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1、1 / 8 第 3 章 积分应用3.1 积分的几何应用积分的几何应用能使我们从直观上理解定积分的含义，也能通过几何图形直观地理解定积分的性质先讲平面图形的面积计算怎样测定一块不规则土地的面积，我们知道怎样计算矩形的面积，但要把这块土地当作矩形来计算，那么误差就太大了由于面积具有可加性，可以将这块土地划分成一些小条形状，将每个小条近似地当作一个矩形（这样误差很小），那么，这些矩形面积之和就是这块土地面积的近似值将这块土地抽象成坐标系中的这个图形（如图 2_3_1），图形上端曲线方程为)(xfy，将图形划分为一些小条，其中小条面积用矩形面积近似，即xxf)(图形的面积近似为xxf)(, 小条分得越
2、细，近似程度越高，令所有小条的宽度趋于0，就得到图形面积的精确值这种分割、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应用问题如果用S表示图形的面积，由定积分的定义可知baxxfS)d(. 从这个问题的解决可以看出，当0)(xf时，baxxf)d(的几何意义就是由曲线)(xfy与x轴及直线bxax,所围的平面图形的面积通过例子说明：当0)(xf时，baxxf)d(的几何意义就是表示由曲线)(xfy与x轴及直线bxax,所围的曲边梯形的面积再来看一般的情况，计算如下图形的面积图形上面的曲线为)(xfy，下面的曲线为)(xgy，由定积分的几何意义可知图形的面积为bababaxxgxfxxgxxfS)d(
3、)()d()d(或表示为 y x Oabxx+ x y x Oab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 / 8 baxyySd下上一个积分是在对称区间,aa上的积分，如果遇到这样的积分，就可以考察被积函数的奇偶性，结论是是偶函数时当是奇函数时当)(,)d(2)(,0)d(0 xfxxfxfxxfaaa这个结论可以由几何直观加以验证从上图可以看出，当)(xf是奇函数时有aaxxfxxf00d)(d)(；当)(xf是偶函数时有aaxxfxxf00d)(d)(例 1 三角形底为1，高为 2，求三角形的面积解：按三角形面积公
4、式有:1212121高底S用定积分计算（如图）10d2xxS1102x例 2 梯形上底为1，下底为 2，高为 1，求梯形的面积解：按梯形面积公式有:231212121）（高下底）（上底Sy x O12 y x O122y x Oaay x Oaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 / 8 用定积分计算（如图）21dxxS232212x例 3 求半径为2 的圆的面积解：按圆的面积公式有422S用定积分计算（如图）202d44xxS令txsin2，则ttxdcos2d，0 x时0t；2x时2t202dcos2sin44
5、4tttS202dcossin116ttt202dcos16tt20d22cos116tt20)2sin21(8tt4例 4 求由12xy，2x及x轴和y轴围成的平面图形的面积解：平面图形如图所示2021)d(xxS203)3(xx314例 5 求由xysin，x轴在区间2,0上围成的平面图形的面积解：平面图形如图所示20dsinxxS20cosx1例 6 求由xy，3xy所围成的平面图形的面积解：平面图形如图所示，在区间)0,1(上xx3在区间)1,0(上3xx由此得103013d)(d)(xxxxxxS21)42()24(10420124xxxx例 7 计算222)dsin(xxxx解：因
6、为2, xx都是偶函数，xsin是奇函数所以2xx是偶函数，xx sin是奇函数yx O2 y x O112yx O1/2 yx O11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 / 8 由此得22222222dsind)dsin(xxxxxxxxxx203202d20d2xxxxx3224204x3.2 积分在经济分析中的应用若某产品的销售曲线为)(tfy，它表示该产品在单位时间里的销售额考虑从1t到2t时间段内的销售总额如果在1t到2t时间段内的单位时间里的销售额为常数，那么销售总额就是时间间隔乘以这个常数但现在单位时
7、间里的销售额是个变量，不能这样简单地计算利用定积分的思想，把时间间隔,21tt分割成很多小的时间段，将每个小段时间内单位时间里的销售额视为常数，每个小段时间内的销售额近似为ttf)(, 则在1t到2t时间段内的销售总额可近似为21)(tttttf. 最后取极限，即让每个小段时间的间隔趋于0，得到从1t到2t时间段内的销售总额u为21d)(ttttfu, 这样就将在一个时间段内单位时间销售额为变量的产品的销售总额表示成了一个定积分例1若 一 年 内12 个 月 的 销 售 额 随 着 时 间 的 增 长 而 增 长 ， 具 体 的 销 售 曲 线 为t02. 0e1000000，求一年内的销售总
8、额解：12002.0de1000000tut12002.0e02.01000000t13560000（元）例 2 若已知某企业的边际成本函数为q2. 0e2，且固定成本900c，求产量q由 100 增加至 200 时总成本增加多少解法一 ：2001002 . 0de2qCq2001002. 0e2.02q)ee(102040解法二 ：qqC2. 0e2)(,qqCqde2)(2.012.0e10cq已知9010)0(1cC，得801c，即80e10)(2. 0qqC)100()200(CCC)ee(1020403.3.1 微分方程的基本概念设总成本函数为)(qC，已知条件为qqC2 .0e2)
