《2022年高考数学一轮复习精品学案――排列组合二项式定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学一轮复习精品学案――排列组合二项式定理.docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20XX年高考数学一轮复习精品学案（人教版 A 版）排列、组合、二项式定理一【课标要求】1分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例,总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能依据详细问题的特点,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原懂得决一些简洁的实际问题；2排列与组合通过实例,懂得排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式,并能解决简洁的实际问题；3二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定懂得决与二项绽开式有关的简洁问题.二【命题走向】本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项
2、式定理三部分；考查内容：（ 1）两个原理；（2）排列、组合的概念,排列数和组合数公式,排列和组合的应用；（3）二项式定理,二项绽开式的通项公式,二项式系数及二项式系数和；排列、 组合不仅是高中数学的重点内容,而且在实际中有广泛的应用,因此新高考会有题目涉及； 二项式定理是高中数学的重点内容,也是高考每年必考内容,新高考会连续考察；考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式显现,属于中低难度的题目,排列组合有时与概率结合显现在解答题中难度较小,属于高考题中的中低档题目；猜测 20XX 年高考本部分内容肯定会有题目涉及,显现选择填空的可能性较大,与概率相结合的解答题显现的可能性较大 .三【要点精
3、讲】1排列、组合、二项式学问相互关系表2两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键；3排列（1）排列定义,排列数（2）排列数公式：系m A n=nn .=nn1 nm+1 ；m .（3）全排列列：n A n=n.；（4）记住以下几个阶乘数：1！=1,2！=2,3！=6,4！=24,5！ =120,6！=720；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4组合（1）组合的定义,排列与组合的区分；（2）组合数公式：Cnm=m .n .m.=nn-1n-
4、m21；nmm1 1（3）组合数的性质CnCnm=C n n-m ； Cr1CrCr1； rCnr=nCn-1r-1 ； Cn0+C n 1+ +Cnn=2 n ；nnn0-Cn 1+ +-1nCnn=0,即Cn 0+Cn 2+Cn 4+ =Cn 1+Cn3+ =2n-1；5二项式定理（1）二项式绽开公式：a+bn=Cn 0a n+Cn1a n-1b+ +Cn ka n-kbk+ +C n nbn；（2）通项公式：二项式绽开式中第k+1 项的通项公式是：Tk+1=Cnka n-kbk；6二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简洁的组合恒等式；（3）证明整除性；求数的末位；数的整
5、除性及求系数；简洁多项式的整除问题；（4）近似运算；当 |x|充分小时,我们常用以下公式估量近似值：1+x n 1+nx； 1+x n 1+nx+ n n 1x 2；（5）证明不等式；2四【典例解析】题型 1：计数原理例 1完成以下选择题与填空题（1）有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,就不同的投法有D4种.A 81 B64 C24 （2）四名同学争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是（）D4A 81 B64 C24 （3）有四位同学参与三项不同的竞赛,每位同学必需参与一项竞赛,就有不同的参赛方法有；每项竞赛只许有一位同学参与,就有不同的参赛方法有每位同学最多参与一项竞赛,每项竞赛只许有
