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1、2022年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共1 0 小 题，每小题4 分，共 4 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设集合4=1 ,2 ,8=2,4,6 ,则 A|jB=（）A .2 B.1 ,2 C .2,4,6 D.1 ,2,4 ,62.已知a,b w R ,a+3i=g+i）与为虚数单位），则（）A .a=,=3 B.a=1 ,b=3 C .a=1 ,b 3 D.a=,b=3x-2.,0,3.若实数x ,y 满足约束条件2x +y -7 0,则 z =3x +4），的最大值是（）x y 2,0,A .20 B.1 8 C .1 3 D.64.设 x w
2、 R ,贝 s in x=l 是 co s x =0 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示（单 位：cm）,则该几何体的体积（单 位：加）是（）C .713D.1 6 7136.为了得到函数y =2s in 3x 的图象，只要把函数y =2s in（3x +1）图象上所有的点（）A.向左平移土个单位长度 B.向右平移三个单位长度5 5C.向 左 平 移 个 单 位 长 度 D.向 右 平 移 个 单 位 长 度7.已知2=5,lo g 83=6,贝!4 3=（）25 5A .25 B.5 C .D.-9 38.如 图，已
3、知正三棱柱AB C-AB C，A C =A 4,E ,F 分别是棱BC ,AC上的点.记与 A 4,所成的角为夕，斯 与 平 面 A B。所成的角为尸，二面角尸-8 C-A的平面角为7,则（）A iGBA.战 版y B,像 h /C .展 勿 a D.（39.已知a,b e R,若对任意x e R ,-|+|x-4|一|21 一 5|.0,则（）A .1 ,b.3 B.1 ,b,3 C .a.A,b.31 0.已知数列 满足q=1 ,a“+i =4 -gd（wN），则（）5 5 7A .2 1 006f,i umu 2 B.2 v lOO4n o3 C .3VlOOan Wg V 2D.a.A
4、,b,37D.-1006!IOOl,2x贝！力 的 最 大 值 是 _ _ _ _.1 5.（6 分）现有7 张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从 这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为J,则尸=2）=,E=.r2、,2,1 6.已知双曲线力-方=l（a 0/0）的左焦点为尸，过尸且斜率为今的直线交双曲线于点，y）,交双曲线的渐近线于点8（，y?）且玉 0 1 .记 4 的前几项和为S”(e N*).(I)若 邑-2生/+6=0,求 S,；(n)若对于每个“e N*,存在实数c“，使 4+%,%+4 q,4+2+1 5J 成等比数列,求”的取值范围.21.
5、(15分)如 图，已知椭圆木+产=1 .设4，8 是椭圆上异于P(0,l)的两点，且点。(0微)在 线 段 上,直 线 孙，心分别交直线y =-；x +3 于 C ,。两 点.(I)求点P到椭圆上点的距离的最大 值；(n)已知a,曲线y =/(x)上不同的三点(%,/(%),(x2,/(%,),(x3,/(x3)处的切线都经过点(a,b).证 明：(i )若 ae ,则 0 6-7 (a)(-1)；2 e/m u 2 e-a 1 1 2 e-a(I I)O va ve)Xj x2，贝!J F z-i -r-.e 6e x x3 a 6e(注:e =2.71 828是自然对数的底数)2022年浙
6、江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小 题，每小题4 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设集合4=1 ,2 ,8=2,4,6 ,则 A|j8=（）A .2 B.1 ,2 C .2,4,6 D.1 ,2,4 ,6【思路分析】利用并集运算求解即可.【解析】=,2 ,B=2,4,6 ,.A U B=1 ,2,4 ,6 ,故 选：。.【试题评价】本题考查了并集的定义及其运算，属于基础题.2.已知a,b e R ,a+3i=S +i）i（i为虚数单位），则（）A .a=1 ,b=3 B.a=-1 ,b=3 C .a=-1 ,b=3 D.=1
