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1、第45讲 二项式定理1.二项式定理（a+b）n=Can+C an-b+C.f 2 +.+*+.+C；b.2.二项展开式的特点（1）这个公式叫做二项式定理.（2）展开式：等号右边的多项式叫做伍+份”的二项展开式，展开式中一共有 +1项.（3）二项式系数：各项的系数C（左=0,1,2w）叫做二项式系数.（4）各项的次数和都等于二项式的塞指数.3.二项展开式的通项公式（。+6）展开式的第4+1项叫做二项展开式的通项，记作4+1=C 7 T.4.二项式定理中，项的系数与二项式系数的区别二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C,C；，它只与各项的项数有关,而与a,b 的值无关，而项的系
2、数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a,b 的值有关.题型一：二项式定理1.（2021 全国高二课时练习）二项 式 卜-也）的展开式中为常数项的是（）A.第 3 项 B.第 4 项 C.第 5 项 D.第 6 项2.（2021 全国高二课时练习）C:2+C：2T+C2“+C；等 于（）A.2 B.2-1 C.3 D.13.（2021 全国高二课时练习）若+s的展开式有16项，则自然数的值为（）A.9 B.10 C.11 D.164.（2021 包头市第六中学高二期中（理）若（1 +求）*=4+“研+饵？+且q+&+.+&=255,则实数m的 值 为（）A.1 或-3
3、 B.-1 C.-3 D.15.（2021 全 国高二课时练习）设i 为虚数单位，则（l+i）6展开式中的第三 项 为（）A.-2 0 i B.15i C.20 D.-1 56.（2021 陕西金台 高二期末（理）（x-2 y）6展开式中的第4 项 为（）A.60 x2 B.240 x4y2 C.160 x3/D.-160%3/V+-L 丫的展开式中的常数项为（）2xJ7.（2021 全国高三专题 练 习（理）二项式18.（2 0 2 1 重庆市第六十六中学校高二月考）二 项 式 的 展 开 式 中，常数项为（）A.-4 B.4 C.-6 1）.69.（2 0 2 1 全国高二课时练习）已知（
4、4-：）的展开式中各项的二项式系数的和为5 1 2,则这个展开式中的常数项 为（）A.-3 4 B.-6 7 2 C.8 4 D.6 7 21 0.（2 0 2 1 广东荔湾西关外国语学校高三月考）（办-：展开式中的常数项为一1 6 0,则=（）A.-1 B.1 C.1 I）.21 1.（2 0 2 1 赣榆智贤中学）二项式（机 的 展 开 式 中 常 数 项 为 6 0,则机=（）A.0 B.6 C.2 D.31 2.（2 0 2 1 全国高二课时练习）（1+X 4）1+|6的展开式的常数项为（）A.6 B.1 0 C.1 5 D.1 61 3.（2 0 2 1 全国高二课时练习）在的展开式
5、中，项的系数为（）A.-5 0 B.-3 0 C.3 0 1）.5 0题型二：二项式系数1.（2 0 2 1 全国高二课时练习）（x-L）的展开式中含/项的二项式系数为（）A.-1 0 B.1 0 C.-5 I）.52.（2 0 2 1 全国高二课时练习）（：+2 x j 的展开式中常数项是（）A.6 0 B.1 2 0 C.1 6 0 D.9 6 03.（2 0 2 1 全国高二课时练习）在（l +3 x）”的展开式中，第三项的二项式系数为6,则第四项的系数为（）A.4 B.2 7 C.3 6 D.1 0 84.（2 0 2 1 江苏高三月考）若 二 项 式 的 展 开 式 中 所 有 项
6、的 系 数 和 为 ；，则展开式中二项式系数最大的项（2 ）6 4为（）A.-x3 B.与 X4 C.2 0 x3 D.1 5 x42 45.（2 0 2 1 江苏南京 高二期末）（e N*）展开式中所有项的系数和为2 4 3,展开式中二项式系数最大值 为（）A.6B.1 0C.1 5D.2 026.（2 0 2 1 辽宁丹东高三二模）在（x-l）”的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则=（）A.5 B.6 C.7 D.87.（2 0 2 1 全国）已知（1+2 x）2 的展开式中奇次项系数之和等于3 6 4,那么展开式中二项式系数最大的项是（）A.第 3 项 B.第 4项C.第 5项
