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1、1.3.2球的表面积和体积球的表面积和体积人类的家地球人类未来的家火星探索火星的航天飞船 如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？为什么？ 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？哪一个球充入的气体较多？为什么？ 怎样求球的表面积和体积？怎样求球的表面积和体积？ 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成球既没有底
2、面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？mVVmh实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积曹冲称象曹冲称象H假设将圆n等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多边形)(2113221AAAAAApn正多边形pC21圆正多边形时，当CCRpn,2221RRRS圆pA3回顾圆面积公式的推导回顾圆面积公式的推导 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了积公式而
3、发明了“倍边法割圆术倍边法割圆术”他用加倍的方式他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小割之弥细，所失弥小”这样这样重复下去，就达到了重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”这是世界上最早的这是世界上最早的“极限极限”思想思想,21RRr,)(222nRRr已知球的半径为已知球的半径为R,用用V表示球的体积表示球的体积.)2(223nRRrAOAOB2C2r2r3r1OR)1( inR半半径径：层层“
4、小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOAnininRnRrVii,2, 1,)1(1232niinRRri,2, 1,)1(22nVVVV21半球)1(2122223nnnnR6) 12() 1(123nnnnnnR6)12)(1(1123nnnR) 1(1 21 11 1222223nnnnnR6)12()1()1(21222nnnn6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn时时当当.343233RVRV 从从而而半半球球334RVR 的的球球的的体体积积为为：定定理理：半半径径是是 在球的体积公式的推导过程中，使用了在球的体积公式的推
5、导过程中，使用了“分割、求近似值、再将近似值转化为球的体分割、求近似值、再将近似值转化为球的体积积”的方法：的方法： 即先将半径即先将半径 n 等分；再求出每一部分体积等分；再求出每一部分体积的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；当近似体积；当 n 无限变大时，就可得到半球的无限变大时，就可得到半球的体积体积 例例4 4 某街心花园有许多钢球（钢的密度是某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm3 3），每个钢球重），每个钢球重145kg145kg，并且外径等于，并且外径等于50cm50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的
6、还，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的如果是实心的，请你计算出它的内是空心的如果是实心的，请你计算出它的内径（径（取取3.143.14，结果精确到，结果精确到1cm1cm） 解：解：由于外径为由于外径为50cm50cm的钢球的质量为：的钢球的质量为： 街心花园中钢球的质街心花园中钢球的质量为量为145000g145000g，而，而145000517054145000517054，所以钢，所以钢球是空心的球是空心的)(517054250349 . 73g 例例4 某街心花园有许多钢球（钢的密度是某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/cm3），每个钢球重），每个钢球重145kg，并且外
7、径等于，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的如果是实心的，请你计算出它的内是空心的如果是实心的，请你计算出它的内径（径（取取3.14，结果精确到，结果精确到1cm） 解：解： 设球的内径是设球的内径是2xcm，那么球的质量为：，那么球的质量为：.8 .442x 答：答：钢球是空心的其内径约为钢球是空心的其内径约为45cm14500034250349 . 733x,42.112393x. 4 .22x 球面不能展开成平面图形，所以求球的球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积表面积无法用展开图求出，
8、如何求球的表面积公式呢公式呢? ? 回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法, , 得到启发，得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式式第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积为：则球的体积为：iV 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为iVnVVVVV 321iSOO第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211
9、iiihSV 31 O OiSiVO O第第三三步：步：化化为为准准确确和和RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小小锥体锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的体体积积为为：RiS iVihiSO OiV,31343RSRRhi的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径径 .42RS从而 例例5 如图表示一个用鲜花作成的花柱，它的下面如图表示一个用鲜花作成的花柱，它的下面是一个直径为是一个直径为1m、高为、高为3m的圆柱形物体，上面是一个的圆柱形物体，上面是一个半
10、球形体如果每平方米大约需要鲜花半球形体如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（取取3.1)？ 解：解：圆柱形物体的侧面面积圆柱形物体的侧面面积半球形物体的表面积为半球形物体的表面积为,6 . 1211 . 32222mS所以所以.9 .106 . 13 . 9221mSS.16351509 .10朵答：答：装饰这个花柱大约需要装饰这个花柱大约需要16351635朵鲜花朵鲜花,3 . 9311 . 321mS(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍, ,则半径变为原来的则半径变为原来的 倍倍. .(2
11、)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的 倍倍. .(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是 . .(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是 . .2422:134:1 影响球的表面积及体积的只有一个元素，影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是就是球的半径球的半径. . 1.1.球的体积和表面积的推导方法：球的体积和表面积的推导方法： 分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和 2. .影响球的表面积及体积的只有一个元影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是素，就是球的半径球的半径. .