7、,b=3【思路分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数相等求解.【解析】/a+3 i=（b+i）i =-l+bi,a,be R,b=3 ,故 选：B.【试题评价】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的定义，是基础题.x 2.0,3.若实数x ,y 满足约束条件2x+y-7,0,则 z =3x +4y 的最大值是（）无 _ y _ 2,。，A .20 B.1 8 C .1 3 D.6【思路分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可.x 2.0,【解析】实数x ,y 满足约束条件2 x+y-7,0,X y 2,0,则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，3 z由已知可
8、得42,3）,由3x +4y-z =0 得=一%*+%即求直线在丫轴上截距的最大值，由图可知：当直线3x +4y-z =0 过点A时，二取最大值，则 z =3x +4），的最大值是3x 2+4x 3=1 8,【试题评价】本题考查了简单线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属于基础 题.4.设 xeR，贝 U s in x =1 是 8Sx =0 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【思路分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可.【解析】,/s in2x +co s2x =l,当s in x =l时，则 co s x
9、=0，.二充分性成立，当co s x =0 时，贝!Js in x =l,.,.必要性不成立，/.s in 工=1 是 co s x =0 的充分不必要条件,故 选：A.【试题评价】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题.5.某几何体的三视图如图所示（单 位：on）,则该几何体的体积（单 位：。加）是（）2 X 1 1*1*2.1 *A .224 B.817 r C .TC D.13 3【思路分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可.【解析】由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，下部是圆台，所以几彳可体的画只为：x x F+%x F x 2+
10、1（2?x 乃+F x+7?x-x l2 X-）x 2=7T.2 3 3 3故 选：C .【试题评价】本题考蛰三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题.6.为了得到函数y =2s in 3x 的图象,只要把函数y =2s in（3x +/图象上所有的点（）A.向左平移工个单位长度 B.向右平移七个单位长度5 5C.向左平移看个单位长度 D.向右平移看个单位长度【思路分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解.【解 析】把 y =2s in（3x +（）图 象 上 所 有 的 点 向 右 平 移 存 各 单 位 可 得y=2s in 3(x -+y l=2s in 3x 6
11、 0 .故 选：D .【试题评价】本题主要考查了正弦型函数的图象平移，属于基础题.7.已知2“=5,抽3=2,则4内=()A .25 B.5 C .D .-9 3【思路分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可.【解析】由2=5,lo gs3=,可得8 =2妨=3,贝必，小=土 =苴=且=纪43*)2 32 9故 选：C .【试题评价】本题考查了指数、对数的运算性质，考查了运算求解能力，属于基础题.8.如 图，已知正三棱柱AB C-A8 G，A C =AA，E,F分别是棱3 C ,AC上 的 点.记斯 与/1 4，所成的角为a，防 与 平 面A B C所成的角为力，二面角尸-B C-A的平面角