7、 D.第 6 项8.（2 0 2 1 全国高二课时练习）已知（x-l）的展开式中奇数项的二项式系数之和是6 4,则它的展开式的中间项为（）A.-3 5/B.3 5/C.-3 5 1 和 3 5 x?D.-3 5/和3 5/9.（2 0 2 1 吴江汾湖高级中学）己知（1 +x）”的展开式中第4 项与第8 项的二项式系数相等，则所有项的二项式系数 和 为（）A.2 2 B.2 C.2 1）.291 0.（2 0 2 1 江苏如皋高三模拟预测）（6-的展开式的二项式系数之和为6 4,则展开式中的常数项为（）则展开式中，的系数题型三：项的系数1.（2 0 2 1 ,全国高二课时练习）设（2 x）6=
8、0 +。（1 +、）+。2（1 +工）+牝（1 +%）”则+。+。3 +。4 +。5 +。6 等 于（）A.4 B.-7 1 C.6 4 D.1 9 92.（2 0 2 1 湖北襄城 襄阳五中高三月考）（x-3/）5 的展开式中所有的项的系数之和为（）A.-3 2 B.-1 6 C.1 0 D.6 43.（2 0 2 1 全国高二单元测试）1-。了的展开式中，/项 的 系 数 是（）A.5 6 B.-5 6 C.2 8 D.2 84.（2 0 2 1 全国高二课时练习）二项式12 j的展开式中含一项的系数为（）A.1 6 0 B.-1 6 0 C.8 0 D.-8 0 05.（2 0 2 1
9、汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）（1 +工+/）（工 一 2）5 的展开式中/的系数为（）A.4 0 B.8 0 C.-4 0 D.-8 06.（2 0 2 1 金华市方格外国语学校高二月考）若（1 一 2 x）2 =甸+4/+4 2 X 2 +4021/21贝 九 4+%+%+/21=（）A.2B.-1C.2D.-237.（2 0 2 1 福建省宁德市教师进修学院高二期末）已知（1 +2 力7 =%+%+。2%2 +。6 工 6+%仁，则旬 +?-1&%=（）A.1 B.-1 C.2 D.-28.（2 0 2 1 江苏鼓楼 南京市第二十九中学高二期中）设（17户=%+卬（1 +可+%（1
10、+）2+%9（1 +9,q（i =0,l,2,2 9）是常数，贝 l J q+生+旬 的 值 是（）A.1-22 9 B.22 9-1 C.1 D.09.（2 0 2 1 陕西渭滨（理）（1 +x），+（2 +x）3+（l +2 x）z =4+。4 4，则/+可+生+/+%=（）A.4 9 B.5 2 C.5 6 D.5 91 0.（2 0 2 1 全国高二课时练习）若对于任意的实数x,有/=%+%（厂 2）+出（-2）2+%（尸 2）3，则出的值为（）A.3 B.6 C.9 D.1 24第 45讲二项式定理1.二项式定理（a+b）n=c y +C a-b+Can2b2+C：a4bli+C；b
11、 .2.二项展开式的特点（1）这个公式叫做二项式定理.（2）展开式：等号右边的多项式叫做（。+6）的二项展开式，展开式中一共有 +1项.（3）二项式系数：各项的系数C（左=0,1,2w）叫做二项式系数.（4）各项的次数和都等于二项式的塞指数.3.二项展开式的通项公式（。+6）展开式的第4+1项叫做二项展开式的通项，记作4+1=C 7 T.4.二项式定理中，项的系数与二项式系数的区别二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C,C；，它只与各项的项数有关,而 与 的 值 无 关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而 且 也 与 的 值 有关.题型一：二
12、项式定理1.（2021 全国高二课时练习）二 项 式 的 展 开 式 中 为 常 数 项 的 是（）A.第 3 项【答案】CB.第 4 项C.第 5 项 D.第 6 项【详解】依题意,的展开式的通项为乙=G 3）F-%y=（-iy c；x3 0-y r7 G N,r 2+C2T+C2”+C：等 于（）A.2 B.2-1 C.3D.1【答案】C【详解】C：2+C -2-+-+C*-2-k+C；=(1+2)=3.故选：C3.（2021 全国高二课时练习）若n+5|的展开式有16项，则自然数的值为（）A.9B.10C.11D.165【答案】B【详解】解：因为（x +与）的展开式共有n +6 项，所以
