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1、第三节二项式定理,最新考纲，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.考向预测考情分析：二项式定理的正用和逆用、二项式系数的性质与各项的和，尤其是二项展开 式的通项公式的应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题.学科素养：通过二项式定理的应用考查数学运算的核心素养.积累必备知识基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1.二项式定理二项式定理(a+b)n=_(nN*)二项展开式 的通项公式A+i ，它表示第项二项式系数二项展开式中各项的系数为或，c，邛2 .二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即增减性二项式系数里当Y(N*)时，是递增的当r(N*
2、)时，是递减的最大值n当为偶数时，中间的一项自取得最大值当为奇数时，中间的两项和取得最大值各二项式 系数和或+盘+鬣+ + =二、必明2个常用结论1 .(+的展开式的三个重要特征(1)项数：项数为+L(2)各项次数：各项的次数都等于二项式的基指数小即。与人的指数和为机(3)顺序：字母。按降幕排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到0；字母b按升幕 排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到机2 .各二项式系数的和(1)(。+人)的展开式的各个二项式系数和等于2，即C歼禺+鬣+丑/ = 2.m+)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2门,即或+量+鬣/=盘+或2门,即
3、或+量+鬣/=盘+或+ 党 + - = 2-1.三、必练4类基础题(一)判断正误(1)=5,展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，八=量(%3)3(3x2)2= 90x6, 22274=6*5(%3)2 (3/)3 = 27 OxT.解析：(2)设展开式中第左+1项的系数最大，210 y-4r那么由 7；+i = M(X3)5-r (3x2)r=3rc 得/3厂。！之3-511,.7 t2, a b2n那么2+?=t+：(后2),设 y=2+R a b t a b那么 y=t+工(t22), y，=lg t亡当tN2时，y0,所以y = t+：在2, +)上是增函数，所以当t=2时，
4、y加 = 2+= V乙f,即的最小值为 2 a b2答案：|1 .判断以下说法是否正确（请在括号中打“ J ”或 X ” ）.（l）g厂7/是（。+）的展开式中的第厂项.（）（2）（a+A）的展开式中某一项的二项式系数与m。无关.（）（3）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.（）（4）3+。）某项的系数是该项中非字母因数局部，包括符号等，与该项的二项式系数不一 定相同.（）（二）教材改编2 .选修 2 3P41B 组 T1改编假设（X 1）4 =0 + 01+2/ + 43/ + 4/，那么。0 + 42 + 4 的值 为3 .选修23P40A组T8改编（y+点的展开式中常数项为,
5、是第 项.（三）易错易混4 .（混淆“二项式条数”与“京教”）在二项式（x2：）n的展开式中，所有二项式系数的 和是32,那么展开式中各项系数的和为.5 .（配床不当致珠）（x+l）5（x2）的展开式中好的系数为.（四）走进高考6 .2021 浙江卷多项式（无一1 + （1+ 1）4=/ + 4a3 + 4212 + 431+44,那么 0=, 2 + 3 + 44 =.提升关键能力考点突破掌握类题通法考点一 二项展开式中的项基础性、应用性角度1求解形如的展开式中与特定项相关的量例12022.四川成都模拟假设（-的展开式中含有常数项，那么正整数的最小 值是（）A. 3 B. 4 C. 5 D.