12、为7,A .战 好y B.万领卜y C .霄/a D .a轰/0【思路分析】根据线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，转化求解即可.【解析】.正三棱柱A8 C-A4 G中，A C =A 4,，正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1 ,如 图，过下作F G L AC,垂足点为G ,连接G E ,则A A/F G ,.,.F与 心 所 成 的 角 为N E A G =a ,且t an a=G E ,FG又GEe 0,1 ,/.t an aG 0,1 z.EF与平面 A B C所成的角为 N E G =，且 t an/?=-!-e l,+o o),G E GEt an p.Ian a,，再过G点作G
13、 H B C,垂足点为H ,连接H F ,又易知F G 底面A BC,BC u底面A BC,.-.BCA.FG,X F G G H =G,.3 C _ L平面 G H F ,二面角 F-B CA的平面角为 N G W =y ,且t an y =-!-，又G e 0,1,G H G H/.t an/e l,+o o),t an/.ian cr ,又GE.GH,.t an/?,t an/,.(3),由得t an c领 ian/7 t an/,又 a,J 3,/e 0,9，y =t an x 在 2,)单调递增，c/3 y,故 选：A .B【试题评价】本题考查线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义
14、，考查了转化思想，属中档题.9.已知a,b&R,若对任意x e R ,a|x-/?|+|x-4|-|2x-5|.O,则（）A .67 1 ,/?.3 B.a,h3 C .a.A ,b.3 D.a.A ,h3【思路分析】取特值，结合选项直接得出答案.【解析】【解法一:取 x =4,则不等式为a|4-|-3.O,显然a*0 ,且 b w 4 ,观察选项可知，只有选项。符合题意.故 选：D .【解法二】由题意有：对任意的x e R ,有以2x-5|-|x-4|恒成立.;51 x,x W 一2设 x）=a|尤-6|,g（x）=|2x-5|-|x-4|=-3x-9,|x 4即 x）的图象恒在g （尤）的
15、上方（可重合），如下图所示:【试题评价】本题考查绝对值不等式的解法，作为选择题，常常采用特值法，排除法等提高解题效率，属于基础题.1 0.已知数列 氏 满足 =1 ,an+=4 一%;(w N*),则()5 5 7 7A .2Vl 004 n o B.lOO6Z wy j 3 C .3 1 00q(x)D.1 00。1n o|,综合即可得到答案.【解析】-an+l-a=-I0 3 3 an 3 3又 4=1 0，则 a“0,-+l=2.q an+1 1-z3 3 a+l an 3i|i 1 2 3 3 3(招.；I (1)=一 4/贝(J a,-,1 006Z.(x)1 00 x-=3；4 q
16、 3 3 3 +2.1 02 1 02由 a“+i =。“一。;得 a”+i ，得-一3 3 ”+14 3-a 3_1 1 八 1 、a=W(1+;)/3 3 +1 +2累加可 得，+占)+1-4-G-o,34 H3 x (2 I-3 F.H-1-0-0)34 H3 x (2 x 6 H8 x 93)1 00 x 40=一2综 上，|1 001(l0(-1)+2XC(T)2=8.令 x =l,贝!1%+4 +。2+3+。4+%=0 .又0=2 ,所以%+生 +3+。4+。5=-2.【试题评价】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题.1 3.(6 分)若3s in a-s in
17、/?=V1 0,。+=工,则 s in a=主何，co s 2/?=.2 一 1 0-【思路分析】由诱导公式求出3s in a-co s a=J i 6，再由同角三角函数关系式推导出s in a=/由此能求出co s 的值.【解析】v Ss in cr-s in =V1 0,/,/.3s in/io解 彳 导 s in a=I。,co sp =sin a =普co s 2/7=2co s2 Z 7-l=2x-l=.1 00 5故答案为：坐；3.1 0 5【试题评价】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.-X2+2,x,1,
18、1 4.（6 分）已知函数/（工）=1 则/（/&）=_ 当_；若 当 X/，勿 时，X+1,X1,2 28 x1 颗（X）3,则 的 最 大 值 是 _.【思路分析】直接由分段函数解析式求/（/（g）；画出函数/（X）的图象，数形结合得答案.x+2,工，【解析】函数/（幻=1X H-1,X 1.吗)=W)=2+土 上 又4 7 28作出函数/（x）的图象如图：由图可知，若当,句 时，W（x）3,则 匕 的 最 大 值 是 2+g-（T）=3+G .故答案为：卫；3+/5.28【试题评价】本题考查函数值的求法，考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题.1 5.（6 分）现有7 张卡片，分