6、一位同学参与,就不同的参赛方法有；解析：（1）完成一件事是“ 分步” 进行仍是“ 分类” 进行,是选用基本原理的关键；将“ 投四封信”这件事分四步完成,每投一封信作为一步,每步都有投入三个不同信箱的三种方法,因此： N=3 3 3 3=3 4=81,故答案选 A ；此题也可以这样分类完成,四封信投入一个信箱中,有 C3 1 种投法；四封信投入两个信箱中,有 C3 2（C4 1A 2 2+C4 2C2 2）种投法；四封信投入三个信箱,有两封信在同一信箱中,有 C4 2 A 3 3 种投法、,故共有 C3 1+C3 2（C4 1A 2 2+C4 2C2 2）+C4 2 A 3 3=81（种）；故选
7、 A；（2）因同学可同时夺得 n 项冠军,故同学可重复排列,将 4 名同学看作 4 个“ 店” ,3项冠军看作“ 客”,每个“ 客” 都可住进 4 家“ 店” 中的任意一家,即每个“ 客” 有 4 种住宿法；由分步计数原理得：N=4 4 4=64；故答案选 B；名师归纳总结 （3）同学可以选择项目,而竞赛项目对同学无条件限制,所以类似（1）可得 N=34=81第 2 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（种）；竞赛项目可以挑同学,而同学无选择项目的机会,每一项可以挑 4 种不同同学, 共有N=4 3=64（种）；等价于从
8、4 个同学中选择 3 个同学去参与三个项目的竞赛,每人参与一项,故共有C4 3A 3 3=24（种）；例 2（06 江苏卷）今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球,同色球不加以区分,将这 9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）.解析：此题考查排列组合的基本学问,由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一4 2 3个组合问题,共有 C 9 C 5 C 3 1260；点评：分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,在高中数学中, 只有这两个原理, 特别是分类计数原理与分类争论有许多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简 ,达到求解
9、的目的 .题型 2：排列问题例 3（1）（2022 浙江卷理）在二项式x2r15的绽开式中,含4 x 的项的系数是 xA105B B10 D 513r4,r2,就4 x 的项Cr 10 3C xr,对于 10答案解析对于rT1Crx25r1r5x的系数是C2 5 1210【点评】：此题重点考察二项绽开式中指定项的系数,以及组合思想；【突破】：利用组合思想写出项,从而求出系数；（2）（2022 江西卷理） 1 ax by n绽开式中不含 x 的项的系数肯定值的和为 243,不含y 的项的系数肯定值的和为 32 ,就 a b n 的值可能为Aa 2, b 1, n 5 Ba 2, b 1, n 6
10、Ca 1, b 2, n 6 Da 1, b 2, n 5答案 D解析 1 b n243 3 5,1 a n32 2 5,就可取 a 1, b 2, n 5,选 D点评： 合理的应用排列的公式处理实际问题,第一应当进入排列问题的情形,想清晰我处理时应当如何去做；名师归纳总结 例 4（1）用数字0, 1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数,就其中数字1,2 相邻第 3 页,共 9 页的偶数有个（用数字作答） ；（2）电视台连续播放6 个广告,其中含4 个不同的商业广告和2 个不同的公益广告,要求首尾必需播放公益广告,就共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解析：（ 1）可以分情形争论：如末位
11、数字为0,就 1,2,为一组,且可以交换位置,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3,4,各为 1 个数字,共可以组成2学习必备12欢迎下载如末位数字为2,就 1 与它相3 A 3个五位数；邻,其余 3 个数字排列, 且 0 不是首位数字, 就有22 A 24个五位数； 如末位数字为4,=8就 1,2,为一组,且可以交换位置, 3,0,各为 1 个数字,且 0 不是首位数字, 就有2 22 A 2个五位数,所以全部合理的五位数共有24 个；A2 2 种；中间4 个为不同的商业广告有4 A4（2）分二步：首尾必需播放公益广告的有种,从而应当填A2 2A44
