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1、A B C D x y A1BC1D1z 图 3 平面法向量与立体几何引言：平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器。本文介绍平面法向量的二种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，使高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12 分的立体几何题将会变得更加轻松。一、平面法向量的概念和求法 1、定义：1 向量与平面垂直如果表示向量a
2、r的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作ar。2 平面的法向量如果ar，那么向量ar叫做平面的法向量。2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量(,1)nx yr 或(,1,)nxzv，或(1,)ny zr，在平面内任找两个不共线的向量,a br r。由nr，得0n ar r且0n br r，由此得到关于,x y的方程组，解此方程组即可得到nr。方法二(外积法):设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积ba为一长度等于sin|ba，（为,两者交角，且 0），而与,皆垂直的向量。通常我们采取右手定则，把这三个向量移到同一始点O，并将右手拇
3、指指向食指指向，那么中指指向的方向就是cr的方向，即cabr的方向（如图 1 和图 2 所示）且有abba。111222(,),(,),axy zbxyz设则:1111111221122 11221222222,yzzxxyaby zy z z xz xx yx yyzzxxyrr（注：1、二阶行列式:abMadcbcd；2、适合右手定则。）图 1 arbrcr图 2 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 21 页 -例 1、已知，)1,2,1(),0,1,2(ba，试求（1）：;ba（2）：.ab答案:(1)5,2,1(ba;)5,2,1()2(ab例 2、如图 3
4、中在棱长为1 的正方体1111ABCDA B C D中，求平面1ACD的法向量n和单位法向量0nuu r。解：法一（内积法）建立空间直角坐标系，如图3，则(1,0,0)A，(0,1,0)C。设平面1ACD的法向量(,1)nx yr。得(1,1,0)ACuuu r，1(1,0,1)ADu uu u r。又n面1ACD，得nACruuu r，1nADru uuu r。有(,1)(1,1,0)0(,1)(1,0,1)0 x yx y，得11xy。(1,1,1)nr，0(1,1,1)333(,)3331 11nnnru u rr。法二：（外积法）我们由上可得(1,1,0)ACuu u r，1(1,0,
5、1)ADuuuu r。则：11,1,01,0,11,1,1nACADruuu ruu uu r，0(1,1,1)333(,)33311 1nnnruu rr注：从上可以看出，求平面的法向量我们用外积法更简洁，我们以后可以尝试应用这种方法二、平面法向量的应用1、求空间角(1)、求线面角：如图4-1，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，A，则 AB与平面所成的角为：41,arccos.22|sin|cos,|41,arccos22|n ABn ABn ABnABn ABnABn ABn ABnAB如图中:如图中:例 3、在例 2 中，求直线1AA与平面1ACD所成的角。解析：由例 2 知，(
6、1,1,1)nr，1(0,0,1)AAu uu r，1113sin33AA nAAnuu ur ruuu rr，即3arcsin3(2)、求面面角:设向量m，n分别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 21 页 -A B O n 图 7|arccos,nmnmnm（图 5-1）;|arccos,nmnmnm(图 5-2)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图5-1 中，m的方向对平面而言向外，n的方向对平面而言向内；在图5-2中，m的方向对平面而言向内，n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向
7、量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。例 4、在例 2 中，求二面角1DACD的大小。解：由例 2 知，平面1ACD的法向量是1(1,1,1)nur，平面DAC的法向量是2(0,0,1)n，设二面角1DACD的大小为，则1212(1,1,1)(0,0,1)3cos33n nnnu r u u ruru u r，得3arccos3。2、求空间距离（1）、异面直线之间距离:方法指导：如图 6,作直线a、b 的方向向量a、b，求 a、b 的法向量n，即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量；在直线a、b 上
8、各取一点A、B，作向量ABu uu r；求向量ABuuu r在n上的射影d，则异面直线a、b 间的距离为|?nnABd,其中bBaAbnan,（2）、点到平面的距离:方法指导：如图 7,若点 B 为平面外一点，点A 为平面内任一点，平面的法向量为n，则点图 6 n a b A B m图 5-1 nm图 5-2 n图 4-1 B nA C A B 图 4-2 C n名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 21 页 -P 到平面的距离公式为：0cosAB nAB ndABABAB nABnnuu u r ruuu r ru uu ruuu ruuu r uu ruuu rrr
9、例 5、在例 2 中，求点1A到平面1ACD的距离。解析：由例2 的解答知，平面1ACD的单位法向量0333(,)333nuu r，又1(0,0,1)AAuu u v，设点1A到平面1ACD的距离为d，则103333(0,0,1)(,)3333dAAnu u ruu uv。所以，点1A到平面1ACD的距离为33。（3）、直线与平面间的距离:方法指导：如图 8,直线a与平面之间的距离：|AB ndnu uu rrr，其中aBA,。nr是平面的法向量（4）、平面与平面间的距离:方法指导：如图 9,两平行平面,之间的距离：|?nnABd，其中,AB。nr是平面、的法向量。3、证明（1）、证明线面垂直
