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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一般高等学校招生全国统一考试数 学（理科）本试题卷分挑选题和非挑选题两部分；全卷共 5 页,挑选题部分 1 至 3 页,非挑选题部分 4 至 5 页；满分 150 分,考试时间 120 分钟；请考生按规定用笔将所在试题的答案涂、写在答题纸上；挑选题部分（共 50 分）一、挑选题：本大题共 10 小题,每道题 5 分,共 50 分；在每道题给出的四个选项中,只有一个项是符合题目要求的；1设集合Ax|1x4,集合Bx x2y2x30,就AC B R 1y40平A 1 4B 3 4C 1 3D 1 23,42已知 i 是虚数单位,就3i1iC 2iD
2、12iaA 12iB 2i3设 aR ,就“a1” 是“ 直线1l ：ax210与直线2l ：x行” 的A 充分不必要条件1B必要不充分条件2 倍（纵坐标不变） ,然后C充分必要条件D既不充分也不必要条件4把函数ycos2x的图像上全部点的横坐标伸长到原先的向左平移 1 个单位长度,再向下平移5设 a , b是两个非零向量1 个单位长度,得到的图像是名师归纳总结 A 如 |ab| |a|b ,就 aba,使得 b|a第 1 页,共 11 页B如 ab,就 |ab| |a|b|C如 |ab| |a|b ,就存在实数b|D如存在实数,使得ba ,就 |b| |a|- - - - - - -精选学习
3、资料 - - - - - - - - - 6如从 1,2,3, , 9 这 9 个整数中同时取 有4 个不同的数,其和为偶数,就不同的取法共A 60 种 B63 种 C65 种 D66 种7设 S 是公差为 d （d 0）的无穷等差数列 a n 的前 n 项和,就以下命题错误的是A 如 d 0,就数列 S n 有最大项B如数列 S n 有最大项,就 d 0C如数列 S n 是递增数列,就对任意 n N *,均有 S n 0D如对任意 n N *,均有 S n 0,就数列 S n 是递增数列2 28如图,1F ,F 分别是双曲线 C ：x2 y2 1 a b 0 的a b左、右两焦点,B 是虚轴
4、的端点,直线 F B与 C 的两条渐近线分别交于 P , Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点M 如 | MF 1 | | F F 1 2 |,就 C 的离心率是A 2 3 B6C2 D33 29设 a 0,b 0a b a bA 如 2 2 a 2 3 b ,就 a b B 2 2 a 2 3 b 如,就 a ba b a bC如 2 2 a 2 3 b ,就 a b D如 2 2 a 2 3 b ,就 a b10已知矩形 ABCD ,AB 1,BC 2将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中,A 存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直B存在
5、某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直C存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直D对任意位置,三对直线“AC 与 BD ” ,“AB 与 CD ” ,“AD 与 BC ” 均不垂直非挑选题部分（共 100 分）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、填空题：本大题共7 小题,每道题4 分,共 28 分；11已知某三棱锥的三视图（单位：的体积等于3 cm cm）如下列图,就该三棱锥12如某程序框图如下列图,就该程序运行后输出的值是A2,13设公比为q q0的等比数列a n的前 n 项和为S 如S 23 a
6、 22,S 43 a 42,就 q14如将函数f x x 表示为 5f x a 0a 11x a 21x 2a 31x 3a 41x4a 51x 5,其中0a ,a ,12a , ,a 为实数,就 53a15在ABC 中, M 是 BC 的中点,AM3,BC10,就 AB BC16定义：曲线C 上的点到直线的距离的最小值称为曲线C 到直线 l的距离已知曲线C ：1yx2a 到直线 l ： yx 的距离等于曲线C ：x2y2 42到直线 l ： yx 的距离,就实数a17设aR ,如x0时均有a1x1x2ax10,就 a三、解答题：本大题共5 小题,共72 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算