12、48. 从而应填 48；点评：排列问题不行能解决全部问题,对于较复杂的问题都是以排列公式为帮助.题型三：组合问题例 5（2022 全国卷理） 甲组有 5 名男同学, 3 名女同学； 乙组有 6 名男同学、 2 名女同学；如从甲、乙两组中各选出2 名同学,就选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 D （A）150 种（B）180 种（C）300 种D345 种解: 分两类 1甲组中选出一名女生有1 C 5C12 C 6225种选法 ;3 2乙组中选出一名女生有C2C1C1120种选法 . 故共有 345 种选法 . 选 D562（2）将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和 2
13、的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,就不同的放球方法有（）A10 种 B 20 种 C 36 种 D52 种【解析】：（2）将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,分情形争论：1 号盒子中放1 个球,其余3 个放入2 号盒子, 有C14种方法； 1 号盒子中放2 个球, 其余 2 个放入 2 号盒子, 有C26种44方法；就不同的放球方法有10 种,选 A；点评：计数原理是解决较为复杂的排列组合问题的基础,应用计数原理结合例 6（1）某校从 8 名老师中选派4 名老师同时去4 个边远地区支教每地
14、 1 人,其中甲和乙不同去,就不同的选派方案共有种；（2）5名理想者分到 3所学校支教,每个学校至少去一名理想者,就不同的分派方法共有（）（A） 150种 B180种 C200种 D280种3 4解析：（ 1）可以分情形争论, 甲去,就乙不去,有 C 6 A =480 种选法；甲不去,3 4 4乙去,有 C 6 A =480 种选法；甲、乙都不去,有 A =360 种选法；共有 1320 种不同的选派方案；名师归纳总结 （2）人数安排上有1,2,2 与 1,1,3 两种方式, 如是 1,2,2,就有3 1 1C C C 13 A 360 种,如第 4 页,共 9 页2 A 2- - - - -
15、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 是 1,1,3,就有1 2 2C C C 23 A 3学习必备欢迎下载2 A 2 90 种,所以共有150 种,选 A；点评：排列组合的交叉使用可以处理一些复杂问题,诸如分组问题等；题型 4：排列、组合的综合问题例 7平面上给定 10 个点,任意三点不共线,由这 10 个点确定的直线中,无三条直线交于同一点 （除原 10 点外）,无两条直线相互平行；求：（1）这些直线所交成的点的个数（除原 10 点外）；（2）这些直线交成多少个三角形 .解法一：（1）由题设这 10 点所确定的直线是 C10 2=45 条；这 45 条直线除原 10 点
16、外无三条直线交于同一点,由任意两条直线交一个点,共有 C45 2个交点；而在原先 10 点上有 9 条直线共点于此；所以,在原先点上有 10C9 2 点被重复计数；所以这些直线交成新的点是：C45 210C9 2=630；（2）这些直线所交成的三角形个数可如下求：由于每个三角形对应着三个顶点,这三个点来自上述 630 个点或原先的 10 个点；所以三角形的个数相当于从这 640 个点中任取三个点的组合,即 C640 3=43486080（个） . 解法二：（1）如图对给定的 10 点中任取 4 个点,四点连成 6 条直线,这 6 条直线交 3个新的点；故原题对应于在 10 个点中任取 4 点的
17、不同取法的 3 倍,即这些直线新交成的点的个数是： 3C10 4=630；（2）同解法一；点评：用排列、组合解决有关几何运算问题,除了应用排列、组合的各种方法与计策之外,仍要考虑实际几何意义 . 例 8已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合 3, 2, 1,0,1,2,3 中的 3 个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数；解 设倾斜角为 ,由 为锐角,得 tan =-a0,即 a、b 异号；b（1）如 c=0,a、b 各有 3 种取法,排除 2 个重复（ 3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0 ）,故有 33-2=7（条）；（2）如 c 0,