10、：在图10 中,m向是平面的法向量，a是直线 a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（am）。（2）、证明线面平行：在图11 中,m向是平面的法向量，a是直线 a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0?am）。（3）、证明面面垂直：在图12 中，m是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（0?nm）（4）、证明面面平行：在图13 中,m向是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（nm）。图 11 ma a图 10 a ma图 9 A B nA a B n图 8 图 12 mn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 21
11、 页 -三、利用法向量解2008 年高考立体几何试题例 6、（湖南理第17 题）如图 14 所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60，E 是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA2.（）证明：平面PBE平面 PAB;（）求平面PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小.解：如图所示，以 A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），33(,0),22C13(,0),22DP（0，0，2）,3(1,0).2E（）因为3(0,0)2BE平面 PAB 的一个法向量是0(0,1,0)n，所以0BEn和共线.从而
12、BE平面 PAB.又因为BE平面 PBE，故平面PBE平面 PAB.()易知3(1,0,2),(0,02PBBEuu u ruuu r，），13(0,0,2),(,0)22PAADu uu ru uu r设1111(,)nx y zr是平面PBE的一个法向量，则由110,0n PBn BEu r uu u rgu r uuu rg得：111122020,3000.2xyzxyz所以11110,2.(2,0,1).yxznur故可取设2222(,)nxyzu u r是平面PAD的一个法向量，则由220,0nPAnADuu r uu u rguu r uu u rg得：2222220020,130
13、0.22xyzxyz所以2220,3.zxy故可取2(3,1,0).nu u r于是，1212122 315cos,.552n nn nnnu r u u ru r uu rgu ru u rg故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是15arccos.5点评：本题采用常规方法（即综合法）求这个二面角的平面角比较困难，而用向量法只要计算不出问题，一般都能解决问题图 13 mn图 14 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 21 页 -例 7、（全国卷理科第19 题)如图 14，正四棱柱1111ABCDA B C D中，124AAAB，点E在1CC上且ECEC31
14、（）证明：1AC平面BED；（）求二面角1ADEB的大小解：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系Dxyz依题设，1(2 2 0)(0 2 0)(0 21)(2 0 4)BCEA，(0 2 1)(2 2 0)DEDBu uu ruuu r，11(2 24)(2 0 4)ACDAuuu ruuu u r，（）因为10AC DBuuu r uu u rg，10AC DEuuur uuu rg，故1ACBD，1ACDE又DBDEDI，所以1AC平面DBE（）设向量()xyzr，n是平面1DA E的法向量，则DEruuu rn，1DAruu uu rn故20yz，240 xz令
15、1y，则2z，4x，(4 12)r，n1ACr u uu r，n等于二面角1ADEB的平面角，11114cos42ACACACr uuu rr uuurgr uuur，nnn所以二面角1ADEB的大小为14arccos42点评：本题主要考查位置关系的证明及二面角的找法和计算，同时也考查学生的空间想象能力和推理能力。例 8、（北京卷理第16 题）如图15，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACBo，APBPAB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小；（）求点C到平面APB的距离解：（）ACBCQ，APBP，PCPCAPCBPC又PCAC，PCBCACBCCQI，PC平面ABC
16、ABQ平面ABC，PCAB（）如图15，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz则(0 0 0)(0 2 0)(2 0 0)CAB，设(0 0)Pt，2 2PBABQ，2t，(0 0 2)P，A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 图 14 A C B P z x y H E 图 15 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 21 页 -0,2,0,2,0,0,0,0,2CACBCPu uu ruu u ruuu r设面 BCP 的法向量为mu r，(2,2,0),(2,0,2)BACACBBPCPCBuu u ruu u ru uu ru uu ru uu
17、ru uu r(4,4,4)BPBAu uu ruu u r，1,1,1mu r设面 CAP 的法向量为nr，0,2,0,0,0,2,4,0,0,1,0,0CACPCP CAnuu u ruuu ru uu ru u u rr设二面角BAPC的平面角为，则：133cos,cos333m narm nu r rgu rrg二面角BAPC的大小为3arccos3（）设点C 到平面APB的距离为d，则：22 333|CAmdm?u uu r点C到平面APB的距离为2 33点评：本题考查空间垂直关系应用及二面角问题，侧重考查空间想象能力，以及考查空间坐标的应用。再者本题求平面法向量时采用了外积法，较易