6、 6（2）2022.云南大理联考二项式（2元一；）（几WN*）的展开式中第2项与第3项的二项式 Vx系数之比是2： 5,那么V的系数为（）A. 14 B. -14 C. 240 D. -240听课笔记：反思感悟 求形如m+（N*）的展开式中与特定项相关的量（常数项、参数值、特定 项等）的步骤（1）利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr+i = Canrbr9常把字母和系数别离开 来（注意符号不要出错）；（2）根据题目中的相关条件（如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数）先列出相应 方程（组）或不等式（组），解出r；（3）把代入通项公式中，即可求出7；+i.有时还需要先求，再求忆才能求出
7、7；+或者 其他量.角度2求解形如(q+3，c+)(2, WN*)的展开式中与特定项相关的量,，2例2 (l)(x+匕)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为() XA. 5 B. 10 C. 15 D. 20(2)2022扬州市适应性练习(2x)(l +2x)5的展开式中含炉项的系数为()A. 70 B. 30 C. -150 D. 90听课笔记：反思感悟 求形如(。+份?(c+c/)(m，N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤根据二项式定理把(+)，与(c+d)分别展开，并写出其通项公式；根据特定项的次数，分析特定项可由m+。)，与化+的展开式中的哪些项相乘得到;把相乘后的项合并即可得到所
8、求特定项或相关量.角度3求解形如(o+0+c)(/PN*)的展开式中与特定项相关的量例32022四川成都月考(x+当一 1尸的展开式中的常数项为()A. 11 B. -11 C. 8 D. -72022山东五校调研在(f2x3尸的展开式中，含f的项的系数是.听课笔记：反思感悟 求形如m+b+c)伽N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤(1)把三项的和看成是(+b)与c两项的和；(2)根据二项式定理写出(+3 + c的展开式的通项；(3)对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由3+。)的展开式中的哪些项和c，相乘得 到的；(4)把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.【对点训练】.一)5的展开
9、式中X的系数为() XA. -10 B. 10 C. -40 D. 40. (x-)(x2 + 2)5展开式中好项的系数是() XA.120 B. 80 C. 40 D. 20.在(1孤+会)8展开式中，含/项的系数为.(结果用数值表示) X考点二 二项展开式中的系数和基础性例 4 (1)2022眉山市模拟(2+x)202i =Qo + ai(x+ l) + 2(x+ 1)2+ + 202i(x+1)2021,那么1-4/2021 =()A. 24()42+1 B. 22021 1C. 22021 D, 22021 + 1（2）假设（x+2 + 2）9 = Qo + 1（%+ 1） + 2（x
10、+ 1）2+c，9（x+ 1）% 且（俏 + 他+。8）2 （1+3HF。9）2=3,那么实数m的值为.听课笔记：一题多变(变条件)假设例 4(2)变为“(x+2 + 2)9 = Qo + i(X1) + 2(九-1)2H卜49(%1)9”，其它不变，那么实数2的值为.反思感悟赋值法求系数和的应用技巧(1)“赋值法对形如(4%+匕)，(ax2+/?x+cna, b, cR)的式子求其展开式的各项系数 之和，常用赋值法，只需令x=l即可；对形如(如+力)(。，hR)的式子求其展开式各项系 数之和，只需令x=y=l即可.(2)假设“)= ()+ 41+冰2_|那么.x)展开式中各项系数之和为/U)
11、,偶次项系数之和为 qo+z+zH = *1)+*-1),奇次项系数之和为 qi+s+gsH = f(i)f(T).令x=0,可得 22o=/O).【对点训练】(1 21)221=4()+ /+Q2A2 14202山。21 ,以下命题中，不正确的选项是()A.展开式中所有项的二项式系数的和为22。21q2021 1 1B.展开式中所有奇次项系数的和为土产&2021_1C.展开式中所有偶次项系数的和为支广D.生+岩+粤+需=1 2222322021考点三二项式系数的最值问题综合性角度1二项式系数的最值问题例5 (1)2022南昌模拟设m为正整数，(工十了产展开式的二项式系数的最大值为a, (x+