7、步骤；18（此题满分14 分）在ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c 已知cos3sinB5 cos C （）求 tan C 的值；（）如a2,求ABC 的面积2 分,19（此题满分14 分）已知箱中装有4 个白球和 5 个黑球,且规定：取出一个白球得取出一个黑球得1 分现从箱中任取（无放回,且每球取道的机会均等）3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和（）求 X 的分布列；名师归纳总结 （）求 X 的数学期望E X第 3 页,共 11 页20（此题满分15 分）如图,在四棱锥PABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形,BAD120,且 PA平面 AB
8、CD ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PA2 6,M,N分别为PB,PD的中点（）证明：MN平面 ABCD ；b0的（）过点A 作 AQPC ,垂足为点 Q ,求二面角AMNQ 的平面角的余弦值21（此题满分15 分）如图,椭圆C ：x2y21 aa2b2离心率为12,其左焦点到点 P 2 ,1 的距离为 10 ,不过原点O 的直线 l 与 C 相交于 A , B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分（）求椭圆 C 的方程；（）求ABP 面积取最大值时直线l 的方程f x 43 ax2 bxab 22（此题满分14 分）已知a0, bR ,函数（
9、）证明：当0x1时,b 的取值范畴（i）函数f x 的最大值为 | 2ab|a ；（ii）f x | 2ab|a0；（）如1f x 1对x0, 恒成立,求 a数学（理科）试题参考答案一、挑选题：此题考察基本学问和基本运算；每道题5 分,满分 50 分；141B 2D 3A 4A 5C 6D 7C 8B 9A 10B 二、填空题：此题考察基本学问和基本运算；每道题4 分,满分 28 分；111 121133 21410 12015-16 169 4173 2三、解答题：此题共小题,满分72 分；18此题主要考查三角恒等变换、正弦定理等学问,同时考查运算求解才能；满分分；名师归纳总结 （）由于 0
10、A,cosA2,得第 4 页,共 11 页3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sinA1cos2A53又5cos CsinBsinACsinCsinAcosCcosA5cosC2sinC33所以 tan C5（）由 tanC5,得sinC5,cosC1,66于是由asinB5cos C5C,得62及正弦定理aAcsinsin设c3B5 2ABC 的面积为 S ,就S1acsin219此题主要考查随机大事的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象概括、运算求解才能和应用意识；满分14 分；1 C 42 C 510,（）由题意得X 取 3,4,
11、5,6,且P X4P X3 3 C 55,3 C 9423 C 921P X52 C 42 C 55,P X64 C 413 C 9143 C 921所以 X 的分布列为X3 4 5 6 51051P42211421（）由（）知名师归纳总结 E X3P X34P X45P X56P X613第 5 页,共 11 页3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 20此题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础学问,空间向量的应用,同时考查空间想像才能和运算求解才能；满分 15 分；（）由于 M , N 分别是 PB , PD 的中点,所以 MN 是 PBD 的
12、中位线,所以MM / / BD又由于 MN 平面 ABCD ,所以MM / / 平面 ABCD （）方法一：连结 AC 交 BD 于 O ,以 O 为原点, OC , OD 所在直线为 x , y 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz ,如下列图在菱形 ABCD 中,BAD120,得, AQPC ,得6ACAB2 3,BD3AB又由于 PA平面 ABCD ,所以PA2 6P AA C在直角PAC 中,AC2 3,QC2,PQ4由此知各点坐标如下,名师归纳总结 设A 3 , 0 , 0,B0 ,3, 0,6,知第 6 页,共 11 页C 3 , 0 , 0,D0 , 3 , 0,P3 , 0 , 2
13、 6,M3,3,22N3,3,6,Q3, 0 ,2 622336mx,y, 为平面 AMN 的法向量3,AM3,3,6,AN3,由22223x3y6z0取223x3y6z022x1,得m2 2 , 0,1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设nx,y z为平面 QMN 的法向量由QM5 3,3,6 3,QN5 3,3,6知62623取z55 3x3y6 3z0625 3x3y6 3z062,得n2 2 , 0 , 5于是cosm n|m n3333m| |n |33所以二面角AMNQ 的平面角的余弦值为33方法二：在菱形 ABCD 中,BAD 120,得