19、别写上数字1,2,2,3,4,5,6 .从这7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为&，贝 4尸=2）=_义 _,E =.【思路分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义即可求解.【解析】根据题意可得:&的取值可为1,2,3,4,又3）啥号，p（g =2）=G失”；=4,尸=3）=&,C2 1-4）=方 飞，.-.（）=lx-+2x +3x +4x =,7 35 35 35 7故答案为：3；U.35 7【试题评价】本题考查组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的均值定义，属基础题.1 6.已知双曲线-=1（。0力0）的左焦点为F,H F且斜率为
20、 的直线交双曲线于a h-4。点A 3,y j,交双曲线的渐近线于点8（乙,%）且办。X2-1 FB|=3|FA ,则双曲线的离心率是.4-【思路分析】过点A作轴于点4 ,过点3作轴于点夕，依题意，点3在渐近线y =上,不妨设以?3?）,?0,根据题设条件可求得点A的坐标为（-工，生），代a a 9 9。入双曲线方程，化简可得，的关系，进而得到离心率.【解析】【解法一】如 图，过点A作轴于点A，,过点3作 的，x轴 于 点 出，A卜由于8（%,以）且工2 0，则点8在渐近线丁=一不上，不妨设3（加,?）,%0,a abtn设直线钻的倾斜角为，则t an。=2,则%=：,即心=：，贝！JI尸汗|
21、=4 ，4 FB 4a FB 4。O F =c=3/n ,=也 所也上，B B B F 3 3 3a 9a四=空1 =J 驷，贝（|xj=3加 一 例=网=主FBr B F 3 3 3 1 3 3 9.点A的坐标为（-坐，当,9 9a25c2 b2c2.4-=i,即=步 子a b cr 24 8c 3底.c=-=-.a 4故 答 案 为:蛔.4【解法一】根据I FB=3FA ,结合图象可知，点A在双曲线的左支上，点B在双曲线的斜率为正的渐近线上，过F且斜率为 的直线：y=U（x+（I）4a斜率为正的渐近线：y=-x（II）ac be联立（D（n）得 点B（3,而）FA =-F B-工 上根据|
22、F8|=3|E4|,可得 3，因为尸8=（3,3 a）,二点A的坐标为(-工，如),9 9a25c2 b2c2c 3而【试题评价】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题.1 7.设点尸在单位圆的内接正八边形A4 A的边A4上，贝II月T +可2+%2的取值范围是 _|1 2+22,1 6_.【思路分析】以圆心为原点，4 A3所在直线为X轴，AA所在直线为y轴，建立平面直角坐 标 系，求 出 正 八 边 形 各 个 顶 点 坐 标，设P(x,y)，进 而 得 到取 2+嗣2+取 a f +y)+S,根据点P的位置可求出f+y 2的 范 围，从而得到取+.+砥2的取值范围
23、.【解析】【解法一】以圆心为原点，4 A所在直线为X轴，AA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所小,则 A。，A A(1,O),A)(),A j(O,1),A(4，-争，4(T,。)，4点当，设 P(x,y),贝1 1网 2 +嗣 2 +可2 叫2+|叫2+|叫F+|也F+|四2+|叫叫F+|叫2=8(x2+/)+8,.C OS22.5啜jOP|1 ,1 +c os4 ijc2+y I ,2 M2+y2 1 ,.7 2+2例*(/+/)+8 1 6,即可;+寓2+.+%2的取值范围是“2+2&,1 6,故答案为：1 2+2 0,1 6.【解法二】因为时?=所 2 +两 2+2可西=OP+
24、a 2-2OPO所以 P+两 2 +.,+可 2 =Z（而 2 +两 2 -20P 两=80P+2 西 2 -20P 力Z=1 /=1 1=1因 为 西 2=1,所以t区=8;/=1因为正八边形是中心对称图形，8 8所以之o f =0,所以20户之。4 =0/=1 /=!7 7因为根据正八边形的性质得NA。4 =7所以cos 0 OP1 ,所以（cos工）2 OP2 1 ,即 也 上 2 W O P2 18 8 4所以2&+4W 8丽 0，所以C e（0,马,BsinC=l-cos2C =-,5 2 5由正弦定理可得：=,sin A smCo m fe T.4 as in C a.厂,4 石.
