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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 不等式发挥经典价值 提高复习效率何为数学经典题目？数学经典题目就是经过历史挑选出来的最有价值的经久不衰的题目 ；每个经典题目,都经得起人们的拷问和时间的考查；每个经典题目,总是包蕴着某种重要的数学思想和方法；每个经典题目, 总有其特殊的训练价值和教学功能；每个经典题目,都能穿越时间的深度和厚度而又最终超越时间经久弥新、与时俱进； 数学教科书上的例习题有不少题目堪当经典,本文以其中一道经典题目为例,说明经典题目在复习教学中的潜能挖掘与应用,以期抛砖引玉；题目已知,且,求证；此题目是一般高中课程标准试验教科书数学选修不等式选讲人教版第十页习题 第
2、11 题；这是一道经典的条件不等式证明题,解题入口宽、方法多样,对此题进行一题多解训练,可达到举一反三触类旁通,解读一题沟通一片以点带面的复习成效；证法 1（配方法） 由于,所以,所以,所以,当且仅当且且,即时等号成立；点评 本解法先消元,将 表示成只含 的二次式, 并将此式当作是以为主元的二次三项式进行配方,再将配方后余下的部分再次配方,然后用实数平方的非负性,从而使问题得到解决；名师归纳总结 于是证法 2（构造二次函数）由于,所以,第 1 页,共 42 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故当时,最小,此时,所以,所以,当且仅当时等号成立；点评 本
3、解法通过构造函数将不等式证明问题转化为函数的最值问题；先消元,将表示成只含 的二次式, 然后选 为主元, 将此式当作是含有参数 的以 为自变量的二次函数,求出 的最小值,的最小值就是 的最小值,从而使问题获解；证法 3（用重要不等式）由于,所以,当且仅当时等号成立；点评 将已知等式两边平方是运用重要不等式的关键；证 法 4 （ 用 等 号 成 立 的 条 件 构 造 平 方 和 ） 由 所 证 不 等 式 等 号 成 立 的 条 件 得 ,即,所以,当且仅当时等号成立；证法 5（用等号成立的条件构造配偶不等式）由所证不等式等号成立的条件可构造如下名师归纳总结 不 等式：,三 式相加 得,第 2
4、 页,共 42 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,所以,当且仅当时等号成立；点评证法 4 和证法 5留意到等号成立的条件是问题获得简解的关键之所在；证法6（用柯西不等式）由三元柯西不等式得证法 7（用向量数量积不等式）构造向量,即,；,由向量数量积不等式得 , 即, 当 且 仅 当时等号成立；证法 8（利用直线与圆有公共点解题）把当作参数当作变量,就即可看作是直角坐标系 下的一条直线的方程,设 就,此方程可看作是圆心是坐标原点半径为 的圆的方程；由于这两个方程所组成的方程组有解,所以直线与圆有公共点,故圆心到直线的距离不大于半径；故,即有解,所以,
5、解得就,即；点评 本解法需要有方程思想、数形结合思想和化归意识,化静为动,动中求静；依据“ 方程组有解, 就直线与圆有公共点,从而直线到圆心的距离不大于半径”列不等式, 进而使问题得以解决；名师归纳总结 证 法9 （三角换元法） 设就,设第 3 页,共 42 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ；由得,所以证 法,由正弦函数的有界性得；,两边平方解得,故时 的 概 率 均 为, 因 为10（ 构 造 概 率 模 型 ） 设 随 机 变 量取 值 为, 所 以, 所 以, 即,当且仅当 时等号成立；证法 11（用琴生不等式）构造函数,由于是上的凹函数,由
6、琴生不等 式 得 , 即, 所 以,当且仅当 时等号成立；证法 12（用点面距离公式）可看作是空间直角坐标系下的一个平面的方程,可看作是这个平面内任意一点到原点 O 的距离的平方, 由垂线段最短知,当OP 与平面垂直时, OP 最短从而最小,由点面距离公式得点O 到平面的的距离为：,所以,即；凹凸函数、 琴生不等式是高等数学的内容,但与初等函数关系亲密,是初等数学与高等数学的连接处, 点面距离公式是高校空间解析几何的内容,但可当作是平面解析几何点线距离公式在空间的一个类比拓广,这些学问可开阔同学的视野,类比推理有利于发觉新学问和数学思想方法的迁移；名师归纳总结 以上从十二个不同的角度来摸索解决
7、一个经典不等式的证明问题,消元法、配方法、 构造法,第 4 页,共 42 页函数和方程思想, 化归和转化思想,数形结合思想都是高中数学重要的数学思想方法,在以- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上十二种解法中表达得淋漓尽致；一题多解有利于培育发散思维、求异思维和综合运用多种学问解决问题的才能,有利于拓宽解题思路,有利于制造性思维的培育；发挥经典以一当十,解析一题复习一片；对二元一次不等式确定平面区域的探究湖北省阳新县高级中学 邹生书人教版高二数学其次册（上）二元一次不等式确定平面区域属于新增内容,大纲要求是：明白二元一课次不等式的几何意义,能用平面区域表
8、示二元一次不等式（组）；笔者对这部内容作了一些争论,本文将得出的重要结论及其在解题中的应用与大家进行沟通,期望能对这节内容的教学和学习有所帮忙；命题 1：已知二元一次函数点 P1（ x1,y1）在直线 Ax+By+C=0 上如 B 0,就有点 P1（x1,y1 ）在直线 Ax+By+C=0 上方点 P1（x1,y1 ）在直线 Ax+By+C=0 下方如 A 0,就有点 P1（x1,y1 ）在直线 Ax+By+C=0 右方点 P1（x1,y1 ）在直线 Ax+By+C=0 左方分析 ：易证,、证法类似,下面对进行证明；证明 ：当B 0,直线把坐标平面分成上、下两个半平面 . 设 P1（x1,y1
9、）是坐标平面内不在 标为 x1,y0. l 上的任意一点 ,作直线 x=x1 交 l 于点 P0,设 P0 的坐 点即 由此可知名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点点依据这个命题不难得出直线l 同侧上的两个点对应的二元函数的值符号相同,异侧上的两个点对应的二元函数值符号相反,即有如下结论：命题 2：已知二元一次函数点 在直线点 在直线应用举例：1、快速精确地确定二元一次不等式所表示的平面区域. 表示的平面区域. 例 1：（人教版高二数学其次册第64 页例 1）画出不等式解法 1：异号,由命题1 知不等式表示直线下方
10、的平面区域,如下列图解法 2：异号,由命题1 知不等式表示直线左方的平面区域,如下列图小结 ：二元一次不等式确定平面区域的方法：点判别法：直线定边界,一点定区域,合就在,不合就不在；B 符号判别法：直线定边界,符号定区域,同上异下；A 符号判别法：直线定边界,符号定区域,同右异左 . 由例 1 可知,教材采纳点判别法,需要取点,运算函数值,判定点与直线的位置关系再确定平面区域, 而符号判别法只需由 A（或 B）的符号与不等式的符号的异同直接确定平面区域,相比之下显得快速精确、有用 . 2、奇妙简捷地求方程含有参数的直线与已知线段相交时参数的取值范畴 . 例 2：直线 为端点的线段相交,就 k
11、的取值范畴是_. 名师归纳总结 分析 ：这是一道一题多解的好题,但有的解法运算量大,有的解法简洁出错,如用命题第 6 页,共 42 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 的结论可轻而易举地得出正确结果,解法如下：解：设直线练习题：1、表示图中阴影部分的平面区域内的点（x,y）所满意的约束件是 _. 2、直线 在第一象限, 就 k 的取值范畴是 _. 答案： 1、2、错解剖析得真知（十四）不等式的应用一、基础学问导学1.利用均值不等式求最值：假如a1,a2R +,那么.2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判定函数单调性及单调区间,确定参数的取值范畴等
12、.这些问题一般转化为解不等式或不等式组,或证明不等式 . 3.涉及不等式学问解决的实际应用问题,这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值 . 二、疑难学问导析不等式既属数学的基础学问,又是解决数学问题的重要工具,在解决函数定义域、 值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范畴的确定、曲线位置关系的争论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用,用题问世,其特点是：特殊是近几年来, 高考试题带动了一大批实际应名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1问题的背景是人们关怀的社会热
13、点问题,如“ 物价、 税收、 销售收入、 市场信息”等,题目往往篇幅较长 .2函数模型除了常见的“ 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数 函 数 、 对 数 函 数 、 三 角 函 数 、 反 三 角 函 数 ”等 标 准 形 式 外 , 又 出 现 了 以 “函 数”为模型的新的形式.的最小值 . 三经典例题导讲例 1求 y=错解 ：y= 2 y 的最小值为 2. 错因 ：等号取不到,利用均值定理求最值时“ 正、定、等” 这三个条件缺一不行 . 正解 ：令 t= ,就 t ,于是 y=由于当 t 时, y= 是递增的,故当 t2 即 x=0 时, y 取最小值 . 例 2
14、m 为何值时,方程x2+2m+1x+m23=0 有两个正根 . 时,原方程有两个错解 ：由根与系数的关系得,因此当正根 . 错因 ：忽视了一元二次方程有实根的条件,即判别式大于等于 0. 正解：由题意：因此当时,原方程有两个正根. 名师归纳总结 例 3如正数 x, y 满意,求 xy 的最大值第 8 页,共 42 页解：由于 x,y 为正数,就6x,5y 也是正数,所以- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当且仅当 6x=5y 时,取“=” 号因,就,即,所以的最大值为. 例 4 已知：长方体的全面积为定值 积最大,求出这个最大值S,试问这个长方体的长、宽
15、、高各是多少时,它的体分析 ：经过审题可以看出,长方体的全面积 S 是定值因此最大值肯定要用 S 来表示首要问题是列出函数关系式设长方体体积为 y,其长、宽、高分别为 a,b,c,就 y=abc由于 a+b+c 不是定值,所以确定要对函数式进行变形可以利用平均值定理先求出 y 2 的最大值,这样 y 的最大值也就可以求出来了解：设长方体的体积为y,长、宽、高分别是为a,b,c,就y=abc,2ab+2bc+2ac=S而y2=（abc）2=（ab）（bc）（ ac）=” 号, y2有最小值当且仅当 ab=bc=ac,即 a=b=c 时,上式取“答：长方体的长、宽、高都等于时体积的最大值为. 说明
16、 ：对应用问题的处理,要把实际问题转化成数学问题,列好函数关系式是求解问题的关健 . 四、典型习题导练1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m 3,深为 3m,假如池底每 1m 2的造价为 150 元,池壁每 1m 2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元？2.证明：通过水管放水,当流速相同时,假如水管截面的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大 . 3.在四周体 P-ABC 中, APB= BPC= CPA=90 ,各棱长的和为 m,求这个四周体体积的最大值名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 42 页精选
17、学习资料 - - - - - - - - - 4. 设函数 fx=ax2+bx+c 的图象与两直线y=x,y=-x ,均不相交,试证明对一切R都有.5青工小李需制作一批容积为 径应具有怎样的比例？V 的圆锥形漏斗,欲使其用料最省,问漏斗高与漏斗底面半6轮船每小时使用燃料费用 单位：元 和轮船速度 单位：海里时 的立方成正比已知某轮船的最大船速是 18 海里时,当速度是 10 海里时时,它的燃料费用是每小时 30 元,其余费用 不论速度如何 都是每小时 480 元,假如甲、乙两地相距 1000 海里,求轮船从甲地行驶到乙地,所需的总费用与船速的函数关系,并问船速为多少时,总费用最低？寻求二元一次
18、不等式（组）所表示的平面区域的方法简洁线性规划问题是高考必考学问点,而其基础在于争论二元一次不等式（组） 所对应的平面区域 下面介绍一些方法来快速精确地确定二元一次不等式方法一：直线定界,特殊点定域（组）所表示的平面区域找出一个二元一次不等式（组）在平面直角坐标系内所表示的平面区域的基本方法是：画直线取特殊点代值定域求公共部分否就作虚画直线 作出各不等式对应方程表示的直线（原不等式带等号的作实线,线）；取特殊点 平面直角坐标系内的直线要么过原点,要么不过原点； 当直线过原点时我们选取特殊点 或（坐标轴上的点） ,当直线不过原点时我们选取原点 做特殊点；代值定域 将选取的特殊点代入所给不等式：假
19、如不等式成立, 就不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在的区域；假如不等式不成立,就不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在区域的另一边名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求公共部分 不等式组所确定的平面区域,的公共部分是各个二元一次不等式所表示平面区域例 1画出不等式组所表示的平面区域；直线；不等式对解析：画直线：不等式对应的直线方程是应的直线方程是；在平面直角坐标系中作出直线与（如图）取特殊点：直线过原点,可取特殊点不过原点,可取特殊点,不等式不成立,直线另一侧区域就是不等将代入,即式所表示的平面区域；将代入,即
20、,不等式成立,就原点所在区域就是不等式所表示的平面区域 （图一）求公共部分：如图二所示公共部分就是不等式组所表示的平面区域方法二：法向量判定法名师归纳总结 由平面解析几何学问知道直线（不同时为0）的一个法向量为第 11 页,共 42 页以坐标原点作为法向量的始点,可以利用向量内积证明如下结论：（1）不等式（）,不等式表示的平面区域就是法向量指向的区域；（大于同向）（2）不等式（）,不等式表示的平面区域就是法向量反向的区域；（小于反向）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2画出不等式组所表示的平面区域解析 ：不等式 对应的直线方程是,法向量；不等式 对
21、应的直线方程是,法向量；在平面直角坐标系中作出直线 与 及其相应的法向量（如图）由于不等式（）,平面区域是法向量 指向的区域（图一） ；不等式（）,平面区域是法向量反向的区域（图二） 然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域方法三：未知数系数化正法直线（不同时为 0）含有两个未知数,于是我们可以将未知数的系数分为两类：项系数与 项系数来争论（1）项系数化正法： 顾名思义就是利用不等式性质,不等号两边同时（移项）将 项系数化为正值,然后依据变形后关于 的不等式中的不等号来确定区域位置（规定：轴正方向所指的区域为直线的上方；反之为下方）有结论：项系数正值化：上；下例 3 画出不等式组 所表示的
22、平面区域解析： 不等式对应的直线方程是；不等式对名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 应的直线方程是；在平面直角坐标系中作出直线与（如图）将不等式组中每个不等式项系数正值化,得或（移项）关于的不等式（）即（或者）即）,直线上方的区域就是该不等式所表示的平面区域（图一）；关于的不等式（,直线下方的区域就是该不等式所表示的平面区域（图二）然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域（2）项系数化正法：同（1）一样,不等号两边同时（或移项）将 项系数化为正值,然后依据变形后关于 的不等式中的不等号来确定区域位置（规定：轴正
23、方向所指的区域为直线的右方；反之为左方）有结论：项系数正值化：右；左可结合例 3 来对 项系数化正法进行懂得上述方法中, 方法一是查找二元一次不等式所表示的平面区域的常规方法,思维回路较长,适合对理论的学习,但要快速精确地解决简洁的线性规划问题就必需把握方法二或方法三中之一目标函数几何意义在变化线性规划是高中数学的重要内容之一,它是本质是 “ 以形助数”即主要利用形的直观性来解决问题 由于目标函数在不断地变动,出现出多样性和隐藏性,所以我们要仔细争论目标函数的几何意义,使目标函数详细化和明朗化下面举例说明：一、目标距离化名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 42 页精选学习
24、资料 - - - - - - - - - 例 1已知实数 x,y 满意,就的最大值是分析,目标函数的几何意义是表示可行域内的点 画出可行域可求得解：如图,作出可行域,就可知行域内点（中可只是 3,故到点（ 1,1）的距离的平方,4,1）到可点（ 1,1）的距离最大,从图形例 2已知实数满意,求的最大值分析：这个目标函数就显得有点“ 隐藏” 了,留意到目标函数有个确定值符号,联想到点到直线的距离公式的结构特点,那么就可顺利解决了,也是说表示为可行域内的点到直线距离的倍7,9）到直线的距离最解：作出可行域, （如上图）可知可行域内的点（大,所以名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,
25、共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、目标角度化已知为直角坐标系原点,的坐标均满意不等式组, 就的最小值等于越大, 就越小, 所以可知在 （1,7）分析： 作出相应的可行域,可知（4,3）此时与原点O 的张角最大P（1, 7）,Q（4, 3）；就,所,解：画出可行域,不失一般性,不妨设,就以三、目标斜率化名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4已知变量满意约束条件,就的取值范畴是 _. 分析,观看的结构特点,令人想到平面内的两点间的斜率公式,可得表示可行域内的点与原点之间的斜率,结个可
26、行域可得其取值范畴是,详细的过程留给聪慧的读者四、目标投影化例 5已知点（O 为原点） 的最大值为表示的是是方向上的投影分析：这个目标函数更为隐藏了,解：作出可行域,就可知P（5,2）,就=（5,2）,就在上的投影是PQ,可看作点 P 到直线是距离名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五、目标面积化例 6 已知实数满意,求的最大值分析：表示可行域内的点（正好在第一象限）到两坐标轴距离的乘积的两倍,即过该点作两坐标轴的垂线,长线段与两坐标轴所围成的面积的 2 倍,可知当时取得最大值,最大值是同学们应当知道目标函数是直线
27、的截距的这种类型的基础上,仍要知道距离、 投影、 斜率、角度、 面积等几种常见的形式这样我们的在解决线性规划问题上才能心中有“ 形” 下面供应部分习题请同学们完成（1）如函数是定义在上的函数,就函数的值域是（）BCDA（2）约束条件,目标函数的最小值是（3）已知（是坐标原点）的最大值为名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案：（ 1）D （2）0 （3）5 错解剖析得真知（十三）简洁的线性规划一、学问导学1. 目标函数 : 是一个含有两个变量 和 的 函数,称为目标函数2.可行域 :约束条件所表示的平面区域称为可行
28、域 .3. 整点 :坐标为整数的点叫做整点4.线性规划问题 :求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称为线性规划问题只含有两个变量的简洁线性规划问题可用图解法来解决5. 整数线性规划 :要求量取整数的线性规划称为整数线性规划二、疑难学问导析线性规划是一门争论如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学争论、工业设计、经济治理中实际问题的特地学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源肯定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域,要将边界画成虚线2.
29、确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法,常用的一种方法是“ 选点法”：任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满意所给的不等式,如适合, 就该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否就,直线的另一侧为所求的平面区域如直 线 不 过 原点,通 常 选 择 原 点 代入检验3. 平 移 直 线 k 时,直线必需经过可行域4.对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时变动直线的正确位置一般通过这个凸多边形的顶点5.简洁线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的：数；（2）由二元一次
30、不等式表示的平面区域做出可行域；解. 三、经典例题导讲（1）查找线性约束条件,线性目标函（3）在可行域内求目标函数的最优名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 画出不等式组表示的平面区域. 错解 ：如图（ 1）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域. 错因 一是实虚线不清,二是部分不等式所表示的平面区域弄错了. . 正解 ：如图（ 2）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域 例 2 已知 1 xy 2,且 2 x+y 4,求 4x2y 的范畴 . 错解 ：由于 1 x y 2 , 2 x+y 4 , + 得 3
31、 2x 6 1+ 得： 0 2y 3 . 2+ 1得 . 3 4x2y 12 错因： 可行域范畴扩大了 . 正解 ：线性约束条件是：令 z4x2y,画出可行域如下列图,名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由 得 A 点坐标（ 1.5,0.5）此时 z4 1.52 0.55. 由 得 B 点坐标（ 3,1）此时 z4 32 110. 54x2y10 ,求 x2+y2 的最值 . 例 3 已知错解 ：不等式组表示的平面区域如下列图ABC 的内部（包括边界） ,令 z= x2+y2由 得 A 点坐标（ 4,1）,名师归纳
32、总结 此时 z x2+y242+1217,第 20 页,共 42 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由 得 B 点坐标（ 1, 6）,此时 z x2+y2（ 1）2+6237,由得 C 点坐标（ 3,2）,此时 z x 2+y 2（ 3）2+2 213,当 时 x 2+y 2取得最大值 37, 当 时 x 2+y 2 取得最小值 13. 错因 ：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点 A、B、C 到原点的距离的平方的最值 . 正解：不等式组 表示的平面区域如下列图 ABC 的内部（包括边界） ,令 z= x2+y2,就 z 即为点（
33、 x,y）到原点的距离的平方. 由得 A 点坐标（ 4,1）,此时 z x2+y242+1217,由得 B 点坐标（ 1, 6）,此时 z x2+y2（ 1）2+6237,由得 C 点坐标（ 3,2）,此时 z x2+y2（ 3）2+2213,202+020,而在原点处,此时 zx2+y当 时 x 2+y 2取得最大值 37, 当 时 x 2+y 2 取得最小值 0. 例 4某家具厂有方木料 90m 3,五合板 600m 2,预备加工成书桌和书橱出售 .已知生产每张书桌需要方木料 0.1m 3,五合板 2m 2,生产每个书橱需要方木料 0.2m 3,五合板 1m 2,出售一张书桌可获利润 80