18、判断出法向量的方向。例 9（安徽卷理第18 题）如图16，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1 的菱形，4ABC,OAABCD底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点（）证明：直线MNOCD平面；（）求异面直线AB 与 MD 所成角的大小；（）求点B 到平面 OCD 的距离。解：作APCD于点 P,如图 16,分别以 AB,AP,AO 所在直线为,x y z轴建立坐标系22222(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,0)22244ABPDOMN,(1)22222(1,1),(0,2),(,2)44222MNOPODu uuu r
19、uuu ruu u r设平面 OCD 的法向量为(,)nx y zr,则0,0n OPn ODr uuu rr uuu rgg即2202222022yzxyz取2z,解得(0,4,2)nzMO名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 21 页 -22(1,1)(0,4,2)044MN nuu uu r rggMNOCD平面(2)设AB与MD所成的角为,22(1,0,0),(,1)22ABMDu uu ruuu u r1cos,23AB MDABMDuuu r uuu u rguuu ru uu u r,AB与MD所成角的大小为3(3)设点 B 到平面 OCD 的交流为d,则
20、d为OBuuu r在向量(0,4,2)nr上的投影的绝对值,由(1,0,2)OBuuu r,得23OB ndnu uu r rr.所以点 B 到平面 OCD 的距离为23点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，异面直线所成的角及点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法或向量法解决立体几何的能力。例 10、（陕西卷理科第19 题）三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A BC，90BACo，1A A平面ABC，13A A，2AB，2AC，111AC，12BDDC（）证明：平面1A AD平面11BCC B；（）求二面角1ACC
21、B的大小解：（）如图17，建立空间直角坐标系，则11(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 03)(013)ABCAC，:1:2BD DCQ，13BDBCuuu ruuu rD点坐标为2 22033，22 2033ADuu u r，1(2 2 0)(0 03)BCAAuu u ru uu r，10BC AAu uu r uuu rQg，0BC ADuuu r uuu rg，1BCAA，BCAD，又1A AADAI，BC平面1A AD，又BC平面11BCC B，平面1A AD平面11BCC B（）BAQ平面11ACC A，取(2 0 0)ABu u ru uu r，m为平面11ACC A
22、的法向量，设平面11BCC B的法向量为()lmnr，n，则100BCCCuuu r ru uu u r rgg，nnA1 A C1 B1 B D C zy x 图 17 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 21 页 -22030lmmn，323lmnm，如图 17，可取1m，则32 13nr，2222223220 10153cos,53(2)00(2)13m nm nm nu r ru r rgu rrgg，即二面角1ACCB为15arccos5四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几
23、何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）五、总结：以上介绍了平面的法向量及其二种求法，我们教材上只介绍了用数量积（内积法）求法向量，而并没有介绍用向量积（外积法）求法向量，希望大家注意灵活应用，我们以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想像能力的不足，发挥代数运
24、算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向题将在数学解题中起到越来越大的作用。空间向量与立体几何一 利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦：1 平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。2题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。考向链接：1 空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。2空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。例 1：（2010安徽高考理科18）如图，在多面体
25、ABCDEF中，四边形ABCD是正方名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 21 页 -形，EFAB，EFFB，2ABEF，90BFC，BFFC，H为BC的中点。(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC平面EDB；(3)求二面角BDEC的大小。【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。【规范解答】,/,.ABCDABBCEFFB EFABABFBBCFBBABFBCABFHBFFC HBCFHBCABBCBFHABCQQI
26、I四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面HHB GH HFuuu r u uu r uuu r如图，以为坐标原点，分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系，1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BHABCDEF令则(1)(0,0,1),(0,0,1),/HFHFGEHFHFuu ruu u ruu ruu u rQ设AC 与 BD 的交点为 G，连接 GE、GH,则G（0,-1,0），GE又GE平面 EDB,平面 EDB,平面 EDB(2)(2,2,0),(0,0,1),0,.ACACACACACuuu ru u ru