13、“+6 =1 6,所以”=1 0，故选：B.4.（2 0 2 1 包头市第六中学高二期中（理）若（1+m x）*=旬+。押+出工2 +且4+的+%=2 5 5 ,则实数m的 值 为（）A.1 或-3 B.-1 C.-3 D.1【答案】A【详解】因为（1 +=a0+atx+a2x2+.+a8x8令x =0,则I=1；令X =1 则（1 +加?=旬+，乂 +%+%=2 5 5 ,所以（1 +m）*=2 5 6 ,即（1 +）*=2 ,因此 1 +加=2,解 得=1 或m-3.故选A5.（2 0 2 1 全 国高二课时练习）设i 为虚数单位，则（l +i）6 展开式中的第三项为（）A.-2 0 i
14、B.1 5 i C.2 0 D.-1 5【答案】D【详解】解：（l +i”展开式中的第三项为。了=-1 5.故选：D6.（2 0 2 1 陕西金台高二 期 末（理）（x-2 y 展开式中的第4项 为（）A.6 0 x 2 B.2 4 0/c.1 6 0 x3/D.-1 6 0 x3/【答案】D【详解】解：（x-2 y），展开式中的第4项为C 3（-2 y）3 =7 6 0 x 3/,故选：DX 2+-L 丫的展开式中的常数 项 为（）2X）6 3 n 2 1 D.1 6 8【答案】B【详解】7.（2 0 2 1 全国高三专题练习（理）二项式6二项式上+（）的展开式的通项为:令 1 8 3%=0
15、,可得：k=6,所以常数项为 3 x。吟故选：B.8.（2 0 2 1 重庆市第六十六中学校高二月考）二项式1-/）的展开式中，常数项为（)A.-4 B.4【答案】D【详解】二项式（x-gj的展开式的通项公式为令4-2 r =0,解得r =2,所以常数项为t =c：（-i y =6,故选：D9.（2 0 2 1 全 国高二课时练习）已知（4-：）的展开式中各项的二项式系数的和为5 1 2,则这个展开式中的常数项 为（）A.-3 4 B.-6 7 2 C.8 4 D.6 7 2【答案】B【详解】、9 f （八 9-3,由已知，2 =5 1 2,则 =9,所以-I 一一I=（一 2）。仆亍.令9-
16、3 厂=0,得厂=3,所以常数项为（-2 丫。；=-8 x 8 4 =-6 7 2,故 选:B.1 0.（2 0 2 1 广东荔湾西关外国语学校高三月考）Qx-g）展开式中的常数项为一1 6 0,则 a=（）A.-1 B.1 C.1 D.2【答案】B【详解】(a x-2)的展开式通项 为&=43尸 2)=(-2ya6-rC；x6-2r(0 r,由C：=6,得”=4,所以7；=C*3X）3，故第四项的系数为C =1 0 8.故选：D.4.（2 0 2 1 江苏高三月考）若二项式pt-1的展开式中所有项的系数和为L，则展开式中二项式系数最大的项（2 ）6 4为（）A.yx3 B.x4 C.20 x
17、i D.1 5 x4【答案】A【详解】所以=6,展开式有7项，所以二项式（g-xj展开式中二项式系数最大的为第4 项,9故选：A.5.（2 0 2 1 江苏南京 高二期末）展开式中所有项的系数和为2 4 3,展开式中二项式系数最大值 为（）A.6 B.1 0 C.1 5 1）.2 0【答案】B【详解】令*=1 得（4-1）=2 4 3,n=5,展开式中二项式系数最大的项是第3 和第4项，最大的二项式系数为C；=C；=1 0 .故选：B.6.（2 0 2 1 辽宁丹东高三二模）在（x-1）的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则=（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【详解】因为在（
18、x-l）的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大,所以y+1 =4,2解得=6,故选：B7.（2 0 2 1 全国）已知（1+2 x）2 的展开式中奇次项系数之和等于3 6 4,那么展开式中二项式系数最大的项是（）A.第 3 项 B.第 4项C.第 5项 D.第 6项【答案】B【详解】设（1+2 x）=a+a i x+a/+a3x-a2,X 则展开式中奇次项系数之和就是 a+a+a-分别令x=l,x=-l,得a0+at+a2+a3+-+a2 A+a2 n=32,一。1+。2 一%+4 2+。2”=L两式相减，得当+为+己5 H-1 打 2 0-1=-2A _1由已知，得-=3 6 4,2.3
19、=72 9 =3，即=3.（1 +2*尸=（l+2 x）”的展开式共有7 项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大.故选：B.108.(2 0 2 1 全国高二课时练习)已知(x-1)的展开式中奇数项的二项式系数之和是6 4,则它的展开式的中间项为()A.-3 5 x4 B.3 5/C.-3 5/和 3 5 x，1).-3 5 3 和3 5 x,【答案】C【详解】由己知，可得2T=6 4,解得=7,(x-1)，的展开式中共有8 项，中间项为第4项与第5项，7；=C；/(-l)3 =-3 5 x,T5=C1 3(-I)，=35X3故选：C9.(2 0 2 1 吴江汾湖高级中学)已知
