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1、棱柱、棱锥和棱台的体积公式：v=当s=s时为棱柱体积公式v=sh.当s=0为棱锥体积公式v=.怎样求球的体积怎样求球的体积?h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积hH小小球球的的体体积积 等于 它它排排开开液液体体的的体体积积实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积曹冲称象曹冲称
2、象 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是回顾圆面积公式的推导回顾圆面积公式的推导当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式份数无穷大时，就得到了圆的面积公式分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和 割圆术 早在公
3、元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了面积公式而发明了“倍边法割圆术倍边法割圆术”。他用加倍的。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，就达到了。这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣不可再割，则与圆合体而无所失矣”。这是世界上。这是世界上最早的最早的“极限极限”思想。思想。已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示
4、球的体积.AOB2C2球的体积球的体积AOOROA球的体积球的体积球的体积球的体积球的体积球的体积定理定理:半径是半径是R的球的体积的球的体积R高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比阅读材料以及思考题1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来体积变为原来的几倍的几倍?2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,求这个球的体积求这个球的体积.8倍倍A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O 钢球直径是5cm,.把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,
5、至至少要用多少纸少要用多少纸?用料最省时用料最省时,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体球内切于正方体侧棱长为侧棱长为5cm两个几何体两个几何体相（内）切相（内）切:一个几何体的各个一个几何体的各个面面与另一个几何体与另一个几何体的各的各面面相切相切.O O两个几何体两个几何体相接相接:一个几何体的所有一个几何体的所有顶点顶点都都 在另一在另一个几何体的个几何体的表面表面上上A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OOBDAMR 球面不能展开成平面图形，所以球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，求球的表面积无法
6、用展开图求出，如何求球的表面积公式呢如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法,得到得到启发，可以借助极限思想方法来推导启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。球的表面积公式。球的表面积球的表面积球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球球(即球体即球体):):球面所围成的几何体。球面所围成的几何体。它包括它包括球面球面和和球面所包围的空间球面所包围的空间。半径是半径是R R的球的体积：的球的体积：球的表面积球的表面积第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表
7、面积分别为：则球的体积为：则球的体积为：O OO O球的表面积球的表面积定理定理 半径是半径是 的球的表面积：的球的表面积：球的表面积是大球的表面积是大圆面积的圆面积的4倍倍R1、地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约为6370km，火星的直径约为地球的一半。(1)求地球的表面积和体积；(2)火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？解：（1）（2）例例1.1.如图如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证求证:(1)(1)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二球的表面积等于圆柱全面积的三分之
8、二.O O证明证明:R R(1)(1)设球的半径为设球的半径为R,R,得得:则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为R,R,高为高为2R.2R.(2)(2)222624RRRSppp=+=圆柱全圆柱全Q例例2.2.如图，已知球如图，已知球O O的半径为的半径为R,R,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长的棱长 为为a,a,它的各个顶点都在球它的各个顶点都在球O O的球面上，的球面上，求证：求证：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分
9、析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：变题变题1.1.如果球如果球O O切于这个正方体的六个面，则有切于这个正方体的六个面，则有R=R=。4.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_.1.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3.若两球
10、表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.题组一题组一:题组二题组二:1、一个四面体的所有的棱都为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（）A 3B 4C D 62、若正四体的棱长都为、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相，内有一球与四个面都相切。求球的表面积。切。求球的表面积。3、一个四面体的所有的棱都为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（）A 3B 4C D 6C 解：设四面体为解：设四面体为ABCD，为其外接球为其
11、外接球心。心。球半径为球半径为R，O为为A在平面在平面BCD上上的射影，的射影，M为为CD的中点。的中点。连结连结BAOBDAMR4、一个四面体的所有的棱都为、一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（一球面上，则此球的表面积（）A 3B 4C D 6 解法解法2 构造棱长为构造棱长为1的正方的正方体，如图。则体，如图。则A1、C1、B、D是是棱长为棱长为 的正四面体的顶点。的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为的外接球，此时球的直径为 ，选选A5、若正四体的棱长都为、若正四体的棱长都为6，内有一球与
12、四个面都相，内有一球与四个面都相切，求球的表面积。切，求球的表面积。解：作出过一条侧棱解：作出过一条侧棱PC和高和高PO的截面，则截面三角形的截面，则截面三角形PDC的的边边PD是斜高，是斜高，DC是斜高的射影，是斜高的射影，球被截成的大圆与球被截成的大圆与DP、DC相切，相切，连结连结EO，设球半径为，设球半径为r，由由6、若正四体的棱长都为、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相，内有一球与四个面都相切，求球的表面积。切，求球的表面积。解法解法2：连结：连结OA、OB、OC、OP，那么，那么解题小结：解题小结：1、多面体的、多面体的“切切”、“接接”问题，必须明确问题，必须明确“切切”
13、、“接接”位置和有关元素间的数量关系，常借助位置和有关元素间的数量关系，常借助“截面截面”图形来解决。图形来解决。2、正三棱锥、正四面体是重要的基本图形，要掌握其、正三棱锥、正四面体是重要的基本图形，要掌握其中的边、角关系。能将空间问题化为平面问题得到解中的边、角关系。能将空间问题化为平面问题得到解决，并注意方程思想的应用。决，并注意方程思想的应用。3、注意化整为零的思想的应用。、注意化整为零的思想的应用。4、正四面体的内切球半径等于其高的四分之一，外接、正四面体的内切球半径等于其高的四分之一，外接球半径等于其高的四分之三。球半径等于其高的四分之三。小结：小结：（1 1）有关球和球面的概念。）有关球和球面的概念。（2 2）球的体积公式：）球的体积公式：球的表面积公式：球的表面积公式：（3 3）用）用“分割分割-求近似和求近似和-化为准确和化为准确和”的数学方法推出了球的体积和表面积公式：的数学方法推出了球的体积和表面积公式：（4 4）球的体积公式和表面积的一些运用。）球的体积公式和表面积的一些运用。