18、a 有 3 种取法, b 有 3 种取法,而同时c 仍有 4 种取法,且其中任两条直线均不相同,故这样的直线有 3 3 4=36 条,从而符合要求的直线共有 7+36=43 条；点评：此题是 1999 年全国高中数学联赛中的一填空题,据抽样分析正确率只有 0.37；错误缘由没有对 c=0 与 c 0 正确分类；没有考虑 c=0 中显现重复的直线；题型 5：二项式定理名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 9（1）（2022 陕西卷文）如1学习必备a 0欢迎下载a2022x2022xR , 2 2022a x就a 12a
19、 2a 2022的值为C. 1D. 21应选 C.222022 2A. 2 B.0 答案 C 解析由题意简洁发觉a 11 C 20221 222022 , a 2022C2022 22022 220222022,就2022a 12022,a 20222022,即a 1+a2022=0, 同理可以得出22022 2222022a2+a 2007=0,a3+a2006=0 222007 22322006亦即前 2022 项和为 0, 就原式 =a 1a2a2022=a2022C2022 2022 22022220222022220222222（2）x110 的绽开式中含x 的正整数指数幂的项数是3
20、 x（A） 0（B）2（C）4（D）6 解析：此题主要考查二项式绽开通项公式的有关学问；（2）x 1 10的绽开式通项为 C 12 r x r 1 10 r C 10 r 1 10 r x 32 r 10,因此含 x 的3 x 3 x 3正整数次幂的项共有 2 项.选 B；点评：多项式乘法的进位规章；在求系数过程中 ,尽量先化简,降底数的运算级别 ,尽量化成加减运算, 在运算过程可以适当留意令值法的运用,例如求常数项,可令 x 0 .在二项式的绽开式中,要留意项的系数和二项式系数的区分 . 例 10（ 1）（2022 江苏 10）将全体正整数排成一个三角形数阵：1 1123 6 15 4578
21、910 121314 名师归纳总结 依据以上排列的规律,第n 行（n3）从左向右的第3 个数为12 （ n第 6 页,共 9 页【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前n1 行共有正整数 1）个,即n22n 个,因此第n 行第3 个数是全体正整数中第n22n 3 个,即为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 nn6学习必备欢迎下载22【答案】n n 625（2）（2022 北京卷理）如 1 2 a b 2 , a b 为有理数）,就 a b（）A45 B 55 C70 D80 答案 C 解析 此题主要考查二项式定理及其绽开式 . 属于基础学问、基
22、本运算的考查 .5 0 1 2 3 4 51 2 C 5 02 C 5 12 C 5 22 C 5 32 C 5 42 C 5 521 5 2 20 20 2 20 4 2 41 29 2 ,由已知,得 41 29 2 a b 2,a b 41 29 70 . 应选 C. n（2）已知 x 2 i 的绽开式中第三项与第五项的系数之比为3,其中 2i = 1,就绽开x 14式中常数项是（）A45i B 45i C 45 D45 （2）第三项的系数为C ,第五项的系数为 2C ,由第三项与第五项的系数之比为4 31440 5 r可得 n10,就 T r 1 C 10 rx 2 10 r i r i
23、 rC 10 rx 2,令 405r0,解得 r8,故x8 8所求的常数项为 i C 1045,选 A；3 2 3（3）2022 湖南卷理 在 1 x 1 x 1 x 的绽开式中, x 的系数为 _7_用数字作答 答案7x3 ,1x3 ,13x3绽开式中 x 项的系数分别是1 2 3C ,C ,C ,解析由条件易知1即所求系数是 33 17点评：此题考查二项式绽开式的特别值法,基础题；题型 6：二项式定理的应用例 11证明以下不等式：名师归纳总结 （1）an2bn（a2b）n,（a、bx|x 是正实数 ,n N）; 第 7 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -
24、- - - - - （2）已知 a、b 为正数,且1+学习必备欢迎下载1 b=1,就对于 nN 有a（a+b）n-an-bn2 2n-2n+1；证明：（ 1）令 a=x+ ,b=x ,就 x=a2b；na n+bn=x+ n+x- nnCn n=xn+Cn 1xn-1 + +Cnnn+xn-Cn1xn-1 + -1=2xn+C n 2xn-22+Cn 4xn-44+ 2xn即an2bn（a2b）n（2）a+bn=an+Cn1a n-1b+ +Cnnbna+bn=bn+Cn1bn-1a+ +Cn nan上述两式相加得：2a+bn=an+bn+Cn1a n-1b+bn-1a+ +Cn kan-kb
25、 k+bn-ka k+ +Cnna n+bn * 1）1+1=1,且 a、b 为正数abab=a+b2abab4 又 a n-kb k+bn-ka k2ann b=2ab nk=1,2, ,n-1 2a+b n2an+2bn+C n 12ab n+Cn22（ab ）n+ +Cnn-12ab na+bna n-bnCn 1+Cn 2+ +Cn n-1 （ab ）n2n22n=22n 2 n+1点评：利用二项式定理的绽开式,可以证明一些与自然数有关的不等式问题；题（中的换元法称之为均值换元（对称换元）；这样消去 奇数次项,从而使每一项均大于或等于零；题（ 2）中,由由称位置二项式系数相等,将绽开式
26、倒过来写再与原先的绽开式相加,名师归纳总结 这样充分利用对称性来解题的方法是利用二项式绽开式解题的常用方法；0.001；第 8 页,共 9 页例 12（1）求 4 6 n+5n+1 被 20 除后的余数；（2）7 n+C n 17 n-1+C n 27 n-2+ +Cn n-1 7 除以 9,得余数是多少？（3）依据以下要求的精确度,求 1.02 5 的近似值；精确到 0.01；精确到解析：（ 1）第一考虑 4 6 n+5 n+1 被 4 整除的余数；5 n+1=4+1n+1=4n+1+C n+1 14n+C n+1 24n-1+ +Cn+1 n4+1,其被 4 整除的余数为1,被 20 整除
27、的余数可以为 1,5,9,13, 17,然后考虑 46 n+1+5 n+1 被 5 整除的余数；4 6n=45+1n=45n+C n 15 n-1+Cn 25n-2+ +Cnn-15+1,被 5 整除的余数为4,其被 20 整除的余数可以为4,9, 14,19；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综上所述,被20 整除后的余数为学习必备欢迎下载9；（2）7 n+Cn 17 n-1+C n 27 n-2+ +Cn n-17 =7+1 n1=8 n1=9-1 n1 =9 n-Cn 19 n-1+Cn 29 n-2+ + 1 n-1Cn n-19+ 1 nCn
28、 n-1 i 当 n 为奇数时原式 =9 n-C n 19 n-1+C n 29 n-2+ +（ 1）n-1Cn n-19 2 除以 9 所得余数为 7；ii 当 n 为偶数时原式 =9 n-C n 19 n-1+C n 29 n-2+ + 1 n-1Cn n-19 除以 9 所得余数为 0,即被 9 整除；（3）1.02 5（ 1+0.02）5=1+c5 10.02+C5 20.02 2+C5 30.02 3+C5 40.02 4+C5 5 0.02 5C5 2 0.02 2=0.004,C 5 3 0.02 3=8 10-5当精确到 0.01 时,只要绽开式的前三项和,1+0.10+0.0
29、04=1.104 ,近似值为 1.10；当精确到 0.001 时,只要取绽开式的前四项和,1+0.10+0.004+0.0008=1.10408 ,近似值为 1.104；点评：（1）用二项式定理来处理余数问题或整除问题时,和或之差再按二项式定理绽开推得所求结论；通常把底数适当地拆成两项之（2）用二项式定理来求近似值,可以依据不同精确度来确定应当取到绽开式的第几项；五【思维总结】解排列组合应用题的基本规律1分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：单独使用；联合使用；2将详细问题抽象为排列问题或组合问题,是解排列组合应用题的关键一步；3对于带限制条件的排列问题,通常从以下三种途径考虑：（1）元素分析法：先考虑特别元素要求,再考虑其他元素；（2）位置分析法：先考虑特别位置的要求,再考虑其他位置；（3）整体排除法：先算出不带限制条件的排列数,再减去不满意限制条件的排列数；4对解组合问题,应留意以下三点：（1）对 “组合数 ”恰当的分类运算,是解组合题的常用方法；（2）是用 “直接法 ”仍是 “间接法 ” 解组合题,其原就是“ 正难就反 ” ；（3）设计 “分组方案 ”是解组合题的关键所在；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页