25、即有 s m A =-=s in C =x =，c c 4 5 5(II)因为 4a=有 c=a=c v c,4所以A 和C D E F 都是直角梯形，AB/DC,DC/EF,他=5,D C =3,EF =,Z B A D=Z C D E=6 0，二面角了一 D C8 的平面角为 60。.设 M ,N 分别 为 钻,的中点.(I)证 明：FNA.AD；(H )求直线8 M 与平面A D E 所成角的正弦值.【思路分析】（I）根据题意证出FNL平面，即可得证;（H）由 于 硒，平面ABCD,如图建系,求得平面4）的法向量，代入公式即可求解.【解答】证 明：（/）由于CD_LCB,CD CF,平面
26、4 B 8 C 平面CDEF=CD,C Fu平面CD瓦 ,8 u平面ABC。,所以Z F C B为二面角F-D C-B的平面角，贝!|ZFCB=60。,平面 CBF,贝!|C）_L/W.又 CF=拒 9 口 -E F）=2瓜 CB=g（AB-C D）=2旧,则 ABCr是等边三角形，N 为 8 c 的中点，则 C 8L 尸 N,因为 ZX7JLFC,DCA.BC,FCpBC=C ,FC u平面EC8,3C u平面 FCB,所以。C_L平面FCB,因为K V u平面EC3,所以DCJ.RV,又因为 OCnCB=C,Cu平面 A 8 8 ,CBu平面 ABC。,所以/W_L平面ABC7）,因为A
27、D u平面,故 RV_LAD；解：（H）由 于 平 面 ABCD,如图建系：于是8(0,瓜0),4(5,6,0),尸(0,0,3),芯(1,0,3),(3,-6,0),则(3,立 上)，2 2*=(3,-乎,|),丽=(2,2 6,0),D E=(-2,&3),设 平 面 的 法 向 量”=(x ,y ,z),niln-D A =0(2x +2 6 y=0.r.r贝U 一 ,.二，令x =6 ,贝!ly =1 ,z =6 ,n-D E=0 1-2x +j3y+3z =0，平面AD E的法向量=(6-1,扬,设3 M与平面4)E所成角为。,则 s in”gu 侦.|BM|n|1 4【试题评价】本
28、题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题.20.(1 5分)已知等差数列”“的首项4=-1 ,公差,/1 .记应 的前项和为S“(e N*).(I)若5 4-2%/+6 =0，求S.；(n)若 对 于 每 个,存在实数q,使q+c“，a+l+4c,*+1 5g成等比数列，求d的取值范围.【思路分析X I)由等差数列“的首项4 =-1及 邑-2/4 +6=0可得关于公差d的方程,再由公差d的范围可得d的 值，再由等差数列的前项和公式可得S“的解析式；()由%+c“，a+1+4c,a.+1 5%成等比数歹！J ,可得关于的二次方程，由判别式大于。可得d的表达式，分类讨论可得”的取值范围.【
29、解析】(I)因为等差数列”“的首项卬=-1 ,公 差 d l,因为邑一2%+6 =0,可得-4+4)_ 2%的+6=0，即2(4+%)-2%/+6=0,q+4+3d(4+d)(q+2d)+3=0,RP 1 1 +3d (1 +6/)(1 +27)4-3=0,整理可得：d?=3 d，解得d=3,所以S.=叫4-n(n-l).323 3n2-5n-d =f+-=-222即S“=3万 5n2(n)因为对于每个w N”,存在实数%,使4+q,%+4 q一+1 5c成等比数 列，贝!(%+。+44)2=%+5-i)d +c,(4+(+l)d+1 5c,J,a=-1,整理可得：c；+(14-8)3+8 k
30、+储=0,则4=(14-8)”+8-4/.0 ,即(7-4”)+4.”或(7-4)+4,-d ,整理可得(3-2)”.-2或(2-)式,-1 ,当=1 时,可得.-2 或 d”-1,而 41,所以4,-1(舍),所以d 的范围为(1,收)；=2 时，4,2 或 0，而,所以此时dw(l,2,当为大于2 的任何整数，二-或/!，而 d l,2-3 n-2所 以 办 一J (舍)，d l恒成立；综上所述,=2 时，d e(l,2；为不等于2 的正整数时，d 的取值范围为(1,内),都存在c“，使 4,+q,a+l+4c,晒+154成等比数列【试题评价】本题考查等会列的性质的应用及等比数列的性质的应
