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1、1.3.2 1.3.2 球的体积和表面积球的体积和表面积1.1.掌握球的体积、表面积公式掌握球的体积、表面积公式. .2.2.会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力生应用数学的能力3.3.能解决与球的截面有关的计算问题及球的能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接内接”与与“外切外切”的几何体问题的几何体问题重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法本思想方法. .难点：推导球的体积和面积公式中空间想象能力的形成难点：推导球的体积和面积公式中空间想象能
2、力的形成. .地球我们可以近似看成一个球体地球我们可以近似看成一个球体柱体、锥体、台体的柱体、锥体、台体的表面积表面积各面面积之和各面面积之和rr0 r展开图展开图)(22rllrrrS 圆台圆台 圆柱圆柱)(2lrrS)(lrrS 圆锥圆锥球是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的球是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的表面积和体积也就是我们学习的内容表面积和体积也就是我们学习的内容. .柱体、锥体、台柱体、锥体、台体的体积体的体积ShV31锥体锥体hSSSSV)(31台体台体柱体柱体ShV SS 0S怎样求球的体积怎样求球的体积? ?rrmVVm怎样求球的体积怎样求球的体
3、积? ?h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球实验：排液法测小球的体积的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积hH小球的体积小球的体积 等于等于它排开它排开液体的体积液体的体积实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积割圆术割圆术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了发明了“
4、倍边法割圆术倍边法割圆术”. .他用加倍的方式不断增加圆内接正他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之割之弥细，所失弥小弥细，所失弥小”. .这样重复下去，就达到了这样重复下去，就达到了“割之又割，以割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”. .这是世界上最早的这是世界上最早的“极限极限”思想思想. .当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式份数无穷大时，就得到了圆的面积公式法法导
5、导出出球球的的体体积积公公式式下下面面我我们们就就运运用用上上述述方方即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积球的体积球的体积分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和,21RRr ,)(222nRRr 问题问题: :已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积. .,)2(223nRRr AOB2C2AOOR)1( in
6、R半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOA球的体积球的体积nininRnRrVii,2, 1,)1(1232 niinRRri,2, 1,)1(22 nVVVV 21半球半球)1(2122223nnnnR 6)12()1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 球的体积球的体积6)12)(11(13nnRV 半球半球.01,nn时时当当.343233RVRV 从而从而半球半球334RVR 的球的体积为：的球的体积为：定理：半径是定理：半径是球的体积球的体积2)2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面,
7、,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面, ,球心作为球心作为顶点便得到顶点便得到n n个棱锥个棱锥, ,这些棱锥体积之和近似为球的体积这些棱锥体积之和近似为球的体积. .当当n n越大越大, ,越接近于球的体积越接近于球的体积, ,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. .1) 1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个小块个小块, ,每小块表面可近似看作一个平面每小块表面可近似看作一个平面, ,这这n n小块平面面积之和可近似小块平面面积之和可近似看作球的表面积看作球的表面积.
8、 .当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时, ,这这n n小块平面面积之和接小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积近于甚至等于球的表面积. . 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢求出，如何求球的表面积公式呢? ?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法, ,是否也可借助于这种是否也可借助于这种极限极限思想方法来推导球的表面积公式呢思想方法来推导球的表面积公式呢? ? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式球的表面积球的表面积oiS
9、 o球的表面积球的表面积第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积为：则球的体积为：iV 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为iVnVVVVV 321iSO OO O球的表面积球的表面积第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O球的表面积球的表面积第第三三步：步：化化为为准准确确和和RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的
10、越细, ,则则: : “小锥小锥体体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又球的体积为：又球的体积为：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 从而从而球的表面积球的表面积Rhi的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径 球的体积与表面积球的体积与表面积1.1.球的体积公式：球的体积公式：34VR .32.2.球的表面积公式：球的表面积公式：2S4 R . 例例1 1（课本（课本P27P27例例4 4）：如图，圆柱的底面直径与高都等于）：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径球的直径. .求证
11、：求证： （1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的（2 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）球的表面积等于圆柱的侧面积. .23；证明证明: :（1 1）设球的半径为）设球的半径为R R，则圆柱的底面半径为，则圆柱的底面半径为R R，高为高为2R.2R.变式训练1：(tb9702301)一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比。例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各它的各个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A A
12、B BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O例题讲解例题讲解变式训练变式训练2： 长方体的一个顶点上三条棱长分别为长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这，是它的八个顶
13、点都在同一球面上，则这个球的表面积是个球的表面积是 .OABCO 例已知过球面上三点例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积，表面积体积，表面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 .34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解：在解：在 ;81256)34(343433 RV例例.已知过球面上三点已知过球面上
14、三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积变变3 3：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )( )(A)a(A)a2 2(B) a(B) a2 2(C) a(C) a2 2(D)5a(D)5a2 2【解题提示解题提示】这是一个组合体问题，解答此题只需画出这是一个组合体问题，解答此题只需画出三棱柱的直观图，弄清球心位置求出球的半径即可三棱柱的直观图，弄清球心位
15、置求出球的半径即可. .73113【解析解析】选选B.B.由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为与底面边长相等，均为a.a.如图，设如图，设O、O1 1分别为下、上底面中心，且球心分别为下、上底面中心，且球心O2 2为为O1 1O的中点，的中点，又又AD= a= a，AO= a= a，OO2 2= = ，设球的半径为，设球的半径为R R，则则S S球球= =3233a2222222117R =AO =a +a =a .3412222774 R =4a =a .1231.1.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上, ,它的棱长是
16、它的棱长是4 cm,4 cm,这个球这个球的体积为的体积为cmcm3 3. .2.2.有三个球有三个球, ,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面, ,一球切于正方体的各一球切于正方体的各侧棱侧棱, ,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点, ,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比_. _. 32 31:2 2:3 33.(20103.(2010湖北高考湖北高考) )圆柱形容器内部盛有高度圆柱形容器内部盛有高度为为8 cm8 cm的水，若放入三个相同的球的水，若放入三个相同的球( (球的半径球的半径与圆柱的底面半径相同与圆柱的底面半径相同) )后，水恰好淹没最上后，水恰好淹没最上面的球
17、面的球( (如图所示如图所示) )，则球的半径是，则球的半径是 _cm._cm.【解析解析】设球的半径为设球的半径为r r，则，则解得解得r=4.r=4.答案答案: :4 42324r6r=r3+8r ,34.4.一个球的半径扩大到原来的一个球的半径扩大到原来的3 3倍，则其表面积扩大到倍，则其表面积扩大到原来的原来的 _倍，体积扩大到原来的倍，体积扩大到原来的 _倍倍. .解：解：设球原来的半径为设球原来的半径为R R，表面积为，表面积为S S表表，体积为，体积为V V，则，则扩大后的半径为扩大后的半径为3R3R，表面积为，表面积为SS表表，体积为，体积为V,V, 答案：答案：9 279 2722S4 (3R)=9S4 R表表，334(3R)V3=27.4VR3熟练掌握球的体积、表面积公式：熟练掌握球的体积、表面积公式：324VR3S4 R 不能忍受批评，就无法尝试新事物。