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1、1 / 17 第一单元原函数的概念一、学习目标通过本节课的学习，理解原函数的概念二、内容讲解这节课我们讲原函数的概念，先来看什么是原函数已知求总成本函数边际成本C(x)C (x)（）MC()MC求已知已知总成本 C(x)，求边际成本 C (x)，就是求导数反之如果已知边际成本，用MC 表示，要求总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC我们引进一个概念：定义 1.1 原函数若对任何 x D，F (x)=f(x)，则称 F(x)为 f(x)的原函数 我们来看具体的问题：例如(x3) =3x2 F(x)f(x)；x3是 3x2的原函数大家用自己的方法把它搞清楚，不要和导数
2、的概念搞混了先考虑这样一个问题：x2的原函数是哪个？由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是x2，即它使得x2)(成立，我们在下列函数中进行选择：12,ln,4,1,222xxxx经验证知21x和42x是 2x 的原函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页2 / 17 通过这个过程应该弄清，求已知函数的原函数，就是看哪个函数的导函数是已知函数，这个函数就是所求的原函数另外， 2x 的原函数不唯一它告诉我们原函数不止一个再从另一方面提出问题：xsin为哪个函数的原函数？xxcos)(sin，说明xsin是xcos的原函
3、数同样xxcos)3(sin，说明3sin x是xcos的原函数事实上，cxsin都是xcos的原函数，说明原函数有无穷多个那怎样求出一个函数的所有原函数呢？这是下面要讨论的若)(, )(xGxF都是)(xf的原函数，则cxFxG)()(证：设)()()(xGxFxH0)()()()()(xfxfxGxFxH可知cxH)(，即cxFxG)()(这个结论非常重要，我们已经知道，若)(xF是)(xf的原函数，则cxF)(都是)(xf的原函数而这个结论告诉我们任意两个原函数之间差一个常数所以只要求出一个原函数，就能得到所有原函数问题思考1：如果一个函数)(xf有原函数，它可能有多少个原函数？答案 有
4、无穷多个原函数问题思考2：)(xF是)(xf的原函数，cxF)(是否包含了)(xf的所有原函数？答案 是，因为)(xf的任一原函数)(xG都可表示为cxF)(的形式三、例题讲解例 1 求x1的全体原函数分析： 先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数求原函数就是看哪个函数的导数是x1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页3 / 17 解：因为xx1)(ln，所以xln是x1的一个原函数故x1的全体原函数为xln+c。例 2 判断x1是哪个函数的原函数分析： 看x1的导函数是哪个函数解：因为21)1(xx
5、，所以x1是21x的原函数四、课堂练习求xsin的全体原函数先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数求原函数就是看哪个函数的导数是xsin因为xxsin)cos(，所以xcos是xsin的一个原函数五、课后作业1求下列函数的一个原函数：（1）12x；（2）x1；（3）x3；（4）x2e22求下列函数的全体原函数：（1）xx2；（2）0；（3）126x；（4）2)1(xx1（ 1）xx33；（ 2）x1xln；（ 3）3ln3x；（ 4）x2e2（ 1）cxx233323；（ 2）c；（ 3）cxx2727；（ 4）Cxxxln21第二单元不定积分的定义一、学习目标通过本节课的学
6、习，理解不定积分的概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页4 / 17 二、内容讲解定义 1.2 不定积分)(xf的所有原函数的全体称为不定积分 记作xxfd)(，其中)(xf称为被积函数 ，x称为积分变量 ，称为积分符号 问题思考：在x2的积分曲线族中，过原点的曲线是哪一条？答案 过原点的曲线是2xy三、例题讲解例 1 求22xx的全体原函数解：全体原函数就是22xx的不定积分cxxxxx3d)2(322例 2 求通过点)1,0(的曲线)(xfy，使它在x点处的切线斜率为23x解：cxxx32d3得到一族曲线cxy
