《2022年高中理科数学解题方法高要求篇.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中理科数学解题方法高要求篇.docx（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载椭圆与双曲线的对偶性质1.|椭圆点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的 外角 . 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角,就焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去3.长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5.如P 0x 0,y 0在椭圆x2y21上,就过P 的椭圆的切线方程是x xy y1. a22 ba2b26.如P 0x 0,y 0在椭圆x2y21外 ,就过 Po 作椭圆的两条切线切点为
2、P1、P2,就切点弦P1P2 的直线a22 b方程是x x 0y y 01. 7.a2b2椭圆2 xy21ab0的左右焦点分别为F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点F PF 2,就椭圆a2b28.的焦点角形的面积为SF PF 12b2 tan2.椭圆x2y21（ ab0）的焦半径公式：a2b29.MF1|aex ,|MF2|aex F 1c,0, F2 ,0M x 0,y0. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相10.应于焦点 F 的椭圆准线于M 、N 两点,就 MF NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A
3、 1、A2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A2Q 交于点 M ,A 2P 和 A1Q 交于点 N,就 MF NF. 11.AB 是椭圆x2y21的不平行于对称轴的弦,Mx 0y0为 AB 的中点,就k OMkABb2,a22b2a212.即K ABbx 0；x2y21内,就被 Po 所平分的中点弦的方程是x x 0y y 0x 02y02. 2ay 0如P 0x 0,y 0在椭圆a22 ba2b2a2b213.如P 0x 0,y 0在椭圆x2y21内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是x2y2x xy y. a22 ba2b2a2b2双曲线名师归纳总结 1.点 P 处的切线 PT 平分 PF1
4、F2在点 P 处的 内角 . PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,第 1 页,共 15 页2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角,就焦点在直线- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 除去长轴的两个端点. 优秀学习资料欢迎下载3. 4.5.6.7.8.9.10.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 . 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切： P 在右支；外切：P 在左支）如P x0,y0在双曲线x2y21（a0,b0）上,就过P 的双曲线的切线方程是x xy y1. a2b2a2b2如P x0,y0在双曲线x2y2
5、1（a0,b0）外,就过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、a2b2P2,就切点弦P1P2 的直线方程是x xy y1. a2b2双曲线x2y21（a0,bo）的左右焦点分别为F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点F PF 2,a2b2就双曲线的焦点角形的面积为SF PF 12b co 2t2. 双曲线x2y21（a0,b o）的焦半径公式：F 1c,0, F2 ,0a2b2当M x 0,y0在右支上时,|MF1|ex 0a ,|MF2|ex 0a . 当M x 0,y0在左支上时,|MF1|ex 0a ,|MF2|ex 0a设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、 Q 两点, A 为双曲
6、线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,就 MF NF. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A 1、A2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q交于点 M ,A 2P 和 A 1Q 交于点 N,就 MF NF. 11.12.13.AB 是双曲线x2y21（a0,b 0）的不平行于对称轴的弦,Mx0y 0为 AB 的中点,就a2b2KOMKABb2x 0,即K ABb2x0；a2y 02 ay0如P x 0,y0在 双曲线x2y21（ a 0,b 0）内 ,就 被 Po 所平 分的中 点弦的方程是a2b2x xy yx02y02
7、. a2b2a2b2如P x 0,y0在 双 曲 线x2y21（ a 0,b 0 ） 内 , 就 过Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是a2b2x2y2x xy y. a2b2a2b2椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）名师归纳总结 椭圆第 2 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1.优秀学习资料A 1欢迎下载A a 2 ,0,与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、2 2x y椭圆 2 2 1（a bo）的两个顶点为a b2xP2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 2ay ba ,0,21. 2名师归纳总结 2.过椭圆
8、x22y2 1 a 0, b0上任一点 A x 0 , y 0b2BC 有定向且 k BC b xa y 2 00（常数） . 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,Ca23.两点,就直线如 P 为椭圆x2y21（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点 , PF F2, a2b2PF F 1,就actan2cot2. 4.ac设椭圆x2y21（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点,在a2b25. PF1F2 中,记F PF 2, PF F 2,F F P,就有sinsinsince. a如椭圆x2y21（a b0）的左、 右焦点分别为F1、F2,左准
9、线为 L ,就当 0e21 时,a2b26.可在椭圆上求一点P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例中项 . P 为 椭 圆x2y21（ a b 0 ） 上 任 一 点 ,F1,F2为 二 焦 点 , A为 椭 圆 内 一 定 点 , 就2b2a7.2a|AF2| |PA|PF 1| 2a|AF1|,当且仅当A F2,P 三点共线时,等号成立. 椭 圆xx02yby021与 直 线AxByC0有 公 共 点 的 充 要 条 件 是2 a2 2 B b28.2 A a2Ax0By0C2. 已知椭圆x2y21（ab0）,O 为坐标原点, P、Q 为椭圆上两动点,且OPOQ .
