《2022届高考数学一轮复习精品学案第39讲排列组合二项式定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高考数学一轮复习精品学案第39讲排列组合二项式定理.docx（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022年普通高考数学科一轮复习精品学案第39讲排列、组合、二项式定理一课标要求：1分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3二项式定理能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。二命题走向本局部内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三局部；考查内容：1两个原理；2排列、组合的概念，排列数和组合数公式，
2、排列和组合的应用；3二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2022年高考本局部内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。三要点精讲1排列、组合、二项式知识相互关系表2两个根本原理1分类计数原理中的分类；2分步计数原理中的分步；正确
3、地分类与分步是学好这一章的关键。3排列1排列定义，排列数2排列数公式：系 =n(n1)(nm+1)；3全排列列： =n!；4记住以下几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4组合1组合的定义，排列与组合的区别；2组合数公式：Cnm=；3组合数的性质Cnm=Cnn-m；rCnr=nCn-1r-1；Cn0+Cn1+Cnn=2n；Cn0-Cn1+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+=2n-1；5二项式定理1二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn；2通项公式：二项式展开式中第k
4、+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；6二项式的应用1求某些多项式系数的和；2证明一些简单的组合恒等式；3证明整除性。求数的末位；数的整除性及求系数；简单多项式的整除问题；4近似计算。当|x|充分小时，我们常用以下公式估计近似值：(1+x)n1+nx；(1+x)n1+nx+x2；5证明不等式。四典例解析题型1：计数原理例1完成以下选择题与填空题1有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，那么不同的投法有种。A81B64C24D42四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是 A81B64C24D43有四位学生参加三项不同的竞赛，每位学生必须参加一项竞赛，那么有不同的参赛方法有；每
5、项竞赛只许有一位学生参加，那么有不同的参赛方法有；每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，那么不同的参赛方法有。解析：1完成一件事是“分步进行还是“分类进行，是选用根本原理的关键。将“投四封信这件事分四步完成，每投一封信作为一步，每步都有投入三个不同信箱的三种方法，因此：N=3333=34=81，故答案选A。此题也可以这样分类完成，四封信投入一个信箱中，有C31种投法；四封信投入两个信箱中，有C32C41A22+C42C22种投法；四封信投入三个信箱，有两封信在同一信箱中，有C42A33种投法、，故共有C31+C32C41A22+C42C22+C42A33=81种。应选A。2因学
6、生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将4名学生看作4个“店，3项冠军看作“客，每个“客都可住进4家“店中的任意一家，即每个“客有4种住宿法。由分步计数原理得：N=444=64。故答案选B。3学生可以选择工程，而竞赛工程对学生无条件限制，所以类似1可得N=34=81种；竞赛工程可以挑学生，而学生无选择工程的时机，每一项可以挑4种不同学生，共有N=43=64种；等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个工程的竞赛，每人参加一项，故共有C43A33=24种。例2今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法用数字作答。解析：此题考查排列组合的根本知识，由题意可
7、知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有。点评：分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是根底方法，在高中数学中，只有这两个原理，尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之化简,到达求解的目的。题型2：排列问题例31在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 A36个 B24个 C18个 D6个2从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，假设这3人中至少有1名女生，那么选派方案共有 A108种 B186种 C216种 D270种3在数字1,2，3与符号，五个元素的所有全排列中
8、，任意两个数字都不相邻的全排列个数是 A6 B. 12 C. 18 D. 244高三一班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是 A1800 B3600 C4320 D5040解析：1依题意，所选的三位数字有两种情况：13个数字都是奇数，有种方法23个数字中有一个是奇数，有，故共有24种方法，应选B；2从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有=186种，选B；3先排列1，2，3，有种排法，再将“，“两个符号插入，有种方法，共有12种方法，选B；4不同排法的种数为3600，应选B。点评：合理的应用排列的公式处
9、理实际问题，首先应该进入排列问题的情景，想清楚我处理时应该如何去做。例41用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，那么其中数字1，2相邻的偶数有个用数字作答；2电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，那么共有种不同的播放方式结果用数值表示.解析：1可以分情况讨论： 假设末位数字为0，那么1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成个五位数； 假设末位数字为2，那么1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，那么有个五位数； 假设末位数字为4，那么1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不
10、是首位数字，那么有=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。2分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填 A22A4448. 从而应填48。点评：排列问题不可能解决所有问题，对于较复杂的问题都是以排列公式为辅助。题型三：组合问题例51将5名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，那么不同的分配方案有 A种B种 C种D种A10种B20种C36种 D52种解析：1将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，那么将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案，选B；
11、点评：计数原理是解决较为复杂的排列组合问题的根底，应用计数原理结合例61某校从8名教师中选派4名教师同时去4个遥远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，那么不同的选派方案共有种；25名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，那么不同的分派方法共有 A150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 解析：1可以分情况讨论， 甲去，那么乙不去，有=480种选法；甲不去，乙去，有=480种选法；甲、乙都不去，有=360种选法；共有1320种不同的选派方案；2人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，假设是1,2,2，那么有60种，假设是1,1,3，那么有90种，所以共有150
