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1、1 / 10 第一单元定积分的定义一、学习目标通过本节课的学习，了解定积分的概念二、内容讲解定积分的定义：三、例题讲解例题 1 计算定积分10dxx分析：利用定积分的定义，为计算方便，可将区间 1,0等分解：将区间 1,0n等分，每个小区间的长度为n1，取i为每个小区间的右端点，得积分和ninni11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 / 10 计算积分和得niniinnni121112)1 (12nnn（等差数列求和公式）n2121由此得21)2121(lim1lim1nnninnin由定积分的定义可知21d1
2、0 xx第二单元 N-L公式一、学习目标通过本节课的学习，理解并能熟练运用N-L 公式二、内容讲解1.N-L 公式：若)(xF是)(xf的一个原函数，则babaxFaFbFxxf)()()(d)(简记为对于 N-L 公式作几点说明：定积分是一个确定的数值，它不依赖于对原函数的选取，即: 若)(xF,)(xG均为)(xf的原函数，则bababaxGxFxxf)()(d)(在公式)()(d)(aFbFxxfba中如果把b换成x，就得到)()(d)(aFxFxxfxa由此结果看出，定积分和变上限x之间有确定的对应关系，这就是一个函数，即定积分可以看作积分上限的函数在上式左端，积分上限x与积分变量x的
3、含义是不同的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 / 10 再由等式右端可知xaxxfd)(是被积函数)(xf的一个原函数baxxfd)(与battfd)(完全一样，因为babababattftFxFxxfd)()()(d)(说明定积分与积分变量选取的字母无关由 NL 公式可得abbattfxxfd)(d)(0d)(aaxxf三、例题讲解例 1 计算102dxx解：因为2)(xxf，它的一个原函数为331)(xxF，得3131d103102xxx若将原函数换为231)(3xxF，同样得31)231(d103102x
4、xx例 2 计算21dexx解：因为xxfe)(，它的一个原函数为xxFe)(，得122121eeedexxx例 3 计算112dexx解：cxxx2112e21de112112e21dexxx)e(e2122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 / 10 例 4 计算2032d1 xxx解：cxxxx23332) 1(92d1202332032)1(92d1xxxx952例 5 计算21dexxx解：cxxxxxe)1(de2121e) 1(dexxxxx2e例 6 计算e1dlnxx解：cxxxx)1(lndl
5、ne1e1)1(lndlnxxxx1四、课堂练习与作业1设xttxF02dsin)(，求)4(F. 2利用 N-L 公式计算下列定积分：（1）102dxx；（2）212dxx；（3）10de2xxx；（4）20dcosxxx. 121；2. （1）31（2）1（ 3）)1e(21（4）12第三单元定积分的性质一、学习目标通过本节课的学习，不定积分的性质，熟悉定积分的直接积分法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 / 10 二、内容讲解1. 先回顾不定积分的性质性质 1.xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(性
6、质 2. xxfkxxkfd)(d)(定积分与原函数有着密切的关系，显然定积分也有类似的性质2. 定积分的性质：性质 1. bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(性质 2. babaxxfkxxkfd)(d)(性质 3.bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(证：设)(xF是)(xf的一个原函数，由NL 公式)()(d)(aFbFxxfba)()(d)(aFcFxxfca)()(d)(cFbFxxfbc)()()()(d)(d)(cFbFaFcFxxfxxfbccabaxxfaFbFd)()()(这个性质对计算定积分是非常重要的性质中的c可以在区间,ba内，也可以在区
7、间,ba外三、例题讲解例 1 计算02d)cos2(xxx解：00202dcos2dd)cos2(xxxxxxx002dcos2dxxxx003sin231xx331精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 / 10 例 2求20d1 xx解：1,11,11xxxxx211020d1d1d1xxxxxx2110d)1(d)1(xxxx2121022) 1(2)1 (xx12121四、课堂练习与作业1计算下列定积分（1）21d1xx；（2）102d)2(xxx2设函数10,301,)(2xxxxxf，求11)d(xxf1