12、y产+1展开式的二项式系数的最大值为b.假设13a=7b,那么2=()A. 5 B. 6 C. 7 D. 8(2)2022陕西咸阳质检二项式(伍+苴)的展开式中只有第11项的二项式系数最大，那么 Vx展开式中X的指数为整数的项的个数为()A. 3 B. 5 C. 6 D. 7听课笔记：反思感悟 二项式系数最大项确实定方法：当为偶数时，展开式中第:+1项的二项式n系数最大，最大值为口；当为奇数时，展开式中第3项和第雪项的二项式系数最大，最 2n-1n+1大值为C工或c.角度2项的系数的最值问题例6 (1)假设(R+f 的展开式中第6项系数最大，那么不含x的项为() XA. 210 B. 10 C
13、. 462 D. 252(2)(1+2x)7展开式中系数最大项是. 听课笔记：反思感悟二项展开式系数最大项的求法(a + bx)n (a, b ER)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2 ,A.1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得.从而解出k来，即得.【对点训练】2(x&+3x2)的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.微专题38二项式定理与一些知识的交汇 交汇创新例设段)是(炉+抒展开式中的中间项，假设於)w处在区间修，网上恒成立，那么 /XL 4J实数m的取值范围是.解
14、析：(/ + ；)6的展开式中的中间项为第四项，即段)=底(X2)3(；)3=沙，加亦如在 NXNX Z区间y，上恒成立，加2|式2在当，鱼上恒成立，加2(|r2)max = 5,，实数机的取 值范围是5, +).答案：5, +)名师点评1 .本例为二项式定理与不等式恒成立问题的交汇，先利用二项式定理求出./U),从而把 问题转化为加恒大于函数的最大值.2 .二项式定理还常与其他知识交汇命题,如与数列交汇、与函数交汇、与定积分交汇等.因 此在一些题目中不仅仅考查二项式定理，还可能考查其他知识，其解题的关键点是它们的交 汇点，注意它们的联系.变式训练1。x3dx=n,那么(x + y+l)n展开
15、式中x2y的系数为.变式训练2假设二项式(3 x)n(nN*)中所有项的系数之和为小所有项的系数的绝对值 之和为b,那么P + (的最小值为.a b第三节二项式定理积累必备知识1 . C雅时+*。一5+ g。一方+r+1n-l n+12 Qm = Qn-mc 2 Q 2 jti22三、1 .答案：(1) X (2) V (3) X (4) V2 .解析：令 x=l,那么 o+ai+02+43+04=。，令 X= - 1 , 那么(7() 。1+他一。3 +。4= 16,两式相加得：40+02+44=8.答案：83 .解析：二项展开式的通项为G+尸瑞(五)口(壶)(|)令4一r=0,解得：=4,
16、所以八=(；)4c户系 2o答案：V 5O4 .解析：因为所有二项式系数的和为32,所以2=32,解得： =5,在(x2-) 5+, X令X=l,可得展开式中各项系数的和为(-1) 5= L答案：一15 .解析：因为(x+1) 5 (x2) = (1 + Cgx+ CgX2+ C5X3+C5X4H-%5) (x2),所以展 开式中/的系数为玛一2釐=15.答案：一156 .解析：(X1) 3的展开式的通项为77+i=C53r ( 1) 4, (x+1) 4的展开式的通项 为+1=C，那么 0%3 =己%3. (一 )。+ 禺31=5尤3,所以 0=5 ,同理，政%2 =玛12( 1) + 第/
17、12= 3%2 + 6x2 = 3x2, ”3%=C枭 1 ( 1 +C江”3 = 3x+4x=7x, 4 = C1x( 1 尸+第/产 =0,所以 42 = 3, 4/3 = 7, 6/4 = 0,所以 2 +。3 +。4= 10.答案：5 10提升关键能力考点一1n-5r例1解析：(人一m)n的展开式的通项T+i = C . (l)r, r=0, 1, 2, 3, n.令y=0,可得n=5i,因为展开式中含有常数项，所以n = 5r能成立，那么正整数n的最小 值为5.(2)(2x一哥展开式的式项为Tr+i = CQ2x)r(一盍),因为展开式中第2项与第3项的二 r 3项式系数之比是2 ：
18、 5,所以G :鬣=2 : 5,解得n = 6.所以Tr+i = C126r( l)r x6-r, r=0,1, 2,6.令6孑=3,得r=2,所以x3的系数为髭26-2(- 1)2=24。答案：C (2)Cyr2例2解析：(1)要求(x+匕)(x+y) 5的展开式中V)户的系数，只要分别求出(x+y) X5的展开式中凸3和均的系数再相加即可，由二项式定理可得(x+y) 5的展开式中的 系数为Cg = 10, x4的系数为C：=5,故(x+) (x+y) $的展开式中的系数为io+5 = 15.(2)二项式(l+2x) 5的展开式的通项+=禺 ),所以(2-X)(1+2%) 5的展开式中含光2