10、（ 1）a22 b111;（2）|OP| 2+|OQ|2 的最大值为2 4a b2;（3）SOPQ的最小值是a2 a b22. 19.|OP2 |OQ2 |a2b2a2b22b过椭圆x2y21（ab0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦 MN 的垂直平a2b2分线交 x 轴于 P,就| |PF|e. 10.MN|2已知椭圆x2y21（ ab0）,A、B、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相a22 b第 3 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 交于点P x0,0, 就a2ab2优秀学习资料2. 欢迎下载x0a2ab
11、11.12.13.14.设 P 点是椭圆x2y21（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F PF2,a2b2就1|PF 1|PF2|12 b2.2 SPF F 1 2b2 tan2. cos设 A 、 B 是椭圆x2y21（a b0）的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB, a2b2PBA,BPA, c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,就有1|PA|2 ab2| cos2|.2 a22 c costantan12 e .3 SPAB22 2a bcot. b2a2已知椭圆x2y21（ ab0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭a22 b圆相交于
12、 A 、B 两点 ,点 C 在右准线 l 上,且 BCx 轴,就直线AC 经过线段 EF 的中点 . 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直 . 16. 椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e 离心率 . （注 : 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . ）17. 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、
13、外点到椭圆中心的比例中项 . 椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）双曲线名师归纳总结 1.双曲线x2y21（a0,b0）的两个顶点为A 1a ,0,A a 2 ,0,与 y 轴平行的直线交双第 4 页,共 15 页a2b2曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方程是x2y21. a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.优秀学习资料欢迎下载,y0任意作两条倾斜角互补的直线交双曲过双曲线x2y21（a0,bo）上任一点A x 02b x 0a y 20a2b2线于 B,C 两点,就直线BC 有定向且kBC（常数） .
14、3.4.5.6.如 P 为双曲线x2y21（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点 , a2b2PF F 2, PF F 1,就catan2cot2（或catan2cot2） . caca设双曲线2 xy21（ a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任a2b2意 一 点 , 在 PF1F2中 , 记F PF2, PF F2,F F P, 就 有s i ns i nce. s i na如双曲线x2y21（a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为 L,就当 1e21a2b2时,可在双曲线上求一点P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离d
15、 与 PF2 的比例中项 . P 为双曲线x2y21（a0,b0）上任一点 ,F1,F2为二焦点, A 为双曲线内肯定点,就22ab|AF2| 2 a|PA|PF1|,当且仅当A F2,P 三点共线且 P 和A F 在 y 轴同侧时,等号成立. 名师归纳总结 - - - - - - -7.双 曲 线x2y21（ a 0,b 0 ） 与 直 线AxByC0有 公 共 点 的 充 要 条 件 是a2b22 A a22 B b22 C . 8.已知双曲线x2y21（ba 0）,O 为坐标原点, P、Q 为双曲线上两动点, 且 OPOQ . a2b2（ 1）|12 |1|211;（2） |OP| 2+
16、|OQ|2 的最小值为2 4a b2;（ 3）SOPQ的最小值是OPOQa2b2b2a2b2 a b22. 2a9.过双曲线x2y21（a0,b0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦a2b2MN 的垂直平分线交x 轴于 P,就| |PF|e. MN|210.已知双曲线x2y21（ a0,b0）,A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与xa2b2第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11.轴相交于点P x 0,0, 就x 0优秀学习资料欢迎下载,F1、 F2为其焦点记a2ab2或x 0a2ab2. 设 P 点是双曲线x2y21（a0
