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1、常见递推数列通项的求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一：1( )nnaaf n（f n可以求和）解决方法累加法例 1、在数列na中，已知1a=1，当2n时，有121nnaan2n，求数列的通项公式。解析：121(2)nnaannQ213243113521nnaaaaaaaanM上述1n个等式相加可得：211naan2nan评注：一般情况下，累加法里只有n-1 个等式相加。类型一专项练习题：1、已知11a，1nnaan（
2、2n） ，求na。(12nn na）2、已知数列na，1a=2，1na=na+3n+2，求na。(31)2nnna3、已知数列an满足1a1n2aa1n1n，求数列an的通项公式。21nan4、已知na中，nnnaaa2,311，求na。21nna5、已知112a,112nnnaa*()nN, 求数列na通项公式 . 13122nna6、 已知数列na满足11,a1132 ,nnnaan求通项公式na？（312nna）7、若数列的递推公式为1*113,2 3()nnnaaanN，则求这个数列的通项公式1123nna8、 已知数列an满足3a132aa1nn1n，求数列an的通项公式。31nna
3、n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 9、已知数列na满足211a，nnaann211，求na。312nan10、数列na中，12a，1nnaacn（c是常数，12 3nL， ， ） ，且123aaa，成公比不为 1的等比数列（I ）求c的值； c=2 （II ）求na的通项公式22nann11、 设平面内有 n条直线(3)n， 其中有且仅有两条直线互相平行， 任意三条直线不过同一点 若用( )f n表示这n条直线
4、交点的个数，则(4)f5 ；当4n时，( )f n222nn（用n表示） 类型二：1( )nnaf na（( )f n可以求积）解决方法累积法例 1、在数列na中，已知11,a有11nnnana ，(2n)求数列na的通项公式。解析：1232112321nnnnnnnaaaaaaaaaaaaL123 21114 3nnnnnnL21n又1aQ也满足上式；21nan*()nN评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。类型二专项练习题：1、已知11a，111nnnaan(2n)，求na。22nann2、已知数列na满足321a，nnanna11，求na。23nan3、已知na中，12nnnaa
5、n，且12a，求数列na的通项公式 .41nann4、已知31a，nnanna23131)1(n，求na。631nan5、已知11a,1()nnnan aa*()nN, 求数列na通项公式 .nan6、已知数列na满足11,a12nnnaa，求通项公式na？（222nnna）7、已知数列an满足3aa5) 1n(2a1nn1n，求数列an的通项公式。2123! 25nnnnan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 8
6、、已知数列 an ，满足 a1=1，1321)1(32nnanaaaa ( n2) ，则 an的通项1!2nan12nn9、设 an是首项为 1 的正项数列 , 且( n + 1) a21n- na2n+an+1an = 0 ( n = 1, 2, 3, )，求它的通项公式 .1nan10、数列na的前 n 项和为nS，且11a，nS*)(2Nnann，求数列na的通项公式 .22nann类型三：1(nnaAaB 其中 A,B为常数 A0,1 ）解决方法待定常数法可将其转化为1()nnatA at， 其中1BtA，则数列nat 为公比等于 A的等比数列，然后求na即可。例 1 在数列na中，1
7、1a，当2n时，有132nnaa，求数列na的通项公式。解析：设13nnatat ，则132nnaat1t，于是1131nnaa1na是以112a为首项，以 3 为公比的等比数列。12 31nna类型三专项练习题：1、 在数列na中，11a，123nnaa，求数列na的通项公式。(32)nna2、若数列的递推公式为*111,22()nnaaan￥，则求这个数列的通项公式122nna3、已知数列 an 中，a1=1，an= 21a1n+ 1(2)n求通项 an122nna4、在数列na( 不是常数数列 )中,1122nnaa且113a, 求数列na的通项公式 .111423nna名师资料总结 -
8、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 5、在数列 an 中，,13, 111nnaaa求na.1132nna6、已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式 .21nna7、设二次方程nax2-1.nax+1=0(nN)有两根和，且满足6-2 +6=3(1) 试用na表示 a1n；11123nnaa（2）求证：数列23na是等比数列；（3）当176a时，求数列na的通项公式2132nna8、在数列na中，n
9、S为其前n项和，若132a，22a，并且113210(2)nnnSSSn，试判断1 ()nanN是不是等比数列？是类型四：110nnnAaBaCa；其中A,B,C为常数，且 A B C0可将其转化为112nnnnA aaaan-（*）的形式，列出方程组ABC,解出,;还原到（ *）式，则数列1nnaa是以21aa为首项，A为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出na。例 1在数列na中，12a，24a，且1132nnnaaa2n求数列na的通项公式。解析：令11(),(2)nnnnaaaan得方程组32解得1,2;1122nnnnaaaan则数列1nnaa是以21aa为首项，以 2 为