20、(1 +x)”的展开式中第4 项与第8 项的二项式系数相等，则所有项的二项式系数 和 为()A.2 2 B.2 C.2,D.29【答案】C【详解】由题意，展开式中第4项与第8 项的二项式系数相等，故C；=C：，=10因此，所有项的二项式系数和为2 1。故选：C1 0.(2 0 2 1 江 苏 如 皋 高 三 模 拟 预 测)的 展 开 式 的 二 项 式 系 数 之 和 为 6 4,则展开式中的常数项为()A.2 0 B.-1 2 0 C.6 0 D.-6 0【答案】C【详解】由题意得2 =6 4,故”=6.所以原式为通项为a=C：=(-2)*4号,令3-丝=0 得左=2,2故常数项为：(-2
21、 C；=6 0.故选：C.1 1.(2 0 2 1 河南平顶山(理)+靠 的展开式中各项的二项式系数的和为2 5 6,则展开式中/的系数为()A.504A/3 B.5 0 4 C.70 73 D.70【答案】A11【详解】山题可知2 =2 5 6，解得”=8.的展开式的通项为=丁C；.产.再令8号=4,解得厂=3.所以展开式中x4的系数为（石 x C；=5 0 4 6 .故选：A题型三：项的系数1.（2 0 2 1 ,全国图二课时练习）设（2 工）6=0 +%（1+工）+4 2（1+1）+。6（1 +工）6，则%+%+。2+。3+。4+。5+。6 等 于（）A.4 B.-71 C.6 4 D.
22、1 9 9【答案】C【详解】*.*（2 X）=为+团（1+x）+2（1 +x）+4（1 +x）,令 x=0,/%+包 +为+&+，+桀+4=2=6 4.故选：C.2.（2 0 2 1 湖北襄城襄阳五中高三月考）（x-3 y）s的展开式中所有的项的系数之和为（）A.-3 2 B.-1 6 C.1 0 D.6 4【答案】A【详解】令x =l,y=l,则展开式所有项的系数和为（-2）s=-3 2.故选：A.3.（2 0 2 1 全国高二单元测试）（x-向 丫 的展开式中，x*2 项的系数是（）A.5 6 B.-5 6 C.2 8 D.-2 8【答案】A【详解】依题意=2Cxby2=56x6y2,所以
23、一/的 系数是5 6.故选：A4.（2 0 2 1 全国高二课时练习）二 项 式 丫 的 展 开 式 中 含 一 项 的 系 数 为（）A.1 6 0B.-1 6 0C.80D.-80 012【答案】A【详解】解：卜 -：J 展开式的通项为 =C，)(-4)*/=C*(-4)*,令 1 0-3%=4,得力=2,所以含一项的系数为C；(-4=1 6 0.故选：A.5.(2 0 2 1 汕头市潮南区陈店实验学校高二期中)(l+x +x 2)(x-2)5 的展开式中/的系数为()A.4 0 B.80 C.-4 0 D.-80【答案】A【详解】(1 +X+X2)(X-2)5=(1 +X+X2)(-2
24、+X)：，,所以展开式中 V 的系数为 C；(-2)2 +C；(-2)3 +C；(-2)4=4 0-80 +80 =4 0.故选：A6.(2 0 2 1 金华市方格外国语学校高二月考)若(l-2 x)2=旬+即:+叼？+-+。2。2/2必，则旬+4+%+。2 0 2 1 =()A.2 B.-1 C.2 D.-2【答案】B【详解】令X=l,则(l 2 x 1)2。/=/+Q2 H-1 2 0 2 1，即+1+4-卜 2 0 2 1 =-1，故选：B.7.(2 0 2 1 福建省宁德市教师进修学院高二期末)已知(l+2 x f =%+厂-1 4 6 1 6+。71，则%一 +%-F a6-a7=(
25、)A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】B【详解】因 9 (1 +2 x)=a。+qx +4厂+,+。6“6 +f令 x =l,得g-Q+4-+&_%=(l+2 x(-)7=-l,故选：B8.(2 0 2 1 江苏鼓楼 南京市第二十九中学高二期中)设(1-X)2 9=O+Q|(1 +X)+%(1+X)2+%9(1 +工厂，q(2 =0,1,2,2 9)是常数,则%+%+。2 9的 值 是()A.1-22 9 B.22 9-1 C.1 D.0【答案】A13【详解】解：令工 二 一 1,可得即=2,令 x=0,可得%+q+%,则a?的值为()A.3 B.6 C.9 D.12【答案】B【详解】x3=2+(x-2)3,所以2=。；2=6.故选：B14