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1、1 / 16 第一单元行列式的定义一、学习目标通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的二、内容讲解行列式行列式的概念什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。即2153称为二阶行列式；有几个概念要清楚，即上式中， 横向称行 ，共有两行； 竖向称列 ，共有两列；一般用ija表示第i行第j列的元素，如上例中的元素311a，512a，121a，222a再看一个算式075423011称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为 1，2，-7 ；元素423a，531a又如0100321
2、403011320，是一个四阶行列式而11a的代数余子式 为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页2 / 16 07421111111MA代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1 的指数是该元素的行数加列数43011322332MA问题思考：元素ija的代数余子式ijA是如何定义的？代数余子式ijA由符号因子ji) 1(与元素ija的余子式ijM构成，即ijjiijMA1三、例题讲解例题 1：计算三阶行列式542303241D分析： 按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和
3、，二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果解：5233145430112111D420312317212294121四、课堂练习计算行列式hgfedcbaD000000004利用n阶行列式的定义选择答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页3 / 16 将行列式中的字母作为数字对待，利用递归定义计算注意在该行列式的第一行中，有两个零元素，因此展开式中对应的两项不用写出来了4D=11) 1(ahfedc0000+41)1(b0000gfedc五、课后作业1. 求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式23A（1）2108
4、34021（2）34051220101413212计算下列行列式（1）622141531（2）60120531242001013设00015413010212014D（1）由定义计算4D；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页4 / 16 （2）计算2424232322222121AaAaAaAa，即按第二行展开；（3）计算3434333332323131AaAaAaAa，即按第三行展开；（4）按第四行展开1（1）1021)1(32（2）305120121)1(322（1）20 （2）24 3（1）1 （2）1 （3）
5、1 （4）1 第二单元行列式的性质一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会利用这些性质计算行列式的值二、内容讲解行列式的性质用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的，利用行列式的性质能够使计算变的比较容易了行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质在讲这些性质前，先给出一个概念：把行列式 D 中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D 的转置行列式，记为TD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页5 / 16 如987654321D,963852741TD1行列式的行、列交换，其值不变如264536543这
6、条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的2行列式的两行交换，其值变号如2436565433若行列式的某一行有公因子，则可提出如dcbadcba333注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘4行列式对行的倍加运算，其值不变如倍加运算就是把一行的常数倍加到另一行上211350513注意：符号“ +2 ”放在等号上面，表示行变换，放在等号下面表示列变换问题 1：将 n阶行列式的最后一行轮换到第一行，这两个行列式的值有什么关系？ 答案设 n 阶行列式nD，若将nD的最后一行轮换到第一行，得另一个n 阶行列式nC，那么这两个行列式的值的关系为：nC=nnD1) 1(问题 2：
7、如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何提取？ 答案按顺序将公因子提出 .三、例题讲解 +2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页6 / 16 例 1计算行列式dcba675081004000. 分析： 利用性质 6，行列式可以按任一行（列）展开本题按第一行逐步展开，计算出结果解：dcba675081004000=dcba670800=dcab60=abcd我们将行列式中由左上角至右下角的对角线，称为主对角线如例1 中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式 由例 1 的计算过程，可得
8、这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式 ，且上三角行列式也等于主对角线元素之积今后，上、下三角行列式统称为三角行列式 例 2 计算行列式4977864267984321分析： 原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质 5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值解：49778642679843214977000067984321= 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页7 / 16 例 3 计算行列式221113201134
9、2211分析： 利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为 0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果解：221113201134221124111420103420111011142010342011=111134211)1(4331101312104=1121)1(41212)21(4通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零三、课堂练习练习 1 若daaaaaaaaa333231232221131211，求行列式232221131211313231222333aaaaaaaaa利用行列式的性质3，将第一行的公因
10、子3、第二行的公因子（ -1）、第三行的公因子 2 提出?+? +精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页8 / 16 利用行列式的性质3 和性质 2，将所要计算的行列式化为已知的行列式，再求其值练习 2 计算行列式540554129973219882310391由性质 4，若行列式中某列的元素均为两项之和，则可将其拆写成两个行列式之和在着手具体计算前，先观察一下此行列式有否特点？有，其第三列的数字较大，但又都分别接近100、200、300 和 400，故将第三列的元素分别写成两项之和， 再利用行列式的性质4 将其写成两
11、个行列式之和注意，将第三列的元素分别写成两项之和时，还要考虑到结论“行列式中两列元素相同（或成比例），则该行列式的值为 0”的利用五、课后作业1计算下列行列式（1）075701510（2）253132121（3）wwwwww22111 (0w) （4）38790100874243212证明（1）0cbbaacbaaccbaccbba（2）32211122babbaababa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页9 / 16 1（1）0 （2） -2 （3）22) 1(ww（4）0 2. （1）提示：利用性质5，将第一行