27、u u r u u rQgIGEGEGE又BD,且GE BD=G，平面EBD.(3)1111111(1,),(1,1,1),(2,2,0).010,10,220011,0y zBEBDBEyzyzyBDu u ru uu ruuu rQu uu r u u rgu uu r u u rgu u r1111设平面 BDE 的法向量为 nn由即，得，nn（，）AEFBDHGXZ名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 21 页 -2222222(1,),(0,2,0),(1,1,1).00,01,1001 0,-1yzCDCECDyyzyzCEuu ru uu ru uu r
28、Quuu r u u rgu uu r u u rgu u r2222设平面 CDE 的法向量为 nn由即，得，nn（，）1212121211cos,2|22,60,n nn nnnn noour u u ru r uu rguru u ru r u u r即二面角 B-DE-C为60。【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。
29、应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。二：利用空间向量求线线角、线面角考情聚焦：1线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。2在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。考向链接：1利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:（1）异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量，则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 21 页 -（2）线面角设是直线l的方向向量，nr是平面的法向量，则2运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关 点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论
30、证、计算。（5）转化为几何结论。例 2：（2010辽宁高考理科19）已知三棱锥PABC中，PA ABC，AB AC，PA=AC=12AB，N为 AB上一点，AB=4AN,M,S分别 为 PB,BC的中点.（）证明：CM SN；（）求 SN与平面 CMN 所成角的大小.【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，（I）计算CM SNu uu u r uu u r、的数量积，写出答案；（II）求平面 CMN 的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。【规范
31、解答】设 PA 1，以 A为原点，射线AB、AC、AP分别为 x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图。则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0,12)，N(12,0,0)，S(1,12,0)（I）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 21 页 -111(1,1,),(,0),2221100221(II)(,1,0),2(,)CMN022,(2,1,2)1021-1-22|cos|=2232SNCMNCMSNCM SNCMSNNCax y zzxyxaxya SNu uu u ruuu ruuuu r uuu rguuu rrrr uuu
32、 r因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o45角为【方法技巧】（1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。（2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。（3）线面角的范围是0 90，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。三：利用空间向量求二面角考情聚焦：1二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。2常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。其计算公式为：设
33、分别为平面的法向量，则与互补或相等，例 3：（2010天津高考理科9）如图，在长方体1111ABCDA B C D中，E、F分别是 棱BC,1CC上的点，2CFABCE,1:1:2:4ABADAA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 21 页 -（1）求异面直线EF与1A D所成角的余弦值；（2）证明AF平面1A ED（3）求二面角1AEDF的正弦值。【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。【规范解答】
34、方法一：以A 为坐标原点，AB所在直线为X 轴，AD所在直线为Y 轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1AB,依题意得(0,2,0)D,(1,2,1)F,1(0,0,4)A,31,02E（1）易得10,12EFuuu r,1(0,2,4)ADuuu u r，于是1113cos,5EF A DEF A DEFA Duuu r u uu u ruuu r uuu u rguuu r uuu u r，所以异面直线EF与1A D所成角的余弦值为35。（2）证明：已知(1,2,1)AFuuu r,131,42EAuuu r,11,02EDuu u r于是AFuu u r1EAuuu r=0，AFuuu