10、公比的等比数列11222nnnnaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 21232343112222nnnaaaaaaaaM112(12)2212nnnaa*2nnanN评注：在110nnnAaBaCa；其中A,B,C为常数，且 A B C0 中，若 A+B+C=0, 则一定可以构造1nnaa为等比数列。例 2 已知12a、23a,116nnnaaa (2)n, 求na解析：令112nnnnaaaan，整理得11n
11、nnaaa163,2111213329 2nnnnaaaa；两边同除以12n得，113922 24nnnnaa，令2nnnab，13924nnbb令132nnbtbt，得13522nnbbt59,24t910t193910210nnbb，故910nb是以119911021010ab为首项，32为公比的等比数列。191310102nnb，191310102nnb即1913101022nnna，得19123105nnna类型四专项练习题：1、已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。1311143nna名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
12、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2、 已知 a1=1，a2=53，2na=531na-23na, 求数列na的通项公式na.2333nna3、已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSanaL，设数列),2, 1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；设数列),2, 1(,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；求数列na的通项公式及前n项和。1223(1) 2;nnnan31) 22nnsn（4、数列na：213520(1,)nnnaaannN
13、，baaa21,，求数列na的通项公式。12323()3nnabaab类型五：1( )nnapaf n（0p且1p）一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。例 1 设在数列na中，11a，112122nnaann求数列na的通项公式。解析： 设nnbaAnb1112nnaAnBaA nB展开后比较得204261022AAABB这时11462nnnnbbann2 且bnb是以 3 为首项，以12为公比的等比数列1132nnb即113462nnan，113462nnan例 2 在数列na中，12a，11222nnnaan求数列na的通项公式。解析：11222nnnaanQ名师资料总
14、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 1122nnnaa，两边同除以 2n得11222nnnnaa2nna是以12a=1为首项， 2 为公差的等差数列。112212nnann即221nnan例 3 在数列na中，15a，*12212,nnnaannN求数列na的通项公式。解析：在1221nnnaa中，先取掉 2n，得121nnaa令12nnaa，得1，即112(1)nnaa；然后再加上 2n得11212nnnaa；11212n
15、nnaa两边同除以 2n，得11111;22nnnnaa12nna是以1122a为首项， 1 为公差的等差数列。12112nnann，211nnan评注：若( )f n中含有常数，则先待定常数。然后加上n 的其它式子，再构造或待定。例 4已知数列an满足1a425a3a1nn1n，求数列an的通项公式。解析：在135 24nnnaa中取掉5 2n待定令13nnatat ，则132nnaat24t，2t；1232 ,nnaa再加上5 2n得，12325 2nnnaa，整理得：1122352222nnnnaa，令22nnnab，则13522nnbb令13,2nnbtbt1322nntbb；5,5;
16、22tt即13552nnbb；数列5nb是以112135522ab为首项，32为公比的等比数列。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 113 3522nnb，即1213 35222nnna；整理得113 35 22nnna类型 5 专项练习题：1、设数列na的前 n 项和1*41221,333nnnSannN，求数列na的通项公式。42nnna2、已知数列na中，11,2a点1,2nnnaa在直线 yx上，其中1,2
17、,3.nL L（1） 令11,nnnbaa求证：数列nb是等比数列；（2） 求数列na的通项；322nnan3、已知12a，1142nnnaa，求na。42nnna4、设数列na：)2( , 123,411nnaaann，求na.14 31nnan5、已知数列na满足112,2(21)nnaaan，求通项na15 221nnan6、在数列an中，aaannn1132263，求通项公式an。92nna7、已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。223nna8、已知数列 an ，a1=1, n N ，a1n= 2an3 n , 求通项公式 an32nnna9、已知数列an满足
18、3a132a3a1nn1n，求数列an的通项公式。51(2) 362nnan10、若数列的递推公式为1111,32 3()nnnaaan￥，则求这个数列的通项公式73 (2 )3nnan11、已知数列na满足1111,32nnnaaa, 求na. 115 32nnna12、已知数列an满足nn1n23a2a，2a1，求数列an的通项公式。1(31) 2nnan13、已知数列an满足6a53a2a1nn1n，求数列an的通项公式。152nnna名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
