k. 解法 3 设 B11, yx、C22, yx是抛物线xy42上关于直线3kxy对称的两点，且 BC中点为 M00, yx. 因为2221214,4xyxy，所以1221224xxyy，即4211212yyxxyy， 所 以kyyk2,42100. 又300kxy, 所 以kkx320, 因为 M00, yx在抛 物线xy42的 内 部 ， 所 以0
25、204xy， 即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载kkk32422，解得01k. 解法 4 设 B、C是抛物线xy42上关于直线3kxy对称的两点， M 是 BC中点 .设M00,yx， Byx,， Cyyxx002 ,2,则xy42 ，xxyy020242. - ， 得0220200 xyyyx. 因为点 M00,xy在直 线3kxy上 ，003ykx. 代 入 得 直 线BC 的 方 程 为023320200 xkxykxx，故直线 BC的方向向量为32,000kxxxp，同理得直线3kx
26、y的方向向量00,kxxv. 因为直线BC 与直线3kxy垂直，所以0vp，即0,32,00000kxxkxxx，化简得03320020kxkkxx，得0320kkx或020 x（舍去） . 显然0k，解得kkxykkx23,32000. 因为 M00, yx在抛物线xy42的内部，所以0204xy， 即kkk32422，3223(1)(3)0,0,kkkkkkk又032kk，所以01k. 评析定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲线） 方程中参数的取值范围 . 这是解析几何中一类常见的问题. 解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围. 解法
27、 1 运用二次方程根的判别式，解法2 运用均值不等式，解法3、4 运用抛物线弦的中点在抛物线内部，分别成功地构造了关于k的不等式，这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于k的不等式起了积极作用 . 练习若抛物线12axy上总存在关于直线0yx对称的两个点，则实数a的取值范围是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载A、,41 B、,43 C、41,0 D、43,41答案： B 题 8 抛物线xy42的一条弦的倾斜角是, 弦长是2csc4, 那么这种弦都经过
28、一定点 , 该定点是（第十三届高二培训题第 73 题）解法 1 设弦过点)0 ,(aM，则弦所在的直线是)(axky，tank，90，代入抛物线方程，消去x得)4(2ayky，即042akyyk(弦长)2=)cot1 (2222416161cot16tanaak22csc16cot16a=4csc16，即2216cot1616csca21616cot，由此得1a当90时， 弦所在直线方程为)0(aax， 弦长为 4 由xyax42， 得ayax2或ayax2又由弦长44a，得1a综上，这些弦都经过点（1，0） 解法 2 由题意，对任意都得同一结论，故运用特殊化思想解令2，则弦长为42csc42
29、，此时弦所在直线方程为)0(aax，代入xy42，得ay42，ay2由题设，44 a，即1a所以2时，弦所在直线方程为1x再令4，则弦长为84csc42，设此时弦所在直线方程为1xby，得byx1， 代 入xy42并 整 理 ， 得04442byy， 弦 长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载11212214)(yyyy8)44(4162b，解得0b，所以4时，弦所在直线方程为1xy解11xyx，得定点为（ 1，0） 评析题目本身反映了对于一条确定的抛物线，若确定，则以为其倾斜角的弦的长也确定，
30、变化，则以为其倾斜角的弦的长也变化 但不论怎样变化，这样的弦都过一个定点，这反映了客观世界运动变化中的相对不变因素的存在由题设可知0，故解法 1 设弦过点)0 ,(a，并分直线的斜率存在与不存在两类情形，根据弦长是2csc4，直接求出1a从而说明不论为何值，弦总过定点（1，0） 这是合情合理的常规思维然而，根据题意， 这些弦过定点肯定是正确的，这就意味着满足题设的任意两弦的交点就是所求定点这就具备了运用特殊化思想解题的前提解法2 分别令2与4，得到两个相应的弦所在直线的方程，解其联立方程组得其交点为(1,0) ，即为所求这种解法的逻辑依据是“若对一般正确，则对一般中的特殊也正确”至于解法2 中
31、为什么令2与4，而不令713与325，主要是为了计算的方便，这也是用此法解题时应当十分注意的应当指出，凡解某种一般情形下某确定结论是什么的问题都可用这种方法解拓展原题中弦长2csc4中的 4 恰好为抛物线方程中的p2，而答案中的定点(1,0)又恰好为抛物线xy42的焦点这是偶然的巧合，还是普遍规律呢？经研究，这 并非巧合，而是一个定理 . 定理若抛物线)0(22ppxy的弦 PQ的倾斜角为，则2csc2pPQ的充分必要条件是 PQ经过抛物线的焦点)0,2(pF证明先证必要性 : 由已知，可设PQ的方程为)90,tan()(kaxky，代入pxy22，得22xk0)(2222akxpak由已知及