31、用，恒成立的判断方法,属于中档题.21.(15分)如 图，已知椭圆三+V =1 .设4,B 是椭圆上异于尸(0,1)的两点，且点Q(0,；)在线段AB上，直 线 以,P5分别交直线y=；x+3于 C,O两点.(I)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(n )求|8|的最小值.【思路分析】(I)设椭圆上任意一点M(x,y)，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解；(n)设直线他方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，进而表示出|玉-9 1，再分别联立直线公，直线8P与直线 =-；*+3，得到C，。两点的坐标,由此可表示出I 8|,再转化求解即可.【解析】(I)设椭圆上任意
32、一点M(x,y),贝J|PM|2=x2+(y1)2=12I2y2+y2-2y+l=Uy22y+13,yG-l,1,而函数z =-l l/-2 y +1 3的对称轴为y=-e -1,1,则其最大值为-1 1 x（1）2+2*+1 3=出,1 1 1 1 1 1 1尸河1,皿=旧=等，即点P到椭圆上点的距离的最大值为等；（H ）设直线A 8:y =fcr +；,A（%，x）,3（X2，%），,1y=k x+-联 立 直 线 即 与 椭 圆 方 程 有2 2，消 去y并整理可得，（1 2r+1濡+1 2质-9=0,X 2.由韦达定理可得，西+N 7 Tg=-6，1 6公+112k2+设 C(w,y,
33、),D(X4,y4),直线 A P:y =-x+1 ,B P:y=-x +1 ,当x2y -1y=x +联立 办1 cy -x +3U 2y =XT以及 力1 cy =x +3U 2可得毛=(2Z +1)X1 14X2(2&+l)x)1.由弦长公式可得所以 卬I =后I 41=当一 1 一（2二 篇 一 13-T+1 2（2）当上-：时，记/（4）（1）当 k-g 时,7)=；：即 卬2&；州半，则3攵+11 6Z 3(32+1)2 J1 6芯+1故女）在 6金 上 单 调 递 减，在 舟3+8）上单调递增.1 6(2k+1)%+1)/T(2%+1)2 不 -(2%+1)(%+1)+1J等 X
34、|+X,=-Jj-,XX2=-7一 T 42化 简 得：|cz)|=5.互透1*1 2 I3Z +1 I所 以/任)最 =金，即卜0|2坐.综上所述，当&.时，|卬 取最小值 竽.【试题评价】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于难题.22.(1 5 分)设函数 f(x)=+ln x(x 0).2x(I)求/&)的 单 调 区 间；(n)已知a,b w R ,曲线 y =/(x)上不同的三点(X,/(%),(x2,/(x2),(&，/(&)处的切线都经过点(a,b).证 明：(i )若 a e，
35、则 0 b-f (a)(1)；2 ez ：、Nc m.i 2 e-a 1 1 2 e-a(I I)右0 V 4 V e ,3 v x 2 V玉i /贝！J i-i 0)，由题意得到函数g(x)有三个不同的零点推导出g(x)极 大 值=g (e )0，g(x)极 小 值=g(a)0 8 幺+1 ,要证明A/(a)3令(a)=/a+巴,2e 2 e 2a 2 2a贝U (a)=L 二=网”0，利用导数性质能证明”e，贝!|0万一/(a)0)有三个不同的零点，设,=/，则g(x)化为2广 x x xh(t)=(-t+t)ci b+et lnt ,/(在二个不同的零点。J，且4 2 ，3，推导出要 证
36、 明 结 论，只 需 证 明L +4-(2-=)必+G-(2+=)1,0,由 此 能 证 明a 6e e 6e2 e-a 1 1 2 e-a T-+0)，2xP 1 9_ r 一 0-。)=_9+上=2，*0)，2x x 2x由/。)=4二 0 ,得,./(X)在(：,+8)上单调递增；0,得0 0),lx x x曲线y =/(x)上不同的三点(%，/(占)，(x?,/(匕)，(,/(*3)处的切线都经过点(a,)，.函数g(x)有三个不同的零点，8W V x2)X2 X X1：a e ,:.x a 时,g(x)0,g(x)单调递增，e x a 时,g(x)0,g(x)极 小 值=g (a)+