35、rEDu uu r=0.因此，1AFEA,AFED,又1EAEDE所以AF平面1A ED(3)解：设平面EFD的法向量(,)ux y zr，则00u EFu EDr uuu rgr uuu rg,即102102yzxy不妨令 X=1,可得(1,21u）。由（2）可知，AF为平面1A ED的一个法向量。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 21 页 -于是2cos,=3|AFAF|AF|uuu?，从而5sin,=3AFu所以二面角1A-ED-F的正弦值为53【高考真题探究】1.（2010广东高考理科0）若向量ar=（1,1,x）,br=(1,2,1),cr=(1,1,1
36、),满足条件()(2)cabrrr=-2,则x=.【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.【思路点拨】先算出carr、2br，再由向量的数量积列出方程，从而求出.x【规范解答】carr(0,0,1)x，2(2,4,2)br，由()(2)cabrrr2得(0,0,1)(2,4,2)2x，即2(1)2x，解得2.x【答案】22.（2010浙江高考理科20）如图，在矩形ABCD中，点,E F分别在线段,AB AD上，243AEEBAFFD.沿 直 线EF将AEFV翻 折 成A EFV，使 平面A EFBEF平面.（）求二面角AFDC的余弦值；（）点,MN分别在线段,FD BC上，若
37、沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段FM的长。【命题立意】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。【思路点拨】方法一利用相应的垂直关系建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题；方法二利用几何法解决求二面角问题和翻折问题。【规范解答】方法一：（）取线段EF的中点 H，连结A H，因为A E=A F及 H是 EF的中点，所以A HEF,又因为平面A EF平面BEF.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 21 页 -如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（2，2，2 2），C（10，8
38、，0），F（4，0，0），D（10，0，0）.故FA=（-2，2，22），FD=（6，0，0）.设n=（x,y,z）为平面A FD的一个法向量，所以2222060 xyzx。取2z，则(0,2,2)nr。又平面BEF的一个法向量(0,0,1)mr，故3cos,3n mn mn mr rgr rrrg。所以二面角的余弦值为33（）设,FMxBNa，则(4,0,0)Mx，(,8,0)N a，因为翻折后，C与A重合，所以CMA M，CNA N，故，2222222222(6)80=222 2(10)(2)6(22)xxaa（）（），得214x，134a，所以214FM。3.（2010陕西高考理科8）如
39、图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 2，E，F分别是AD,PC的中点.（）证明：PC平面BEF；（）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二面角的求解问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技巧。【思路点拨】思路一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；思路二：利用几何法求解.【规范解答】解法一（）如图，以A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系.AP=AB=2，BC=2 2，四边形ABCD是矩形.A
40、，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2 2,0)，D(0，2 2，0)，P(0,0,2)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 21 页 -又 E，F 分别是 AD，PC的中点，E(0，2，0),F(1，2，1).PCuuu r=（2，2 2，-2）BFuuu r=（-1，2，1）EFu uu r=（1,0,1），PCuuu rBFuuu r=-2+4-2=0，PCuuu rEFuuu r=2+0-2=0，PCuuu rBFuuu r，PCuuu rEFuuu r，PCBF,PCEF,BFEFFI,PC 平面 BEF（II）由（I）知 平 面
41、BEF 的 法 向 量1(2,22,2),nPCu ru uu r平 面BAP 的 法 向 量2(0,2 2,0),nADu u ruuu r128,n nur u u rg设平面 BEF与平面 BAP的夹角为，则12121282coscos,24 2 2n nn nn nur u u rgu r u u rur u u r045，平面 BEF与平面 BAP的夹角为0454.（2010重庆高考文科20）如题图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD底面，2PAAB，点E是棱PB的中点.（I）证明：AEPBC平面；（II）若1AD，求二面角BECD的平面角的余弦值.【命题立意】本小
42、题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，考查余弦定理及其应用，考查空间向量的基础知识和在立体几何中的应用，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合的思想，考查化归与转化的思想.【思路点拨】（1）通过证明线线垂直证明结论：线面垂直，（II）作出二面角的平面角，再利用三角函数、余弦定理等知识求余弦值.或建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函数值.【规范解答】（I）以A为坐标原点，射线,AB AD AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz.如图所示.设 设(0,0)Da，则B,0,0)2(，C(2,0)a，P)2(0,0,，名师