12、化成零行（2）提示：利用性质5，将第三行的元素化成“ 0 0 1”，再按第三行展开，并推出等号右边结果第三单元行列式的计算一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的计算方法二、内容讲解行列式的计算行列式 =按任何一行（列）展开下面用具体例子说明dcba=bcad1156) 1(5232153一个具体的行列式就是代表具体的一个数再看一个三阶行列式075423011可以按任何一行（列）展开按第一行展开 =752300543107421=02028=8 按第三列展开 =231107511475230=0)57(40=8 注意： 1行列式计算一般按零元素较多的行（列）展开精选学习资料 - - - -
13、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页10 / 16 2代数余子式的正负号是有规律的，一正一负相间隔问题：试证2222222211110000dcbadcbadcbadcdcbaba答案左边= 222211122222111100) 1(00)1(dcbababcdcbadcda222211)1(dcbaad222211) 1(dcbacb22222222)(dcbadcbadcbacbad=右边三、例题讲解例计算行列式0214200131000211分析： 由性质 6 可知，行列式可以按任何一行（列）展开来求值因为第二、三行，第四列的零元素都较多
14、，所以可选择其一展开，再进一步将其展成二阶行列式，并计算结果解：按第三行展开0214200131000211=214100211)1(2021315021)1(14313精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页11 / 16 = 1411) 1() 1(22121)1(33232=10)41 (2)22(3四、课堂练习练习 1 计算行列式dcba100110011001根据定义，按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和因为行列式第一行有较多的零元素，所以可采用“降阶法”，即先按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和，然
15、后再计算两个三阶行列式降阶，最后求出结果dcba100110011001=dcdcba1010011101101练习 2 计算行列式24524288251631220223为了避免分数运算，先作变换“第一行加上第二行的2 倍，即+ 2；第三行加上第二行的-2 倍，即 ?+(-2) ；第四行加上第二行的-2 倍，即 ?+(-2) ”该行列式没有明显特点，采用哪种方法计算都可以，这里用“化三角行列式”的方法进行计算注意尽量避免分数运算215242882516312202231110042011631212401 + 2 ?+ (-2) ?+ (-2)精选学习资料 - - - - - - - - -
16、 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页12 / 16 五、课后作业1计算下列行列式：（1）881441221（2）4222232222222221（3）4321651065311021（4）00312007630050131135362432142计算n阶行列式xaaaxaaax1（1）48 （2）4 （3）-3 （4）-340 2. ) 1()(1xanaxn第四单元克拉默法则一、学习目标克拉默法则是行列式在解线性方程组中的一个应用，通过本节课的学习，要知道克拉默法则求线性方程组解的条件，了解克拉默法则的结论二、内容讲解克拉默法则设n个未知数的线性方程组为精选学
17、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页13 / 16 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（1）记行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211称为方程组（ 1）的系数行列式将D中第j列的元素njjja,a,a21分别换成常数nb,b,b21而得到的行列式记作jD克拉默法则如果线性方程组（ 1）的系数行列式0D，那么它有惟一解DDxDDxDDxnn,2211（2）证将（2）式分别代入方程组（ 1）的第i个方程的左端的nxxx,21中，有DDa
18、DDaDDaninii2211（3）将（3）中的jD按第j列展开，再注意到jD中第j列元素的代数余子式和D中第j列元素的代数余子式ijA是相同的，因此有),2, 1(2211njAbAbAbDnjnjjj（4）把（4）代入（ 3），有DDaDDaDDaninii22111121211111nniiiAbAbAbAbaD222221212nniiiAbAbAbAba+nnnininninAbAbAbAba2211把小括弧打开重新组合得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页14 / 16 inninnininininii
19、iiininiininiibAaAaAabAaAaAabAaAaAabAaAaAabD2211221122222112112211111因由性质 6和性质 7 kiDkiAaAaAakninkiki02211故上式等于ib，即ininiibDDaDDaDDa2211下面再证明方程组（ 1）的解是惟一的设nncxcxcx,2211为方程组（ 1）的任意一组解于是nnnnnnnnnnbcacacabcacacabcacaca22112222212111212111（5）用jA1，jA2，jnA分别乘以（ 5）式的第一、第二、第n个等式，再把 n个等式两边相加，得11221111)(cAaAaAan
20、jnjjjnjnjjjjjcAaAaAa)(2211nnjnnjnjncAaAaAa)(2211njnjjAbAbAb2211根据性质 6和性质 7，上式即为),2 , 1(njDcDjj因为0D，所以),2, 1(njDDcjj克拉默法则有以下两个推论：推论 1如果齐次线性方程组的系数行列式0D， 那么它只有零解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页15 / 16 推论 2齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式0D问题：对任一线性方程组都可用克拉默法则求解吗？答案 不对当线性方程组中的未知量个数与方程个数不一
21、样；或未知量个数与方程个数相同，但其系数行列式等于零时，不能使用克拉默法则三、例题讲解例 利用克拉默法则解下列方程组7526432121xxxx分析： 这是一个两个变量、两个方程的方程组，它满足了克拉默法则一个条件克拉默法则的另一个条件是要求系数行列式的值不等于零因此，先求出方程组的系数行列式的值，若它的值不等于零，说明该方程组有惟一解，然后求常数项替代后的行列式的值，再用克拉默法则给出的公式求出解解：因为系数行列式24535243D07815且257461D，972632D，所以7211DDx，7922DDx四、课堂练习k取什么值时，下列方程组有唯一解？有唯一解时求出解02113213213
22、21xxxxkxxkxxx对行列式作变换“第二行加上第一行的1 倍，即 + ；第三行加上第一行的-1 倍，即 ?+( -1)”这是三个未知量三个方程的线性方程组，由克拉默法则知，当系数行列式D 0 时，方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页16 / 16 组有唯一解所以，先求系数行列式的值2111111kkDkkkk22011011五、课后作业用克莱姆法则解下列方程组1.1214223232121xxxxxxx2422222837432143214314321xxxxxxxxxxxxxxx131x，42x，233x，2. 21x，3352x，2103x，204x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页