37、l 0 ,且 J/w-0,由有人 4+1 ,2a 2e：b-f(a)=b-lna,要证明匕一f(a)1(-1),2a 2 e只需证明 +l-/也 ,2e 2a 2 e 2a 2令(a)=/+,贝(1 厅,:.h(a)在(e,w)上单调递增，2a a 2a 2a二(a)h(e )=-1 ,:.b f(a)e，则。v O-f(a)1)；2 e(i i )证 明：由 知 g(x)=(-=+3。-匕+/加-1(工。)有三个不同的零点，2x x x设，=，贝!Jg(x)化为(/)=(一+力。一人+一加，一1 ,x2力在三个不同的零点4,马，G，且 6“认，,.,(，)二九(),(i t3)ln+2 e(
38、ti+/3)(/1 f3)=0,%2a /、i I nt,-I nt,e +彳 2 e(tl+4)=-,2。一 与解得4+f3=(e +“-皿也)2，ti-13 ae要证明结论,只需证明+广(2-芸)皿+小(2+=)i,o ,a 6e e 6e 即&+)2-(-+-)a,+幻-(2-x-+募)”o ,a e a 6e-e oe 把式代入得只需证明(e +a-b U-nt)(?,+r3)-(-+2)(4+j)+(2-#)(2 +0,t-t3 ae a e a 6e e 6e 即_Z to,-bit,&+幻+(2_咨(2ae a be e令=s ,由题意得s 2 1 ,+-6 7)0,aAi -+
39、*1 47 2/(r+4-+1)72n3(n2+4H+1)，2 e-a 1 1 2 ea二.一 +e，则0 f L ,/?(r)0,力。)单调递减；a-r-,万0，单调递增;a e,/(/)0,/7单调递减；e1 e由题知函数 有三个不同的零点4小 小，则必有(与二三+ln。-=/()-方 0 ,因此6-/(a)=-!-a+l_/(e)()有三个不同的零点.X t2+ta-h +et-n t-.,/(/)有三个不同的零点，J2，：？，且，i ，2 匕因为a)=&)，所以 e(f|-3)-ln，+5 2-e(f+4)&f)=。，h乙当、/s 一e n时 I，2-S-+-l-,In s 2c/-7
40、-I1n e=2-+-l-Inf n,(n =c 1),a s-1 a 一 1 aa二只需证明空n-；、35 +1),/Inn -n+4 +12 n 6 n)2-l(l-l)0,+l ,1 2 1 1 1 5 1 1 .-/-(-r)2n-(l)n 2 7 7 6 n n o nn+3(+l)lr2 1 J 1v ls 1 Z 1 1 .n n2+4n +1 2 n 6 n n2 6 n(60/23-47n2-8/?+l)(/?-l)2(8n2-8n +l)(n-l)2e 1()由(-知8(力=2x2+x设:=f,则g(x)化为(。=/x-i In A -In t,In A-In%)2因 此,
41、e +-|2 e(Z j+g)=-,解得4+g e +o-，2 A I t-t3 J ae要证明结论,只 需 证 明I +4 -6 2 )4+，3-1 6 2 0 1即(A+A)-2+2 (4+A)2一：?K O,把 式 代 入 得 只 需 证 明a e j ya 6e 八e 6e )n n即-2-I-n-t-,-I-n -(z +g、)+(-2-e-r62f V 2+e/-a2 e .ae r,-t3 a 6e 八e 6e J t3 a当、“s 一e 时n i ，2-5-+-1 1_n s 2-0-In e =2_ -n-+-1 -.I n n (.其.x.中,=e 11)、,a 5-1 a n-aaq：(+i)邛邛一上一斗7 1 1 n 4-4H4-1 2_n 6n n 61 n(60/_ 47n2-8n +l)(n-l)2(8n2-8n +l)(n-l)2723(/+4+I)72n3(n2+4n +l)【试题评价】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是 难 题.