19、项的系数为2X22X釐+ (-1) X2X玛= 70.答案：(1) C (2) A例3解析：(1)将x+白看成一个整体，展开得到通项公式为4+产禺(x+4)4-r(- VA1) r, (x+)4一厂的展开式为 7kH = C2rP-f =c?r/-f, (3) 21/=12/,那么含(的项的系数是12.答案：(1) B (2) 12对点训练0_r31 .解析：右一)5 展开式的通项为+ = (1厂25-丁墨 xr-s-X2 = (-iy 25-Cg X5 r5, X令日一5=1,得r=4,故展开式中x的系数为(一l)4x2Cg=10.答案：B.解析：但+2)5的展开式的通项是T+产禺(x2)5
20、一.2=2=c次。巴 由X工中的x项 X与(X2 + 2)5中的X，项,一1项与X项相乘均可得X5项，所求系数为23 Cl-22Cl =40.答案：C2 .解析：Q一五+击户=+ (1 )(展开式中，通项公式：T1+1 = C(W)8-r( 1 7x)r= Cgx10r-80(l Vx)r, X依题意，只需考虑r=8时，即只需(1人)8中x2项的系数，k其展开式中通项 Ak+1 = C 18-k.(Vx)k=C ,(-l)k -X2.令)=2,解得k=4.(_ 1)4=70.答案:70考点二例 4 解析：(1 )令 X= 1,得 40=1,令 X = 0,得0 + 0+2H卜2021=2202
21、1,所以 a +2+ , +2021 =22021 1.(2)令 x=0,得至U。()+1 +。2+。9= (2+m) 9；令2,得至(J ao。1+。2。3 ag=m所以(2+机)9m9=39,即及+2根=3,解得m=1或一3.答案：(1) B (2) 1 或一3一题多变角星析：令x=2,得到o+qi+2+9= (4+m) 9,令x=0,得至U俏一+。2Q3 + 。9= (771+2) 9,所以(4+m)9 (zn+2) 9=3, 即m2+6m+5 = 0,解得m=1 或一5.答案：一1或一5对点训练解析：A.由二项式知:。202? +做21 +/嗡豺=(1 + 1)2=22021,正确；当
22、 x= 1 时，有 ao-a +2HH202i = 1 1,当 x= 1 1 有 a()a +。2-。3-1HQ2020。2021=32%-1 I Q2021B.由上，可得。1+。3 +。5-|H2021 = - ： ,错误；q2021_iC.由上，可得o+z+aiHH2()20=-,正确；乙D.由二项式通项知：7；+i = C%21( - 2x)=(-2)鼠21f，那么 0 = (2)玛021，。2=(-2)2 - C机，92尸(一2)2。21 嚼豺，所以自+| + |+箫=_。202； +繇2】一巡2】+十 c髭交-c=(i-i)2021 -c%21=-i,正确.答案：B考点三例 5 解析
23、：(1)由题意，得 a=C以，b=C%+贝U13C% = 7C%+i，.13-(2m)! 7-(2m+l)!m! m! m! (m+1)!上孚=13,解得m=6,经检验m=6为原方程的解.(2)根据(V5x+2)n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n=20, (gx+苴)11 VxV%的展开式的通项为Tr+1 = C%(倔)2。一母)r=(2。-。26/。-?,要使*的指数是整数， 需r是3的倍数，r=0, 3, 6, 9, 12, 15, 18,，x的指数为整数的项共有7项.答案：(1)3 (2)D例6解析：(1)第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，的值可能是9, 10, 11.
24、设常数项为。+1 = &13(一%-2-=(：衣3-51 贝I13一5=。，其中=9, 10, 11, YN, ：.n = 10, r=6,故不含的项为T7=Cfo = 21O.解析：(2)设第+1项系数最大，那么有C522 C尸2-1,C52r C5+12r+1,X ?r x ?r-lr! (7-r)!- (r- 1)! (7 - r + 1) !7 I7； X，r ； X 7F4-1r! (7-r)!- (r + 1) ! (7 - r - 1) !又 ，r=5.系数最大项为TC672x5.答案：(1)A (2)672_?对点训练解析：令x=l,那么展开式中各项系数和为(1+3)=22.又展开式中二项式系数和为2，22rl.于=2=32, = 5.