17、,b0）上异于实轴端点的任一点a2b212.F PF 2,就 1|PF1|PF2|12 b2.2 SPF F 1 2b2 cot2. PAB, cos设 A、B 是双曲线x2y21（a0,b0）的长轴两端点, P 是双曲线上的一点,2b2a,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,就有 1|PA|2 ab2| cos2|. PBA,BPAa22 c cos2 tantan12 e .3 SPAB22 a b2cot. b2a2已知双曲线x2y213.221（ a0,b0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点F 的ab直线与双曲线相交于A、B 两点 ,点 C 在右准线 l 上,且
18、BCx 轴,就直线AC 经过线段 EF 的中点 . 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直 . 名师归纳总结 16.双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e. e 离心率 . 注: 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 17.双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比第 6 页,共 15 页18.双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外
19、点到双曲线中心的比例中项. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的学问综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础学问、采纳多种数学手段来处理问题；熟记各种定 义、基本公式、法就当然重要,但要做到快速、精确解题,仍须把握一些方法和技巧；一 . 紧扣定义,敏捷解题 敏捷运用定义,方法往往直接又明白；例 1. 已知点 A（3, 2）, F（ 2, 0）,双曲线 x2y211, P 为双曲线上一点；3求 |PA |1|PF|的最小值；|PF 即点 P 到准线距离；2解析：如下列图,双曲线离心率为2,F 为右焦点,
20、由其次定律知2|PA|1|PF| |PA| |PE|AM522二 . 引入参数,简捷明快参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决；例 2. 求共焦点 F、共准线 l 的椭圆短轴端点的轨迹方程；解：取如下列图的坐标系,设点 F 到准线 l 的距离为 p（定值）,椭圆中心坐标为M （ t, 0）（ t 为参数）pb2,而 ctcb2pcpt再设椭圆短轴端点坐标为P（ x, y）,就pxxctybpt消去 t,得轨迹方程 y2三 . 数形结合,直观显示 将“ 数” 与“ 形” 两者结合起来,充分发挥“ 数” 的严密性和“ 形” 的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使 复杂问题简洁
21、化,抽象问题形象化；娴熟的使用它,常能奇妙地解决很多貌似困难和麻烦的问题；名师归纳总结 例 3. 已知 x yR,且满意方程 x2y23 y0 ,又 my3,求 m 范畴；第 7 页,共 15 页x3解析：my3的几何意义为,曲线x2y23 y0 上的点与点（3, 3）连线的斜率,如下列图x3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - kPAmkPB优秀学习资料欢迎下载323m325四 . 应用平几,一目了然用代数讨论几何问题是解析几何的本质特点,因此,很多“ 解几” 题中的一些图形性质就和“ 平几” 学问相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解；例 4.
22、 已知圆 x3 2|y24和直线 ymx 的交点为 P、Q,就 |OP OQ 的值为 _；解：OMPOQN5|OP OQ| |OMON|五 . 应用平面对量,简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面对量成为解决解析几何学问的有力工具；2 2例 5. 已知椭圆：x y 1 ,直线 l ：x y1 , P 是 l 上一点,射线 OP 交椭圆于一点 R,点 Q 在 OP 上且24 16 12 8满意 | OQ OP | | OR | 2 ,当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 的轨迹方程；分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而假如用向量共线的条件便可简
23、便地解出；OP解：如图,OQ,OR,OP共线,设 OROQ ,OPOQ ,OQx,y,就 ORx,y,x,y|OQ OP| | OR2 |OQ2 |2|OQ2 |2点 R 在椭圆上, P 点在直线 l 上名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2x22y21,xy优秀学习资料欢迎下载124161282 即x24y2xy2x上方部分）16128化简整理得点Q 的轨迹方程为：x1 2y51 21（直线 y5323六 . 应用曲线系,事半功倍 利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效；所以敏捷运用曲线系是解析几何中重要的
24、解题方法和技巧之一；例 6. 求经过两圆 x2y26x40 和 x2y26y280 的交点,且圆心在直线xy40 上的圆的方程；解：设所求圆的方程为：x2y26x4x2y26y28001x21y26x6y284就圆心为 13,13,在直线 xy40上7y20解得x7y32故所求的方程为x2七 . 巧用点差,简捷易行 在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采纳点差法,此法比其它方法更简捷一些；例 7. 过点 A（ 2,1）的直线与双曲线x2y21 相交于两点P1、P2,求线段 P1P2中点的轨迹方程；2解：设 P 1x1,y1, P 2x2,y2,就x 12y 12112x22y22122得x 2