14、AC AB BC DA ,BD 3 AB ,有由于 PA 平面 ABCD ,所以PA AB , PA AC , PA AD ,所以 PB PC PD 所以 PBC PDC 而 M , N 分别是 PB , PD 的中点,所以MQNQ ,且AM1PB1PDAN 22取线段 MN 的中点 E ,连结 AE , EQ ,就名师归纳总结 AEMN , QEMN ,3,得第 7 页,共 11 页所以AEQ 为二面角 AMNQ 的平面角由AB2 3,PA2 6,故在AMN 中,AMAN3,MN1BD2AE3 32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在直角PAC 中,
15、 AQPC ,得AQ 2 2,QG 2,PQ 4,2 2 2在 PBC 中,cos BPC PB PC BC 5,得2 PB PC 62 2MQ PM PQ 2 PM PQ cos BPC 5在等腰 MQN 中,MQ NQ 5,MN 3,得2 2 11QE MQ ME2在 AEQ 中,AE 3 3,QE 11,AQ 2 2,得2 22 2 2cos AEQ AE QE AQ 332 AE QE 33所以二面角 A MN Q 的平面角的余弦值为 333321此题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础学问,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体才能；满分 15 分；（）设椭圆左焦点为
16、 F c,0,就由题意得2 c 1 10c 1,a 2c 1得a 2所以椭圆方程为名师归纳总结 x2y21舍去 故第 8 页,共 11 页43（）设A x 1,y 1,B x 2,y 2,线段 AB 的中点为 M 当直线 AB 与 x 轴垂直时, 直线 AB 的方程为x0,与不过原点的条件不符,可设直线 AB 的方程为ykxm m0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由y2kxym12消去 y ,整理得3 x4234 k22 x8 kmx2 4 m120,（1）就2 264 k m434k24 m2120x 1x24 m238km24k,12x x2所
17、以 AB 线段的中点M8 km2,4 m234k212,34 k34 k2由于 M 在直线 OP 上,所以33m232km,4k4k2得m0（舍去）或k3 2,m20,就此时方程（ 1）为3x23mx3122 m0,x 1x 2m32 mx x 23所以|AB|1k2|x 1x 2|3912m2,6设点 P 到直线 AB 距离为 d ,就名师归纳总结 d| 822m|2 |m4|,17m17,第 9 页,共 11 页32213设ABP 的面积为 S ,就S1|AB|d3m2 4 12m2,26其中m 2 3,00,23,令u m 122 mm42,m 2 3,23u m 4m42 m2 m64
18、m4m- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以当且仅当m17,u m 取到最大值,故当且仅当m17, S 取到最大值20综上,所求直线l 方程为 3x2y2 722此题主要考查利用导函数争论函数的性质、线性规划等基础学问,同时考查推理论证才能,分类争论等综合解题才能和创新意识；满分14 分；b|a12x1（）（i）f 12ax22 b12 a x2b6a当b0时,有f 0,此时f x 在 0, 上单调递增所以当 0x1时,f x maxmax 0,f1maxab ,3ab 3 ab b2 a|2aab b2 a（ii ）由于 0x1,故2 x当b2a 时
19、,f x |2ab|af x 3 ab43 ax2 bx2 a3 4 ax4 ax2 a2 23 x当b2a 时,2 2x3f x |2ab|af x ab4ax32 1x2a4ax34 1x2a设g x 23 x2 x1,0x1,就g x 6x226x3x3,33于是所以,xg0 0,3 333 3,11 3g 1 1减- 0 + g x 微小值增1 34 3g x min0,39所以名师归纳总结 当 0x1时,23 x2x10第 10 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故f x | 2ab|af x ab2 2x32x10名师归纳总结 （）由（ i）知,当 0x1,f x max|2 ab|a ,所以第 11 页,共 11 页| 2ab|a1如 | 2ab|a1,就由（ ii ）知f x | 2ab|a1所以1f x 1对任意 0x1恒成立的充要条件是| 2 a0b|a1,a2 ab02ab0即3 ab1,或ba1（1）a0a0在直角坐标系aOb 中,（1）所表示的平面区域为如下列图的阴影部分,其中不包括线段BC ,作一组平行直线abt tR ,得1ab3所以的取值范畴是 1,3 - - - - - - -