19、 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 14、已知11a，112nnnaa，求na。213nna15、已知na中，11a，122 (2)nnnaan ，求na. 122nnan16、已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSanaL，设数列),2, 1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；设数列),2, 1(,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；求数列na的通项公式及前n项和。1223(1) 2;nnnan31) 22nnsn（类型六：1nnnc aapad（0c p d）解决方法倒数法例1 已知14a，1221nnnaaa，求
20、na。解析：两边取倒数得：11112nnaa，设1,nnba则1112nnbb；令11()2nnbtbt ；展开后得，2t；12122nnbb；2nb是以1117224ba为首项，12为公比的等比数列。171242nnb；即1171242nna，得12227nnna；评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。类型六专项练习题：1、若数列的递推公式为11113,2()nnanaa￥，则求这个数列的通项公式。376nan2、已知数列 na 满足2, 11na时，nnnnaaaa112，求通项公式na。121nan3、已知数列 an满足：1,13111aaaannn，求数列 an的通项公式。13
21、2nan名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 4、设数列na满足,21a1,3nnnaaa求.na122 31nna5、已知数列 na 满足 a1=1，6331nnnaaa，求na121nna6、在数列na中，1132,3nnnaaaa，求数列na的通项公式 .621nan7、若数列an中，a1=1，a1n=22nnaanN ，求通项an21nan类型七：()nnSf a解决方法11(1)(2)nnnsnassn例1
22、 已知数列na前 n 项和2214nnnaS. 1 求1na与na的关系；（2）求通项公式na. 解析： 1 11n时，11142asa，得11a；22n时，1123114422nnnnnnnassaa；得11122nnnaa。（2）在上式中两边同乘以12n得11222nnnnaa；2nna数列是以1122a为首项， 2 为公差的等差数列；22222nnann；得12nnna。类型七专项练习题：1、数列 an 的前 N项和为 Sn，a1=1，an+1=2Sn*()nN. 求数列 an的通项 an。13nna2、已知在正整数数列na中，前n项和nS满足21(2)8nnSa，求数列na的通项公式
23、.42nan3、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn = 3n 2, 求数列 an的通项公式 .11(1)2 3(2)nnnan4、设正整数 an 的前 n 项和 Sn =2)1(41na，求数列 an 的通项公式 .13nna5、如果数列 an 的前 n 项的和 Sn =323na, 那么这个数列的通项公式是an = 23n 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 6、已知无穷数列na的前n项和为nS，并且*1(
24、)nnaSnN，求na的通项公式？2nna类型八：周期型例 1、若数列na满足)121( , 12)210(,21nnnnnaaaaa，若761a，则20a的值为_。解析：根据数列na的递推关系得它的前几项依次为：6 5 3 6 5 3 67 7 7 7 7 7 7L L，；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期；20257aa. 评注：有些题目，表面看起来无从下手，但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周期性，问题就迎刃而解。类型八专项练习题：1、已知数列na满足)(133, 0*11Nnaaaannn，则20a= （ B ）A0 B3C 3D232、在数列na中，.199812
25、21,5, 1aaaaaannn求 -4 类型九、利用数学归纳法求通项公式例1 已知数列an满足98a)3n2()1n2() 1n(8aa122n1n，求数列an的通项公式。22(21)1(21)nnan解析：根据递推关系和189a得，232448,2549aaL L所以猜测22(21)1(21)nnan，下面用数学归纳法证明它；11n时成立（已证明）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2 假设 nk(2)k时，
26、命题成立，即22(21)1(21)kkak，则1nk时，1228(1)(21) (23)kkkaakk=222281(21)1(21)2123kkkkk=432221664844482123kkkkkk22222221231231212323kkkkkk。1nk时命题成立；由1 2 可知命题对所有的*nN均成立。评注：归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。类型九专项练习题：1. 设数列na满足：121nnnnaaa，且21a，则na的一个通项公式为1nan，2、已知na是由非负整数组成的数列， 满足01a，32a，)2)(2(211nnnnaaaa（n=3，4，5） 。（1）求3a
27、； 2 （2）证明22nnaa（n=3，4，5） ；( 数学归纳法证明 ) （3） 求na的通项公式及前 n 项的和。1(1(nnnann为奇数）为偶数）；222(2(2nnnnsnnn为奇数）为偶数） 3 、已知数列na中1a=35，121nnnaaa。(1)计算2a，34,aa。33311 17 23； ；(2)猜想通项公式na，并且数学归纳法证明。361nan递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固掌握它。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -