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1、1 / 8 第 1 章 函数1.1 函数概念1.1.1 函数的定义同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变只是从未知到已知例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量这些量叫做常量常量只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的如圆的面积与半径的关系：S = r 2考虑半径r可以变化的过程面积和半径叫做变量变量可取不同值的量变域变量的取值范围我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质函数就是变量之间确
2、定的对应关系比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系又如银行中的利率表存期六个月一年二年三年五年年利率(%) 5.40 7.47 7.92 8.28 9.00 它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系函数的定义是：定义 1.1设x, y是两个变量，x的变域为D，如果存在一个对应规则f，使得对D内的每一个值x都有唯一的y值与x对应，则这个对应规则f称为定义在集合D上的一个 函数 ，并将由对应规则f所确定的x与y之间的对应关系，记为：)(xfy，称x为自变量，y为因变量或函数值，D为定义域集合, )(Dxxfyy称为函数的 值域 我们
3、要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系例 1求函数)1ln(1xy的定义域解：) 1ln(1xy，求函数的定义域就是使表达式有意义的x由对数函数的性质得到01x，即1x由分式的性质得到0)1ln(x，即11x，即2x 综合起来得出所求函数的定义域为),2()2,1(D例 2设国际航空信件的邮资F与重量m的关系是20010,)10(3.04100,4)(mmmmF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 / 8 求)20(,)8(, )3(FFF解：20010,)10( 3. 04100,4)(mmmmFm用 3 替代
4、，由第一个关系式表示，得到4)3(F，同样可以得到4)8(Fm用20 替代，由第二个关系式表示，得到7)20(F1.1.2 有关函数的几点解释1. 函数的表示法如何表示函数关系是需要我们不断研究和发现的常用的方法有三种：一种是用一个数学公式来表示，叫做解读法 ；一种是用坐标系中的曲线反映两个变量之间的函数关系，叫做 图示法 ；还有一种方法是用一个表格反映两个变量之间的函数关系，叫做表格法 一般经常使用的就是这三种方法2. 函数的记号在考虑一个问题的过程中，f表示一个确定的对应关系，在之后考虑这个问题的过程中，f自始至终表示同样的对应关系比如53)(2xxxf，它反映的就是这样一种对应关系：5)
5、(3)()(2f，等式左端的函数括号中带入一个量，表示要对其进行等式右端的运算如：15131)1(2f，又如：535)(3)()(242222xxxxxf无论左端带入什么，都对它进行同样的运算. 1.1.3 函数的基本性质下面把在中学里大家已经知道的函数的基本属性复习一下，也就是：函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性当一个变量增加时另一个变量也跟着增加，这样的函数就叫做单调增加的函数从图形上看这条曲线，曲线上的点x在增加的时候，它所对应的纵坐标y也在增加，这样的函数是单调增加的单调减少是相反的，随着x的增加相对应的y在减少，这样的函数是单调减少的，正如图形中演示的这样如果函数当x在增加的时候，
6、它所对应的y不是增加，也不是减少，这样的函数就不具有单调性例 1 判断函数f(x) x2当x 0 时的单调性分析： 可以利用单调性的定义，证明对任意的x1 x2，有f(x1)f(x2) 解：当x 0 时，对任意的x2 0，有2221xx（当x1 x2 0 时，在不等式x1 x2两端同乘以x1或x2，显然有2121xxx，2221xxx，由不等式的传递性就得到2221xx）由定义可知f(x) x2当x0 时是单调增加的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 / 8 一个函数的图形如果关于y轴对称，这样的函数就称为偶函数从
7、图形上来分析，曲线上任一点关于y轴的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是偶函数从解读式上看，如果有f( x) f(x) ，f(x) 就叫做偶函数一个函数的图形如果关于原点对称，这样的函数就称为奇函数曲线上任一点关于原点的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是奇函数从解读式上看，如果有f( x) f(x) ，f(x) 就叫做奇函数例 2 判断下列函数的奇偶性：（1）yx3 1 （2）yxcos x解：（ 1）取x1， 1，f (1) 0，f ( 1) 2，显然f (1) f ( 1) ，由此可知yx31 不是奇函数又显然f (1) f ( 1)，由此可知yx31 不是偶函数（2）因
8、为yx是奇函数， ycosx是偶函数，而奇函数和偶函数的乘积是奇函数所以yxsin x是奇函数如果自变量在定义域中变化时，函数值始终在一个有限的区间内变化，如图形中演示的，无论怎样变化，都有M f(x) M，这条曲线所反映的函数就是有界函数如果存在一个正数T，对任意的自变量x，有f(x + T ) f(x) ，这样的函数就叫做周期函数从图形上反映，这个函数在相隔为T的任意两点上函数值都是一样的也可以这样来看，从任意一点出发，以长度T为间隔划分区间，在每个区间上的函数图形都是可以完全重合的1.2 几类基本初等函数我们在中学的学习中已经认识了一些函数，这些函数是非常基本的，有这样几类：1. 常数函
9、数：y = c这个函数在它的定义域中的取值始终是一个常数，它在直角坐标系中的图形就是一条水平线2. 幂函数：y = x，( R ) 以x为底，指数是一个常数当 = 1 时就是y = x，它的图形是过原点且平分一、三象限的直线；当 =2 时就是y = x2，它的图形是过原点且开口向上的抛物线；当 =3 时就是y = x3，它的图形是过原点的立方曲线3. 指数函数：y = ax，( a 0，a1)底数是常数，指数是变量例如y = ex，y = 2 x，y = (21) x 所有指数函数的图形都过(0,1) 点，当a1 时，函数单调增加，当a0，a1)以a为底的x的对数例如y = lnx，y = l
10、og 2x，y =x21log所有对数函数的图形都过(1,0) 点，当a1时，函数单调增加；当a 0 盈利（ 2）L(q) 0 亏损（ 3）L(q) = 0 盈亏平衡满足L(q) = 0的q0称为 盈亏平衡点 （又称 保本点 ）在假设成本函数和收入函数都是线性函数的情况下来做一些分析：C = c0 + cq，R = pq它们的图形是两条直线的交点表示收入与成本相等，q0就是盈亏平衡点如果两条直线出现了下面这种情况此时两条直线没有交点，也就是没有盈亏平衡点为了找到盈亏平衡点，我们可以采取两种手段，一种是提高价格；另一种是降低变动成本c1这两种手段都可以重新找到盈亏平衡点 . qO qOqO qO qO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 / 8 从几何上看，增加直线R的斜率或减小直线C的斜率都可以使两条直线重新相交从以上分析可以看出数学工具在经济分析中的作用例 2某商品的成本函数与收入函数分别为：qC521，qR8求该商品的盈亏平衡点解：qqC521)(，qqR8)(，)()(qRqCqq8521，7q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页