32、弦长公式得21221224)()1(xxxxkPQ 将 的 两 根 之 和 与 积 代 入 ， 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载2242241csc2kppapkk，从而得2442csctansecp（222tanpap） ，解得2pa，即知PQ过焦点(, 0)2pF容易验证当90时，结论也成立再证充分性：由已知可设PQ的方程为() (tan,90 )2pyk xk，代入2y2 px，得22244 (2)k xp kx22k p0 ， 将 的 两 根 之 和 与 积 代 入 得22cscP
33、Qp容易验证当90时，结论也成立应用该定理，可解决下面的问题：1斜率为 1 的直线经过抛物线24yx的焦点，与抛物线相交于A、B 两点，求线段 AB的长2PQ是经过抛物线24(0)yax a焦点F的弦，若PQb，试求POQ的面积（O是坐标原点） （91 年全国高中联赛题）3PQ是经过抛物线24yx焦点F的弦，O是抛物线的顶点，若POQ的面积为 4，求PQ的倾斜角 （98 年上海高考题）答案： 1. 8 2.aab 3.30或150题 9 长为)1(ll的线段 AB的两端在抛物线2xy上滑动，则线段AB的中点 M到x轴的最短距离等于 . （第 13 届高二第二试第 20 题）解设 AB的中点为
34、M （yx,） ，点 A的坐标为（yx,） ，由对称性知 B的坐标为,xy，于是有以下关系成立：22222()()( )2yxyxl+ ， 得22xy ， - ， 得x2.将 、 代 入 ， 得4)41)(222lxxy， 即2222221(14)14(14)4 (14)llyxxxx， 因 为, , . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载2(0,0),auxaxx当xa时, u有最小值 , 当xa时, u是单调增加的 . 又214(1),xl ly关于2x是单调增加的 , 所以, 当0 x时
35、, y取得最小值24l. 评析点 M到x轴的最短距离显然就是点M的纵坐标的最小值 . 巧妙利用对称性，设出点 M 、A、B的坐标后，利用曲线与方程的关系及平几知识，可以得到三个关系式，这又有何用处呢？我们要求的是y的最小值，现在却出现了四个变量、yx，能否消去、从而得到)(xfy，再求其最小值呢？果然，可以消去、，得到222)41(4xxly（这里用到了“设而不求”及函数的思想方法） . 若变形为2422164164xxxly，再令2xu，得到22416416luuyu)0(04)164(1622uyluyu，则可由方程有非负实数解求出y的最小值，但方程有非负实数解的充要条件很复杂. 能否用别
36、的 什 么 方 法 呢 ？ 考 虑 到 式 中 的0412x， 故 将 式 变 形 为 1)41(4141222xxly ， 由 于2241xl与241x的 积 是 定 值 ， 故 当2241xl=241x，即214xl时, 有y最小值 . 然而，因为1l，所以lx241，即214x取不到l，故由函数为2x的单调增函数，可知当时，0 x42minly. 注：形如)0()(2axaxxf的函数，若0,x则当xa时, ( )fx取得最小值2a； 若(0 )xabb, 则( )f x单 调 递 增 , min( )()f xf ab； 若0( 0)xabba, 则( )f x单调递减，)()(min
37、bafxf.( 请读者自己证明该结论 ) 拓展将此题推广，可得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载定理 1 长为l的线段 AB的两端在抛物线)0(22ppyx上滑动，线段 AB的中点 M到x轴的距离为d，则当;8202minpldpl时，pldpldpl8,222maxmin时，当. 证 明由 题 意 ， 直 线AB 的 斜 率k存 在 . 设),(),2,(),2,(00222211yxMpxxBpxxA则22121222ABxxppkxx0122xxxpp， 所以直线 AB的方程为)(000
38、 xxpxyy， 由20002()xpyxyyxxp，消去y，得22x2000220 x xxpy，因为点 M在抛物线的内部，即2002xyp，所以2004 20pyx（），又212012002,22xxxxxxpy，所以201221|xlxxp2222220121200012()42pxxxx xpxpyxpp.于是,2)(82020220pxxpplyd对0 x求导数，得022220001(1)()2282xpldpxxxp2 2022 2014()xp lppx220022202()4 ()xpxplp px)(2202plxp. （1）若02lp（抛物线的通径长），令00 xd，得00
39、 x，易知00 x，是d精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载xxB A F O l的唯一极小值点，所以当00 x（即ABy轴）时，2min8ldp；（2）若2lp，令00 xd，得00 x或02 (2 )2p lpx，易知当00 x时，2max8ldp；当02 (2 )2p lpx时，2minpld. 令定理中的21p，由定理的结论（ 1）可知本赛题的答案为24l. 此定理尽管也可以用均值不等式加以证明，但配凑的技巧性很强. 这里，运用高中数学的新增内容导数进行证明，显得较为简洁. 用导数研究函