7、3曲线过点)1,0(，即1)0(y，得到cc301所求曲线为13xy三、课堂练习练习 1 求14x的全体原函数就是求14x的不定积分，先求一个原函数，再加任意常数即得看哪个函数的导函数是14x因为14)2(2xxx，所以cxxdxx22) 14(练习 2 求过点)2,0(的曲线)(xfy，使它在x点处的切线斜率为xe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页5 / 17 先求xe的积分曲线族（即xe的不定积分），再看曲线族中哪条曲线过点)2,0(由不定积分求出xe的积分曲线族因为cxxxede，切线斜率为xe的曲线族是cy
8、xe五、课后作业1求12)(xxf的不定积分 . 2已知曲线)(xFy在任一点)0(xx处的切线斜率为11x，试求过)5,1 (点的曲线方程 .1cxx2；222xxy第三单元导数与不定积分的关系一、学习目标通过本节课的学习，理解导数运算与不定积分运算之间的互逆关系二、内容讲解我们来讨论两个问题，首先?d)(xxf有两个答案给我们选择)(xf；cxf)(要求)(xf的不定积分，也就是要看哪个函数的导函数是)(xf，答案当然是)(xf但另一方面不定积分是要求全体原函数，所以正确的选择是)(xf；cxf)(即cxfxxf)(d)(再讨论第二个问题?)d)(xxf精选学习资料 - - - - - -
9、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页6 / 17 有三个答案给我们选择cxf)(；cxf)(；)(xf不定积分是被积函数的原函数，所以它的导数应该是被积函数，而导函数如存在应是唯一的，所以正确的选择是cxf)(；cxf)()(xf即)()d)(xfxxf请大家自己考虑一个问题?)d)(dxxf由这两个问题我们了解到，导数和不定积分是两种互逆的运算求导数互逆求不定积分求导公式积分公式求导公式反过来就是积分公式问题思考：在等式)()d)(xfxxf和cxfxxf)(d)(中，为什么前式不加c而后式加c？答案因为前式是先求原函数后求导函数，导函数唯一，所以不
10、加c； 而后式是先求导函数后求原函数，原函数不唯一，所以加c三、例题讲解例求)(dxf分析：由微分定义有xxfxfd)()(d解：由微分定义有cxfxxfxf)(d)()(d；即求xxfd)(四、课堂练习求)d)(dxxf由微分定义有xxxfxxfd)d)()d)(d，已知)()d)(xfxxf所以)d)(dxxf=f(x)dx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页7 / 17 五、课后作业1求)de(2xx；2求xxxd)sin(. 12ex；2Cxxsin第四单元积分基本公式一、学习目标通过本节课的学习，熟悉积分基
11、本公式二、内容讲解正因为求导与求不定积分互为逆运算，所以导数基本公式和积分基本公式也是互逆的也就是说，有一个导数公式，反过来就有一个积分公式先让我们回顾一下导数基本公式：0)(c；1)(xx；xx1)(ln；) 1,0(ln)(aaaaaxx；xxe)e(；xxcos)(sin；xxsin)(cosxx2cos1)(tan；xx2sin1)(cot将以上这些公式反过来看，我们就能得到积分基本公式：cxd0；111d1cxxx；cxxxlnd1；) 1,0(lndaacaaxaxx；cxxxedecxxxsindcos；cxxxcosdsin；cxxxtandcos12；cxxxcotdsin1
12、2以上这些积分基本公式都是需要牢记的另外，有一种方法可以检验不定积分计算的正确与否，那就是将计算结果求导数，看是否等于被积函数由此可见，积分基本公式固然很重要，但最最重要的还是导数基本公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页8 / 17 再来说明积分公式cxxxlnd1当0 x时，xxx1)(ln)(ln；当0 x时，xxxxx1)(1 )ln()(ln将两个结果统一起来就得到积分公式cxxxlnd1三、例题讲解说明在积分基本公式中为什么没有xxdln的公式分析： 从不定积分运算和导数运算的关系加以说明说明：在导数公
13、式中xx1)(ln是由定义及相关法则直接求得的而xln的不定积分需要找一个函数，使该函数的导函数是xln，我们无法在导数基本公式中得到这样的结果，并且即使通过其它方法找到这个结果，一般来说也不是一个实用的公式所以在积分基本公式中没有xxdln公式，类似地原因也没有xxdtan和xxdcot我们所得到的积分基本公式更加强调导数与不定积分之间互为逆运算的关系四、课后作业利用积分基本公式求下列不定积分：（1）xxxde3；（2）xxxd5. （1）cx)e3(13ln1；（ 2）Cx2第五单元不定积分的性质一、学习目标通过本节课的学习，记住不定积分的性质，熟悉不定积分的直接积分法精选学习资料 - -