9、(且90)0(C，求)(qC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 / 8 )(qC是未知函数，将此问题用数学语言表成: 边际成本是q2.0e2，即qqC2. 0e2)(固定成本是90，即90)0(C这就是一个完整的数学模型，它由一个方程和一个)0(C90 的等式组成在这个方程中要求的是一个未知函数，另外在方程中还出现了未知函数的导数（或微分）这样就得到第一个概念：定义 3.1含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程 看下面两个方程:xxyyesin,53)(yyxy这是两个微分方程第一个方程中出现未知函数的一阶
10、导数，第二个方程中出现了未知函数的一阶导数和二阶导数这样就得到第二个概念：微分方程中出现未知函数的导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶上面所列第一个方程是一阶微分方程，第二个方程是二阶微分方程再看最初的问题90)0(e2)(2 .0CqCq这个问题的答案有:cqCq2.0e10)(,80e10)(2.0qqC)(qC代入方程qqC2 .0e2)(中使之成为恒等式这样就得到第三个概念：如果函数满足一个微分方程，即把这个函数代入微分方程后，使这个微分方程成为恒等式，则称此函数是该微分方程的解微 分 方 程 的 解 有 很 多 ，cqCq2. 0e10)(和qqC2. 0e10)(80 都 是
11、微 分 方 程qqC2 .0e2)(的解，它可以分为两种：不带任意常数的解称为特解 带有任意常数（且常数的个数等于微分方程的阶数）的解称为通解 cqCq2. 0e10)(是微分方程qqC2 .0e2)(的通解，80e10)(2. 0qqC是微分方程qqC2 .0e2)(满足90)0(C的特解已知自变量取某值时，未知函数（或导数）取特定的值，这样的条件称为初始条件 ，含有初始条件的微分方程称为初值问题 归纳起来可知qqC2.0e2)(是一阶微分方程；90)0(C是一个初始条件；90)0(e2)(2.0CqCq是一个初值问题；cqCq2. 0e10)(是qqC2.0e2)(的通解；80e10)(2
12、 .0qqC是qqC2. 0e2)(的特解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 / 8 未知函数及其各阶导数（或微分）都是一次的微分方程，称为线性微分方程例：已知某种产品的需求弹性恒为1，且当价格为2 时需求量为300，求需求函数解：设需求函数为)( pq，应满足300)2(1ddqpqqp这就是整个问题的数学模型，是一个初值问题如何求)(pq将是下面要讲的内容3.3.2 一阶微分方程什么是可分离变量的微分方程，如果一般形式),(yxfy的微分方程可以变形为)()(21ygxgy，这种形式的微分方程叫做可分离变量的微
13、分方程在这种情况下，可分离变量为xxgygyd)()(d12, 两边分别求不定积分，左边对y求，右边对x求：xxgygyd)()(d12如果)(2yG，)(1xG分别是)(12yg和)(1xg的原函数得)()(d22yGygy,)(d)(11xGxxg, 即有cxGyG)()(12上式就是可分离变量的微分方程)()(21ygxgy的通解，其中c是任意常数例 1300)2(1ddqpqqp解：分离变量得ppqqdd两边积分ppqqdd得cpqlnlnpccp11lnlnln即pcq1将300)2(q代入上式得23001c，即6001c由此得pq600例 2求22xyyy的通解精选学习资料 - -
14、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 / 8 解：)1(dd222xyxyyxy分离变量为xxyyd)1(d2两边积分xxyyd)1(d2，得cxy2)1(12方程22xyyy的通解是cxy2)1 (12，其中c是任意常数3.3.3 一阶线性微分方程方程)()(xQyxPy称为 一阶线性微分方程下面导出求解公式我们希望将)()(xQyxPy的左端变为某个函数的导数，这样只需对右端求积分就可简单求解，但一般做不到，需要在方程两端乘一个函数)(xg，得)()()()(xgxQyxPyxg, 适当选择)(xg使)()(yxPyxg成为某个函数
15、的导数yxPxgyxgyxPyxg)()()()()()(yxg根据乘积的导数公式，应该有)()()(xPxgxg, 由上式解出xxPxgd)(e)(, 称xxPd)(e为积分因子，将其乘到方程两端，等式左端xxPxxPxxPyxPyyxPyd)(d)(d)(e)(e)(e)e(ed)(d)(xxPxxPyy)e(d)(xxPy等于右端xxPxxPxQyd)(d)(e)()e(两端积分得cxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(, 整理得de)(ed)(d)(cxxQyxxPxxP得到一阶线性微分方程)()(xQyxPy的通解公式de)(ed)(d)(cxxQyxxPxxP, 其中c是任意常
16、数注意：必须将一阶线性微分方程写成标准形式)()(xQyxPy, 才能用此公式求解例 1 求解1)0(022yxxyy解：先求通解，将方程化为xxyy22, 得到xxQxxP2)(,2)(，由求解公式得de)(ed)(d)(cxxQyxxPxxPde2ed2d2cxxxxxxde2e22cxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 / 8 ee22cxx2e1xc将1)0(y代入上式得0e11c即2c，求解得2e21xy例 2求52xyyx的通解解：将方程化为42xyxy得到4)(,2)(xxQxxP，由求解公式得de)(ed)(d)(cxxQyxxPxxPdeed24d2cxxxxxxd242cxxxx332cxx253cxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页