43、资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 21 页 -E)22,0,22(。于 是22AE(,0,)22uuu r，BC(0,0)au uu r，PC(2,2)au uu r，则0,0AE BCAE PCuuu r uu u ruuu r uu u r，所以,AEBC AEPCuu u ruuu r uuu ruuu r，故AEPBC平面.（II）设平面 BEC的法向量为1nu r，由（）知，AEBEC平面，故可取122nEA022u u ruuu r（，）.设平面 DEC的法向量2222,nxyzuu r（），则220,0nDCnDFu u r uuu ru u r uuu
44、 r，由AD1u uu r，得 D）,1,00（，G）,1,02（，从 而）,0,02（DC，22DE,1,22u uu r（-），故2222022022xxyz，所 以20 x，222zy，可取21y，则2012nu u r（，），从而1212123cos,3n nn nn nu r uu ru r uu rgu u ruu u r.【方法技巧】（1）用几何法推理证明、计算求解；（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题.5.（2010江西高考文科）如图，BCD与MCD都是边长为2 的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，2 3AB.（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（
45、2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.【命题立意】本题主要考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平行关系，考查空间线面角、二面角的问题以及有关的计算问题，考查空间向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、划归转化能力和运算求解能力。【思路点拨】本题主要有两种方法，法一：几何法（1）直接找出线面角，然后求解；（2）对二面角的求法思路，一般是分三步“作”，“证”，“求”.其中“作”是关键，“证”是难点.法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.DMCBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 21 页 -【规范解答】
46、取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD,则MO平面BCD.以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=3，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，3），B（0，-3，0），A（0，-3，23），（1）设直线AM与平面BCD所成的角为.因AMuu uu r（0，3，3），平面BCD的法向量为(0,0,1)nr.则有32sincos,26AMnAM nAMnuu uu r ruuuu r ruu uu rr，所以45o.（2）(1,0,3)CMu uu u r，(1,3,2 3)CAuu u r.
47、设平面ACM的法向量为1(,)nx y zur，由11nCMnCAu ruuuu ru ruu u r得3032 30 xzxyz.解得3xz，yz，取1(3,1,1)nu r.又平面BCD的法向量为(0,0,1)nr，则1111cos,5nnn nnnu r ru r ru rr设所求二面角为，则212 5sin1()55.6.（2010四川高考理科18）已知正方体ABCDA B C D的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点.（）求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线；（）求二面角MBCB的大小；（）求三棱锥MOBC的体积.【命题立意】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二
48、面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，转化与化归的数学思想.【思路点拨】方 法一：几何法问题（），分别证明OMAA，OMBD即可.问题（II）首先利用三垂线定理，作出二面角MBCB的平面角，然后通过平面角所在的直角三角形，求出平面角的一个三角函数值，便可解决问题.yxMDCBOAz名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 21 页 -问题（）选择便于计算的底面和高，观察图形可知，OBC和OA D都在平面BCD A内，且OBCOA DSS，故MOBCMOA DOMA DVVV，利用三棱锥的体积公式很快求出O
49、MA DV.方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.【规范解答】(方法一)：（I）连结AC.取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK.点M是棱AA的中点，点O是BD的中点，由AAAK，得OMAA.,AKBD AKBB，AKBDD B平面.AKBD.OMBD.又OM与异面直线AA和BD都相交，故OM为异面直线AA和BD的公垂线，（II）取BB的中点N，连结MN，则MNBCC B平面，过点过点N作NHBC于H，连结MH，则由三垂线定理得，BCMH.MHN为二面角MBCB的平面角.1221,sin 45224MNNHBNo.在Rt MNH中.1tan2 224MNMHNNH故二面角
50、MBCB的大小为arctan2 2.（III）易知，OBCOA DSS,且OBC和OA D都在平面BCD A内，点O到平面MA D的距离12h，11324MOBCMOA DOMA DMA DVVVSh.(方法二)：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则(1,0,0)A，(1,1,0)B，(0,1,0)C，(1,0,1)A，(0,1,1)C，(0,0,1)D（I）点M是棱AA的中点，点O是BD的中点，1(1,0,)2M,1 1 1(,)2 2 2O，11(,0)22OMuuuu r,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 21 页 -(0,0,1)AA