40、数的最值问题，顺理成章，不必考虑特殊技巧，易被大家接受，应当加以重视并大力提倡. 此定理还可进一步拓广到椭圆、双曲线的情形，便得如下：定理 2 已知 A、B两点在椭圆)0(12222babyax上滑动， |AB| =l，线段 AB的中点 M到y轴的距离为d，则（1）22max22)2(22balaadalab时，当；（2）当blbadabl24222max2时，. 定理 3 已知 A、B 两点同在双曲线)0,(12222babyax的右（或左）分支上滑动，|AB| =l，线段 AB的中点 M到y轴的距离为d，则（1）22min22)2(2balaadabl时，当；（2）当blbadabl242
41、22min2时， . 为证定理 2、3，可以先证引理在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短. 证明设圆锥曲线的极坐标方程为cos1eep， 其中e表精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载示圆锥曲线的离心率，p表示焦点 F到对应准线l的距离，设 AB是圆锥曲线过焦点 F的弦，且 A),(),(21B，因为12,1cos1cos()1cosepepepeee，所以12|AB1cosepe+cos1eep=22cos12eep. 当2，即当 AB 与对称轴x轴垂直时，epAB2|min，故在圆锥曲
42、线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短. 下面运用引理证明定理2 . 证明（1）不妨设椭圆的右焦点为F（0, c） ，A、M 、B三点到右准线cax2的距离 分 别 是,22121tttttt，则、由 椭 圆 的 第 二 定 义 知 ： |AF|=1et，|BF|=)(2aceet，|AF|+|BF|AB|=l，所以elt2. 又过焦点的弦最小值为时，当ablab222,2线段AB 可 以 过 焦 点F ， 当AB 过 焦 点F时 ，t有 最 小 值2le， 因 此222m a x2)2(2)2(2balaaclaaelcad. （2）时，当abl22线段 AB不可能过焦点 F，但点 M总可以在
43、过 F垂直于x轴的椭圆的弦的右侧， 如右图，在 AFM 中，设 AMF=，由余弦定理知222|2|cosAFFMAMFMAM22211|cos42FMll，在BFM中，222211|cos42BFFMll，所以22221|2|2AFBFFMl，所以x A M y OB t t1 t2 F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载2221|2 |2FMAFBFl（），又22|abFMtccc，所以cblBFAFt2222|221）（，无论线段 AB在什么位置， 不等式都成立.又222|2lBFAF）（
44、2221222)(|lttelBFAF）（,4222lte故cbltet222241. 解此不等式，得blbacat24222，当线段AB 垂直于x轴 且 在 焦 点 F 的 右 侧 时 ， 不 等 式 、 、 都 取 等 号 ， 此 时blbacat24222min，blbablbacacad24)24(222222max. 仿此亦可证明定理1、3，不再赘述 . 题 10 动 圆M过定 点A且与 定圆O相 切， 那么动圆M的中心的轨迹是（）A、圆 B、圆，或椭圆C、圆，或椭圆，或双曲线 D、圆，或椭圆，或双曲线，或直线（第三届高二第二试第10题）解动圆M、定点A、定圆O, 这三者的位置关系有
45、5种可能，如图：在情形：A在圆O上，这时动圆M与定圆O相切于A，所以M点的轨迹是过O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页优秀学习资料欢迎下载AO,的一条直线 . 在情形：A与O重合，这时动圆M在定圆O的内部，与它内切，所以M点的轨迹是以O为圆心，以定圆O的半径的一半为半径的圆. 在情形：A在定圆O的内部但不重合于O点，动圆M过A且与定圆O内切，这时动点M与定点O、A的距离的和是RxxRMAMO)(（定值） ，其中的R、x分别表示定圆O、 动圆M的半径 . 可知点M的轨迹是以O、A为焦点，R为长轴长的椭圆 . 在
46、情 形 ：A在 定 圆O的 外 部 ， 动 圆M过A且 与 定 圆O外 切 ， 这 时RxxRMAMO)(（定值） . 可知M的轨迹是以O、A为焦点，R为实轴长的双曲线的一支 . 在 情 形 ：A在 定 圆O的 外 部 ， 动 圆M与 定 圆O内 切 ， 这 时RRxxMOMA)(（定值） . 可知M点的轨迹也是以AO,为焦点 .R为实轴长的双曲线的一支（和情形4 对应的另一支） . 综上，可知选 D. 评析分类讨论是参加高考与竞赛必须掌握的数学思想. 分类要注意标准的统一，不可重复，也不能遗漏. 此题的关键是要搞清全部情形有5 种，然后再分别求动圆中心的轨迹 . 运用二次曲线的定义大大简化了解题过程. 应当指出，当点 A在圆O上时，动圆 M 的中心的轨迹是直线OA，但应除去点O、A. 另外，讨论完第一种情形后就可排除,CBA而选D，这样就更快捷了 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页