25、x1x1x2y2y1y1y22即y x2y12x1x22x1y 1y2xy0设 P1P2的中点为M x0,y0,就kP P 1 2y2y 12x0xx 1y02又 kAMy01,而 P1、 A、 M 、P2 共线x02kP P 2kAM,即y 0x 012x02y0P P 2中点 M 的轨迹方程是 2x2y24解析几何题怎么解名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高考解析几何试题一般共有 4 题 2 个挑选题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 , 共计 30 分左右 , 考查的学问点约为 20
26、个左右 . 其命题一般紧扣课本 , 突出重点 , 全面考查 . 挑选题和填空题考查直线 , 圆, 圆锥曲线 , 参数方程和极坐标系中的基础学问 . 解答题重点考查圆锥曲线中的重要学问点 , 通过学问的重组与链接 , 使学问形成网络 , 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系 , 求解有时仍要用到平几的基本学问 ,这点值得考生在复课时强化 . 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点, AB=2 、OT=t 0t1 ,以 AB 为直腰作直角梯形 A A B B,使 A A垂直且等于 AT,使 B B 垂直且等于 BT,A B 交半圆于 P、Q 两点,建立如下列图的直角坐标系 . 1 写出直
27、线 A B 的方程；（ 2）运算出点 P、Q 的坐标；（ 3）证明：由点 P 发出的光线,经 AB 反射后,反射光线通过点 Q. 讲解 : 通过读图 , 看出 A ,B 点的坐标 . 1 明显 A 1 1, t , B 1,t,于是 直线 A B的方程为 y tx 1；（ 2）由方程组 x 2y 21 , 解出 P 0 , 1 、Q 2 t2 , 1 t 22 ；y tx 1 , 1 t 1 t21 t（3）k PT 10 0t 1t , k QT 12 t t 22 0t t 11 tt 22 1t . 1 t由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T
28、 反射,反射光线通过点 Q. 需要留意的是 , Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式 , 好玩吗 . 2 2例 2 已知直线 l 与椭圆 x2 y2 1 a b 0 有且仅有一个交点 Q,且与 x 轴、 y 轴分别交于 R、S,求以线段 SRa b为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程讲解：从直线 l 所处的位置 , 设出直线 l 的方程 , 名师归纳总结 由已知,直线l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线l 的方程为ykxm k0.第 10 页,共 15 页代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2,得b2x2a2k2x22kmxm2a2b2.化简后,得关于x 的一元二次方程 a2k2b
29、2x22ka2mxa2m2a2b20.于是其判别式2ka2m 24 a2k2b2a2m2a2b24 a2b2a2k2b2m2由已知,得=0 即a2k2b2m2.在直线方程ykxm中,分别令y=0 ,x=0 ,求得R m,0 ,S0,m .k令顶点 P 的坐标为（ x,y）,由已知,得xm,kyy,kx解得ym .m.代入式并整理,得2 ab21, 即为所求顶点P 的轨迹方程2 xy2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方程a2b2优秀学习资料a欢迎下载b 的直线到原点的距离是3.1 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗. x22 y例 3 已知双曲线
30、x2y21的离心率e233,过A ,0,B 0 ,a2b22（ 1）求双曲线的方程；（ 2）已知直线 y kx 5 k 0 交双曲线于不同的点 C,D 且 C, D 都在以 B 为圆心的圆上,求 k 的值 . ab ab 3讲解：（ 1）a c 23 3, 原点到直线 AB：a xb y 1 的距离 da 2b 2 c 2 . . b 1 , a 3 .故所求双曲线方程为 x 2y 2 1 .3（ 2）把 y kx 5 代入 x 23 y 23 中消去 y,整理得 1 3 k 2 x 230 kx 78 0 . 设 C x 1 , y 1 , D x 2 , y 2 , CD 的中点是 E x
31、 0y 0 ,就x 1 x 2 15 k 5 y 0 1 1x 0 2 y 0 kx 0 5 2 , k BE .2 1 3 k 1 3 k x 0 kx 0 ky 0 k 0 , 即 15 k2 5 k2 k 0 , 又 k 0 , k 271 3 k 1 3 k故所求 k=7 . 为了求出 k 的值 , 需要通过消元 , 想法设法建构 k 的方程 . 例 4 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1、F2在 x 轴上,点 P 为椭圆上的一个动点,且F 1PF 2 的最大值为 90 ,直线l 过左焦点 F1与椭圆交于 A、B 两点,ABF 2 的面积最大值为 12（ 1）求椭圆 C 的离心率；
32、（2）求椭圆 C 的方程讲解：（1）设 | PF 1 | r 1 ,| PF 2 | r 2 ,| F F 2 | 2 c , 对 PF 1F 2 , 由余弦定理 , 得cos F 1 PF 2 r 1 1r 2 24 c 2 r 1 r 2 22 r 1 r 2 4 c 24 a 24 c 21 4 a 24 c 21 1 2 e 20,2 r 1 r 2 2 r 1 r 2 2 r 1 r 2 2 r 1 r 2 22解出 e 2.2（ 2）考虑直线 l 的斜率的存在性,可分两种情形：名师归纳总结 i 当 k 存在时,设l 的方程为ykxc 得2a202c2,b2c2. 第 11 页,共 15 页椭圆方程为x2y2,1A x 1,y1,Bx