12、种，选A。点评：排列组合的交叉使用可以处理一些复杂问题，诸如分组问题等；题型4：排列、组合的综合问题例7平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点除原10点外，无两条直线互相平行。求：1这些直线所交成的点的个数除原10点外。2这些直线交成多少个三角形。解法一：1由题设这10点所确定的直线是C102=45条。这45条直线除原10点外无三条直线交于同一点，由任意两条直线交一个点，共有C452个交点。而在原来10点上有9条直线共点于此。所以，在原来点上有10C92点被重复计数；所以这些直线交成新的点是：C45210C92=630。2这些直线所交成的三角形个数可
13、如下求：因为每个三角形对应着三个顶点，这三个点来自上述630个点或原来的10个点。所以三角形的个数相当于从这640个点中任取三个点的组合，即C6403=43486080个。解法二：1如图对给定的10点中任取4个点，四点连成6条直线，这6条直线交3个新的点。故原题对应于在10个点中任取4点的不同取法的3倍，即这些直线新交成的点的个数是：3C104=630。2同解法一。点评：用排列、组合解决有关几何计算问题，除了应用排列、组合的各种方法与对策之外，还要考虑实际几何意义。例8直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合3,2,1,0,1,2,3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这
14、些条件的直线的条数。解 设倾斜角为，由为锐角，得tan=-0,即a、b异号。1假设c=0，a、b各有3种取法，排除2个重复3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0，故有33-2=7条；2假设c0，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有334=36条，从而符合要求的直线共有7+36=43条；点评：此题是1999年全国高中数学联赛中的一填空题，据抽样分析正确率只有0.37。错误原因没有对c=0与c0正确分类；没有考虑c=0中出现重复的直线。题型5：二项式定理例91在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有A3项 B4项 C5项 D6项2的展开式中含
15、x的正整数指数幂的项数是A0B2C4D6解析：此题主要考查二项式展开通项公式的有关知识；1，当r0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，4，8，其中16，8，4，0，8均为2的整数次幂，应选C；2的展开式通项为，因此含x的正整数次幂的项共有2项.选B；点评：多项式乘法的进位规那么。在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别。例101在x2022 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x时，S等于 A.2
16、3008 B.23008 C.23009 D.230092的展开式中第三项与第五项的系数之比为,其中=1，那么展开式中常数项是 (A)45i (B) 45i (C) 45 (D)453假设多项式 (A)9 (B)10 (C)9 (D)10解析：1设x2022a0x2022a1x2022a2022xa2022；那么当x时，有a02022a12022a2022a20220 1，当x时，有a02022a12022a2022a202223009 2，12有a12022a202223009223008，应选B；2第三项的系数为，第五项的系数为，由第三项与第五项的系数之比为可得n10，那么，令405r0，
17、解得r8，故所求的常数项为45，选A；3令，得，令，得；点评：此题考查二项式展开式的特殊值法，根底题；题型6：二项式定理的应用例11证明以下不等式：1n,a、bx|x是正实数,nN;2a、b为正数，且+=1，那么对于nN有a+bn-an-bn22n-2n+1。证明：1令a=x+，b=x，那么x=；an+bn=(x+)n+(x-)n=xn+Cn1xn-1+Cnnn+xn-Cn1xn-1+(-1)nCnnn=2(xn+Cn2xn-22+Cn4xn-44+)2xn即n2(a+b)n=an+Cn1an-1b+Cnnbn(a+b)n=bn+Cn1bn-1a+Cnnan上述两式相加得：2(a+b)n=(a
18、n+bn)+Cn1(an-1b+bn-1a)+Cnk(an-kbk+bn-kak)+Cnn(an+bn) (*)+=1，且a、b为正数ab=a+b2 ab4又an-kbk+bn-kak2=2()n(k=1,2,n-1)2(a+b) n2an+2bn+Cn12()n+Cn22n+Cnn-12()n(a+b)nan-bn(Cn1+Cn2+Cnn-1)n(2n2)2n=22n2n+1点评：利用二项式定理的展开式，可以证明一些与自然数有关的不等式问题。题1中的换元法称之为均值换元对称换元。这样消去奇数次项，从而使每一项均大于或等于零。题2中，由由称位置二项式系数相等，将展开式倒过来写再与原来的展开式相
19、加，这样充分利用对称性来解题的方法是利用二项式展开式解题的常用方法。例121求46n+5n+1被20除后的余数；27n+Cn17n-1+Cn27n-2+Cnn-17除以9，得余数是多少3根据以下要求的精确度，求1.025的近似值。精确到0.01；精确到0.001。解析：1首先考虑46n+5n+1被4整除的余数。5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+Cn+1n4+1，其被4整除的余数为1，被20整除的余数可以为1，5，9，13，17，然后考虑46n+1+5n+1被5整除的余数。46n=4(5+1)n=4(5n+Cn15n-1+Cn25n-2+Cnn-15+1)
20、，被5整除的余数为4，其被20整除的余数可以为4，9，14，19。综上所述，被20整除后的余数为9。2 7n+Cn17n-1+Cn27n-2+Cnn-17 =(7+1)n1=8n1=(9-1)n1 =9n-Cn19n-1+Cn29n-2+(1)n-1Cnn-19+(1)nCnn-1(i)当n为奇数时原式=9n-Cn19n-1+Cn29n-2+1n-1Cnn-192除以9所得余数为7。(ii)当n为偶数时原式=9n-Cn19n-1+Cn29n-2+(1)n-1Cnn-19除以9所得余数为0，即被9整除。3(1.02)51+0.025 =1+c510.02+C520.022+C530.023+C5
21、40.024+C550.025C520.022=0.004,C530.023=810-5当精确到0.01时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10。当精确到0.001时，只要取展开式的前四项和，1+0.10+0.004+0.0008=1.10408，近似值为1.104。点评：1用二项式定理来处理余数问题或整除问题时，通常把底数适当地拆成两项之和或之差再按二项式定理展开推得所求结论；2用二项式定理来求近似值，可以根据不同精确度来确定应该取到展开式的第几项。五思维总结解排列组合应用题的根本规律1分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：单独使用；联合使用。2将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。3对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：1元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；2位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；3整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。4对解组合问题，应注意以下三点：1对“组合数恰当的分类计算，是解组合题的常用方法；2是用“直接法还是“间接法解组合题，其原那么是“正难那么反；3设计“分组方案是解组合题的关键所在。