14、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页9 / 17 二、内容讲解先介绍不定积分的性质积分基本性质：1. 若)(, )(xgxf是可积函数，则有xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(2. 若)(xf是可积函数，k为非 0 常数，则有，xxfkxxkfd)(d)(有了积分基本公式和这两条性质，我们就可以把一些基本的函数的不定积分计算出来例如xxxxxxxdd2d)2(22xxxxdd22cxx3231212cxx3231这种利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法称为直接积分法三、例题讲解例 1 求xxxxd)(23
15、2解：xxxxxxxxxxddd)(232232xxxxdd125cxxln1251125cxxln7227例 2 求xxd2e3解：xxxxde21d2e33xxdee213xxde2e3cxe2e3例 3 求xxxd)23(e解：xxxxxxxxd2ed3ed)23(exxxxd)e2(de3ceexx12ln232精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页10 / 17 例 4 已知边际成本为32q，固定成本为 30，求总成本函数解：因为qqCqCd)()(，有cqqqq3d)32(2cqqqC3)(2，将30)0(
16、C代入，得30c，总成本函数为303)(2qqqC例 5 求uu d2解：cuxuuu32311d由变量替换得cxxx32) 1(31) 1(d)1(注意到xxd)1(d，即cxxx32) 1(31d)1(若直接计算左端有xxxxxxx1dd2dd)1(2212331cxxx313133123cxxxcx3) 1(31用变量替换的方法显然简单得多四、课堂练习求不定积分xxxxd232可以利用函数的四则运算及幂函数的性质，将被积函数化为利用积分性质和积分基本公式直接计算的积分xxxxxxxxx)d2(d23232xxx)d2(2131212xxx)d2(6123cxx65255654精选学习资料
17、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页11 / 17 五、课后作业求下列不定积分：（1）xxxd)1 (2；（2）xxxd242；（3）xxxx)de3(e（1）cxxx4ln（2）cxx2212（3）cxx3ln1)e3(第六单元换元积分法一、学习目标通过本节课的学习，掌握不定积分的第一换元积分法（凑微分法）知道第二换元积分法二、内容讲解我们再介绍两种计算不定积分xxfd)(的方法1第一换元积分法：这种方法是将被积函数凑成)()()(1xuxufxf的形式或是将xxfd)(凑成)(d)(d)(1xuxufxxf的形式（凑微分）
18、就是说将被积表达式xxfd)(凑成某个中间变量u的函数)(1uf乘以这个中间变量的微分ud 而)(1uf的原函数)(1uF是已知的或是容易求得的此时就有cxuFxxf)(d)(1这种方法的关键是将凑出uufxxfd)(d)(1，且uufd)(1容易计算我们称这种方法为第一换元积分法 （也称为 凑微分法 ）2第二换元积分法：这种方法是将积分变量作变量替换)(tux将被积函数)(xf变成)()()()(1tftutufxf的形式或ttfttutufxxfd)(d)()(d)(1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页12
19、/ 17 即将被积表达式xxfd)(凑成某个中间变量t的函数)(1tf乘以这个中间变量的微分td而)(1tf的原函数)(1tF是已知或是容易求得的此时就有cxuFxxf)(d)(11这种方法的关键是ttfd)(1容易计算我们称这种方法为第二换元积分法 三、例题讲解例 1 求xxde2解：xxde2)2d(21e2xx)2d(e212xxcx2e21例 2 求xxd431解：xxd431)4d(331431xx)4d(343131xxcx43ln31例 3求xxxd132解：xxxd132)1d(31133xx将 -2x 看作一个整体，可以利用积分公将 3x-4 看作一个整体，可以利用积分公式将
20、 x3+1 看作一个整体，可以利用积分公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页13 / 17 )1d(13133xxcx1213)1(121131cx233)1(92例 4 求xxxd1cos2解：xxxd1cos2xxxd11cos2xxxd)1(1cos)1(d1cosxxcx1sin例 5 求xxxdln解：xxxdlnxxxd1lnxxxd)(lnln)(lndlnxxcx2)(ln21例 6 计算xxxd1分析： 设法去掉被积函数的根号，将根式表达式用新变量替换解：令tx1，即有21tx,ttxd2d得精
