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1、普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页，选择题部分1至 3 页，非选择题部分 4 至 5 页。满分150 分，考试时间120 分钟。请考生按规定用笔将所在试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。1设集合|14Axx，集合2|230Bx xx，则()RAC BA(1 4)，B(3 4)，C(1 3)，D(1 2)(34)，2已知i是虚数单位，则31iiA12iB2iC2iD12i3设aR，则“1a”是“直线1l：210axy
2、与直线2l：(1)40 xay平行”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4把函数cos21yx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，然后向左平移1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到的图像是5设a，b是两个非零向量A若| |abab，则abB若ab，则| |ababC若| |abab，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则| |abab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页6若从 1，2，3， 9 这 9 个整数中同时取4 个不同的数，其和为偶数，则
3、不同的取法共有A60 种B63 种C65 种D66 种7设nS是公差为d（0d）的无穷等差数列na的前n项和，则下列命题错误的是A若0d，则数列nS有最大项B若数列nS有最大项，则0dC若数列nS是递增数列，则对任意*nN，均有0nSD若对任意*nN，均有0nS，则数列nS是递增数列8如图，1F，2F分别是双曲线C：22221(0)xya bab，的左、右两焦点，B是虚轴的端点，直线1F B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M若112| |MFF F，则C的离心率是A2 33B62C2D39设0a，0bA若2223abab，则abB2223abab若，则abC
4、若2223abab，则abD若2223abab，则ab10已知矩形ABCD，1AB，2BC将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD” ， “AB与CD” ， “AD与BC”均不垂直非选择题部分（共100 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共 28 分。11已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如
5、图所示，则该三棱锥的体积等于3cm12若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是13设公比为(0)q q的等比数列na的前n项和为nS若2232Sa，4432Sa，则q14若将函数5( )f xx表示为2345012345( )(1)(1)(1)(1)(1)f xaaxaxaxaxax，其中0a，1a，2a，5a为实数，则3a15在ABC中，M是BC的中点，3AM，10BC，则AB BC16定义：曲线C上的点到直线的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离已知曲线1C：2yxa到直线l：yx的距离等于曲线2C：22(4)2xy到直线l：yx的距离，则实数a17设aR，若0 x时均有21110a
6、xxax，则a三、解答题：本大题共5 小题，共72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（本题满分14 分） 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知2cos3A，sin5cosBC（）求tanC的值；（）若2a，求ABC的面积19 （本题满分14 分）已知箱中装有4 个白球和5 个黑球，且规定：取出一个白球得2 分，取出一个黑球得1 分现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3 个球，记随机变量X为取出此3 球所得分数之和（）求X的分布列；（）求X的数学期望()E X20 （本题满分15 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2 3的菱形，120BAD，且
7、PA平面ABCD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页2 6PA，M，N分别为PB，PD的中点（）证明：MN平面ABCD；（）过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值21 （本题满分15 分）如图，椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为12，其左焦点到点(2 ,1)P的距离为10，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分（）求椭圆C的方程；（）求ABP面积取最大值时直线l的方程22 （本题满分14 分）已知0a，bR，函数3( )42f xaxbxab（）证明：当
8、01x时，（i）函数( )f x的最大值为| 2|aba；（ii）( )| 2|0f xaba；（）若1( )1f x对01x，恒成立，求ab的取值范围数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5 分，满分50 分。1B 2D 3A 4A 5C 6D 7C 8B 9A 10B 二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题4 分，满分28 分。111 12112013321410 15-16 16941732三、解答题：本题共小题，满分72 分。18本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分14分。（）因为0A，2cos3A，得精选学习资料
9、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页25sin1cos3AA又5cossinsin()CBACsincoscossinACAC52cossin33CC所以tan5C（）由tan5C，得5sin6C，1cos6C，于是5sin5cos6BC由2a及正弦定理sinsinacAC，得3c设ABC的面积为S，则15sin22SacB19本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14 分。（）由题意得X取 3，4，5，6，且35395(3)42CP XC，12453910(