34、 元,出售一个书橱可获利润 120 元.假如只支配生产书桌,可获利润多少？假如只支配生产书橱,可获利润多少？怎样支配生产可使得利润最大？名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析 ： 数据分析列表书桌 书橱 资源限制木料（ m 3）0 1 02 90 五合板（ m 2）2 1 600 利润（元 /张）80 120 方案生产（张）x y 设生产书桌 x 张,书橱 y 张,利润 z 元,就约束条件为目标函数 z=80x+120y 作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A （100,400）时,即合理
35、支配生产,生产书桌100 张,书橱 400 张,有最大利润为zmax=80 100+400 120=56000 元 如只生产书桌,得0x300,即最多生产300 张书桌,利润为z=80 300=24000（元）如只生产书橱,得0y450,即最多生产450 张书橱,利润为z=120 450=54000 （元）答：略例 5某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成 规格小钢板的块数如下表：A 、B、C 三种规格, 每张钢板可同时截得三种A 规格B 规格C 规格2 m2,今需要 A 、B、C 三种规格的成第一种钢板1 2 1 其次种钢板1 1 3 需求12 15 27 每张钢板的面积,第一种为1m2,其次种
36、为品各 12、 15、27 块,请你们为该厂方案一下,应当分别截这两种钢板多少张,可以得到所需的三种规格成品,而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？名师归纳总结 解：设需要截第一种钢板x 张,其次种钢板y 张,所用钢板面积为z m2,就第 22 页,共 42 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 目标函数 z=x+2y 作出可行域如图作一组平行直线 x+2y=t ,由可得交点,但点不是可行域内的整点,其邻近的整点（4,8）或（ 6,7）可都使 z 有最小值,且 zmin=4+2 8=20 或 zmin=6+2 7=20 如只截第一种钢板,由上可知
37、x27,所用钢板面积最少为z=27m2;如只截其次种钢板,就 y15,最少需要钢板面积z=2 15=30m2.它们都比zmin大,因此都不行. 答：略例 6设,式中满意条件,求的最大值和最小值. 解：由引例可知：直线与所在直线平行,就由引例的解题过程知,当与所在直线重合时最大,此时满意条件的最优解有很多多个,当经过点时,对应最小,说明 ：1线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；名师归纳总结 2线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得,即满意条件的最优解有很多多个. 第 23 页,共 42 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四、典型习
38、题导练1画出不等式+2y40 表示的平面区域 . 2画出不等式组 表示的平面区域3.求 z=3x+5y 的最大值和最小值,使式中的 x、 y 满意约束条件4.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品,如采纳甲种原料,每吨成本 1000 元,运费 500元,可得产品 90 千克；如采纳乙种原料,每吨成本为 1500 元,运费 400 元,可得产品 100千克, 假如每月原料的总成本不超过 6000 元,运费不超过 2000 元,那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？5.某工厂家具车间造 A、B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成 .已知木工做一张 A、 B 型桌子分别需要 1 小时和 2
39、小时,漆工油漆一张 A、B 型桌子分别需要 3 小时和 1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂造一张 A、B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多少张,才能获得利润最大？6（ 06 年高考广东）在约束条件下,当时,目标函数的最大值的变化范畴是A.6,15 B.7,15 C.6,8 D.7,8 线性规划解法赏析“ 最优化” 问题中的简洁线性规划是高考常考学问点,属于不等式模块,重点考查学生的动手操作才能；随着新课程改革的全面施行,现有的人教版教材把不等式内容进行了很大程度的推广和深化；高中数学的教学,不是把已有的简洁问题复杂化,而是应当在比同学懂得把握的学问水平更低的层次来摸索解决问题的方法,让同学感觉数学不是高不行攀的；因此, 有必要对线性规划问题的解法做一下梳理强化,结