21、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页14 / 17 xxxd1tttt)d2(12tt)d22(2ctt2323cxx12)1 (323例 7 计算)0(d22axxa分析： 设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平方用三角公式替换解：令taxsin，ttaxdcosd得xxad22ttataadcossin222ttadcos22ttad)2cos1 (22（三角公式22cos1cos2）)2sin21(22ttacxaxaxa2222arcsin2（三角公式taatattata22222sin
22、sin2cossin22sin22222)sin(sin2xaxtaata）四、课堂练习练习 1 求不定积分xxd)12(10把12x看作一个整体，用凑微分法利用abax)(，或1 )(1baxa练习 2 求不定积分xxxd)sin(ln1把xln看作一个整体，用凑微分法五、课后作业求下列不定积分：（1）xxd)5(4；（2）xxd211；（3）xxxd22；（4）xxxde2；（5）xxxde21；（6）xxxdln1；（7）xxx)decos(e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页15 / 17 （1）cx5)
23、5(51；（ 2）cx21ln21；（ 3）cx232)2(31；（4）cx2e21；（ 5）cx1e；（ 6）cxlnln；（ 7）cx)esin(第七单元分部积分法一、学习目标通过本节课的学习，掌握不定积分的分部积分法二、内容讲解分部积分的方法一般是用于被积函数是两个函数乘积的形式我们来导出分部积分公式?)(uv对于这个问题，由导数运算法则容易得到uvvuuv)(上式两端积分，得xuvvuxuvd)(d)(由积分与导数运算的关系及积分的性质得到xuvxvuuvdd整理后得到xuvuvxvudd它的另一种形式是uvuvvudd于是就得到分部积分公式：xuvuvxvudduvuvvudd分部积
24、分的关键在于被积函数的一个乘积项是某个函数的导函数，即xugxxfdd)(xvu d写成gv（或xgvdd），可知v是g的一个原函数利用分部积分公式xuvuvxvudd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页16 / 17 它的意义在于将xvud的计算转化为xuvd的计算，如果后者的计算比前者简单，这种方法就获得了成功它将一个较难的积分化为一个较简单的积分三、例题讲解例 1 求xxxde解：令xu，xve（或xvxded），1u（或xudd），xvexxxxxxx1deedecxxxeecxxe) 1(例 2 求xxx
25、dsin解：令xu，xvsin（或xxvdsind）1u（或xudd），xvcosxxxxxxxd)cos()cos(dsinxxxxdcoscoscxxxsincos例 3 求xxdln解：xxxxd1lndln令xuln，1v（或xvd1d），xu1（或xxud1d），xvxxxxxxxxxd1lnd1lndlncxxxln例 4 求xxxdln解：设xuln，xv（或xxvdd），xu1（或xxud1d），22xvxxxxxxxxd12ln2dln22cxxx221ln222cxxx4ln222例 5 求xxxde2解：令2xu，xve（或xvxded），xu2（或xxud2d），xve
26、xxxxxxxxde2ede22xxxxxxde2e2e2cxxxxxe2e2e2cxxx)22(e2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页17 / 17 四、课堂练习练习 1 求不定积分xxxdcos（)(sincosxx，再利用uvuvvudd利用分部积分法，当被积函数是幂函数和三角函数的乘积时，用三角函数凑微分xxxxxxxxxdsinsin)(sinddcos）练习 2 求不定积分xxxdln2利用分部积分法，当被积函数是幂函数和对数函数的乘积时，用幂函数凑微分利用分部积分法xxxxxxxxxd1ln1)1(dlndln22，再利用uvuvvudd五、课后作业求下列不定积分：（1）xxxde；（2）xxxde)1(；（3）xxxd2sin；（4）xxxdcos2；（5）xxd)1ln(；（6）xxxdln2（1）cxxe) 1(；（ 2）cxxe；（ 3）cxxx2sin42cos2；（4）cxxxxcos2sin)2(2；（ 5）cxxx) 1ln() 1(；（ 6）cxxx1ln精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页