10、4)21CCP XC，2245395(5)14CCP XC，44391(6)21CP XC所以X的分布列为X3 4 5 6 P5421021514121（）由（）知13()3(3)4(4)5(5)6(6)3E XP XP XP XP X精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页20本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分15 分。（）因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是PBD的中位线，所以/ /MMBD又因为MN平面ABCD，所以/ /MM平面A
11、BCD（）方法一：连结AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示在菱形ABCD中，120BAD，得2 3ACAB，36BDAB又因为PA平面ABCD，所以P AA C在直角PAC中，2 3AC，2 6PA，AQPC，得2QC，4PQ由此知各点坐标如下，(3 ,0, 0)A，(0 ,3, 0)B，( 3 ,0 , 0)C，(0 ,3 , 0)D，(3 ,0, 2 6)P，33(,6)22M，33(,6)22N，32 6(, 0 ,)33Q设(, )xyzm为平面AMN的法向量由33(,6)22AM，33(,6)22AN知336022336022
12、xyzxyz取1x，得(2 2 , 0,1)m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页设(,)xy zn为平面QMN的法向量由5 336(,)623QM，5 336(,)623QN知5 33606235 3360623xyzxyz取5z，得(2 2 ,0, 5)n于是33cos,| |33m nm nmn|所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为3333方法二：在菱形ABCD中，120BAD，得ACABBCDA，3BDAB，有因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAC，PAAD，所以PBPCPD所以PBCPDC而M，N分别
13、是PB，PD的中点，所以MQNQ，且1122AMPBPDAN取线段MN的中点E，连结AE，EQ，则AEMN，QEMN，所以AEQ为二面角AMNQ的平面角由2 3AB，2 6PA，故在AMN中，3AMAN，132MNBD，得3 32AE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页在直角PAC中，AQPC，得2 2AQ，2QG，4PQ，在PBC中，2225cos26PBPCBCBPCPB PC，得222cos5MQPMPQPMPQBPC在等腰MQN中，5MQNQ，3MN，得22112QEMQME在AEQ中，3 32AE，112Q
14、E，2 2AQ，得22233cos233AEQEAQAEQAE QE所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为333321本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分15 分。（）设椭圆左焦点为(0)Fc，则由题意得(2)11012cca，得12ca所以椭圆方程为22143xy（）设11()A xy，22()B xy，线段AB的中点为M当直线AB与x轴垂直时， 直线AB的方程为0 x，与不过原点的条件不符，舍去 故可设直线AB的方程为(0)ykxm m，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
15、 - -第 8 页，共 11 页由223412ykxmxy消去y，整理得222(34)84120kxkmxm，（1）则2222644(34)(412)0k mkm，122212283441234kmxxkmx xk所以AB线段的中点2228412(,)3434kmmMkk，因为M在直线OP上，所以22323434mkmkk，得0m（舍去）或32k，此时方程（ 1）为22330 xmxm，则23(12)0m，1221233xxmmx x所以221239|1|126ABkxxm，设点P到直线AB距离为d，则22|82|2 |4|1332mmd，设ABP的面积为S，则2213|(4) (12)26S
16、ABdmm，其中( 2 3,0)(0,23)m，令22()(12)(4)u mmm， 2 3,23m2( )4(4)(26)4(4)(17)(17)u mmmmmmm，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页所以当且仅当17m，()u m取到最大值，故当且仅当17m，S取到最大值综上，所求直线l方程为322 720 xy22本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14 分。（）（i）22( )12212 ()6bfxaxba xa当0b时，有(
17、 )0fx，此时( )f x在0,)上单调递增所以当01x时，max3,2( )max (0),(1)max,3|2|,2ab baf xffabababaab ba（ii ）由于01x，故当2ba时，333( ) |2|( )34224422 (221)f xabaf xabaxbxaaxaxaaxx当2ba时，333( )|2|( )42 (1)244 (1)22 (221)f xabaf xabaxbxaaxaxaaxx设3( )221,01g xxxx，则233( )626()()33g xxxx，于是x0 3(0,)3333(,1)31 ( )gx- 0 + ( )g x1 减极小值
18、增1 所以，min34 3( )()1039g xg，所以当01x时，32210 xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页故3( )|2|( )2 (221)0f xabaf xabaxx（）由（ i）知，当01x，max( )|2|f xaba，所以|2|1aba若|2|1aba，则由（ ii）知( )(| 2|)1f xaba所以1( )1f x对任意01x恒成立的充要条件是|2|10abaa，即20310ababa，或2010abbaa（1）在直角坐标系aOb中， （1）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC，作一组平行直线()abt tR，得13ab所以的取值范围是( 1,3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页