8、（ 1）25（2）312ln12. 37第四单元定积分的换元积分法一、学习目标通过本节课的学习，掌握定积分的换元积分法二、内容讲解定积分换元积分法若babaxxuxufxxfd)()(d)(1且当ax时，u；当bx时，u则uufxxfbad)(d)(1三、例题讲解例 1 计算21d131xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 / 10 解：21d131xx21d) 13(13131xxx21) 13(d13131xx52d13113uuux52ln31u)2ln5(ln31例 2 计算1032d34xxx解：令u
9、x334，xxud9d21032d34xxx14)d91(uu14d91uu271432911423u例 3 计算)0(d022axxaa分析： 设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平方用三角公式替换解：令taxsin，ttaxdcosd，且当0 x时，0t；当ax时，2t得axxa022d20222dcossinttataa2022dcostta202d)2cos1 (2tta（三角公式22cos1cos2）4)2sin21(22202atta四、课堂练习计算下列不定积分：（1）e12dlnxxx；（2）202d4xxx五、课后作业计算下列定积分：（1）2227dexx
10、；（2）2121dexxx；（3）102d1xxx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 / 10 （4）32dln1xxx；（5）axx02d4.（1）)e(e7277（2）121ee（3）31（4）2lnln3lnln（5）第五单元定积分的分部积分法一、学习目标通过本节课的学习，掌握定积分的分部积分法二、内容讲解1. 不定积分分部积分公式：xuvuvxvudduvuvvudd2. 定积分有类似的分部积分公式bababaxvuuvxvudd或bababauvuvvudd三、例题讲解例 1 计算21dexxx解：2
11、121d)e(dexxxxxx21211deexxxx例 2 计算e1dlnxx解e1e1d)(lndlnxxxxxe1e1d1lnxxxxx1)1e(0e例 3 计算20d2sin3xxx解：2020d)2cos21(3d2sin3xxxxxx2020d2cos232cos23xxx202sin4343x43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 / 10 四、课堂练习设xxxxxF0dcos)(试求（ 1）)(F；（2）)2()(FFF变上限定积分是被积函数的一个原函数2d)()2()(xxFFF，)()d)(0
12、 xfttfx因为xxxxxxFxcos)dcos()(0，所以cos)(F五、课后作业计算下列定积分：（1）312dexxx；（2）51dlnxx；（3）e13dlnxxx；（4）20d2cosxxx；（5）ee1dlnxx. （1）26e41e45；（ 2）45ln5；（ 3）) 1(3e1614；（ 4）21；（ 5）e22.第六单元广义积分一、学习目标通过本节课的学习，了解无穷积分及收敛、发散的概念二、内容讲解定积分是在有限区间,ba上讨论的积分问题，但有的积分问题需要在无穷区间上讨论，这就是广义积分：广义积分（或称无穷积分）ababxxfxxfd)(d)(limbbaaxxfxxfd
13、)(d)(lim在上两个定义式中，若左端的极限存在，则称右端的无穷积分收敛；若左端的极限不存在，则称右端的无穷积分 发散 三、例题讲解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 / 10 例 1 计算广义积分12d1xx解：12d1xxbbxx12d1limbbx1)1(lim1)11(limbb例 2 计算广义积分02dexx解：02dexxbxbx02delimbxb02e21lim21)e1(21lim2bb例 3 计算广义积分0de2xxx解：0de2xxx0delim2axaxx02)(de21lim2axax02e21limaxa21)e(121lim2aa四、课堂练习计算下列广义积分积分：（1）022de3xxx；（2）132d1xx对于无穷积分axxfd)(，先求baxxfd)(，再求babxxfd)(lim，若此极限存在，它就是所求的积分值若此极限不存在，则axxfd)(发散利用凑微分法bxbxxxx032022)3(dede33五、课后作业求下列广义积分：（1）0de2xxx；（2）12dlnxxx；（3）4d1xx（1）21；（2）1；（3）发散精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页