《2022年《概率论与数理统计》习题及答案第四章.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年《概率论与数理统计》习题及答案第四章.docx（42页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载概率论与数理统计习题及答案第四章1一个袋子中装有四个球,它们上面分别标有数字1,2,2,3,今从袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一球,以X Y 分别表示第一次,其次次取出的球上的标号,求X Y 的分布列 . 解X Y 的分布列为23X Y 1101161221 6116631 121 60其中P X1,Y1P X1 P Y1 | X1P X1,Y2 P X1 P Y2 | X121436余者类推；2将一枚硬币连掷三次,以 X 表示在三次中显现正面的次数,以 Y 表示三次中显现正面次数与
2、显现反面次数之差的肯定值,试写出 X Y 的分布列及边缘分布列；解k一 枚 硬 币 连 掷 三 次 相 当 于 三 重 贝 努 里 试 验 , 故XB3,1. 第 1 页,共 22 页 2P Xk C 31 3 ,2k0,1,2,3,于是 X Y 的分布列和边缘分布为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -Y X 0优秀学习资料3欢迎下载12pj033061888其中31Y0012X1 | XC10 313,888p i133
3、18888P X0 ,1P X0 P YP X1,Y1P X1 P Y1|11 238余者类推；3设 X Y的概率密度为 第 2 页,共 22 页 - - - - - - - - - f x y , 1 6 8xy ,0x2,2y4,0,其它 .又（1）D , |x1,y3；（2）D , |xy3；求P X YD 解（ 1）P x y , D41316xy dxdxy028x 161 293 8；4 822 （ 2）P X YD13x16xy dxdy0282 y 131x 1x dx113x24dx8020x+y=3 5. 244设 X Y的概率密度为f , x yC R0x2,y2,2 x
4、y2R2,其他.求（ 1）系数 C ；（2） X Y落在圆2 xy2r2rR 内的概率 . 解（1）1Cx 2y 2R2Rx2y2dxdy3 C RC2R2 r drd00细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -C3 R优秀学习资料欢迎下载23 RC3 R3,3C3. 0,1, 第 3 页,共 22 页 3 R（2）设D , |x2y2r2,所求概率为P X Y , Dx 2y2r23Rx2y2dxdyR 33Rr22r33 r212 r. R 33R 23 R5
5、已知随机变量X 和 Y 的联合概率密度为f x y , 4 xy ,0x1,0y10 ,其它.求 X 和 Y 的联合分布函数. 解1设 X Y 的分布函数为F x y ,就0 ,x0或yxy4 uvdudv ,0x1, 0y00F x yxyf u v dudvx14 uydudy ,0x1,y1,001y4xvdxdv ,x1, 0y1,001 ,x1,y1.0,x0或y0,2 x y2,0x1, 0y1,x2,0x1,y1,y2,x1, 0y1,1 ,x1,y1.解2由联合密度可见,X Y 独立,边缘密度分别为fX 2 ,0x1,fY 2y,0y1,0 ,其他;0 ,其它.边缘分布函数分别
6、为F X ,F Y y ,就细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -F X xfX优秀学习资料,欢迎下载0,x0, u dux20x1,1 ,x2,1.1,F Y yfX v dv0,y0,y20y1 ,y1.0或y0,设 X Y 的分布函数为F x y ,就x0,2 x y0x1, 0y1F x y , FX F Y x2,0x1,y1,y2,x1, 0y1,1 ,x1,y1.6设二维随机变量X Y 在区域D:0x1, |y
7、|x 内听从匀称分布,求边缘概率密度；y 解X Y 的概率密度为D f x y , 1, , D,0 1 x 0,其他.关于 X 和 Y 的密度为fXxf x y dy0 ,x10 或x102 ,0x1,xdy,0x1,0 ,其他.xfYyfx y d x0 ,y1,1y,1y0 ,1yd x ,y0 ,1y,0y1,1 yd x7设 1 |y|,|y| 1,0y1,其他.y1.0 ,x=y y 0,其他.X Y的概率密度为x+y=1细心整理归纳 精选学习资料 0 x 第 4 页,共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师
8、归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -f x yey,优秀学习资料欢迎下载0xy,0 ,其他.求边缘密度和概率P XY1解fXxfx y d y0x,x0 ,0 ,x0 , 第 5 页,共 22 页 - - - - - - - - - y e dy ,x0 ;exx0.fYyfx y d x0 ,eyd xyy0 ,0 ,y,yy0 ,y0 ;y e0.0P XY1x y1f x y dxdy11xy e dy dx1ex1 xe e dx220x0112e2e1. 8一电子仪器由两个部件组成,以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已
9、知X Y 的联合分布函数为：F x y , 1e0.5xe0.5ye0.5xy,x0,y00,其他.（1）问X Y 是否独立？为什么？（2）求两个部件的寿命都超过100 小时的概率 . 解（1）先求边缘分布函数：FX y limF x y , 1e0.5x,x0,0,x0.F Y x limF x y , 1e0.5y,y0,0,y0.由于F x y , FX F Y y ,所以X Y 独立 . （2）P X0.1, Y0.1P X0.1 P Y0.1 1P X0.11P Y0.1e0.05e0.05e0.1. 9设 X Y的概率密度为y ,x0,Y0,f x y , ex0,其他.间X Y
10、是否独立？解边缘密度为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -fX 优秀学习资料0欢迎下载x0,0 ,x0,f x y dy,0x ye e dy ,x0;ex,x0.fY 0 ,y0,y ,y=x x 第 6 页,共 22 页 ey,y0.由于f x yfXx f Yy ,所以X Y 独立 . 10设 X Y的概率密度为f x y , 8 xy ,0xy1,0 ,其他.10x1,问X Y 是否独立 . 0 解边缘密度0 ,x0或x1,4 12 xfX f x y
11、 dy1x 8 xydy , 0x1.0,其他;x f Y f x y dxy0 8 xydx , 0y1,3 4 , 0y1,0 ,其他;0 ,其他;由于f x y , fX fY y ,所以X Y 不独立；y 11设 X Y 的概率密度为f x y , 1xy,|x| 1, |Y| 1,0 40,其他.试证明 X 与 Y 不独立,但X2与2 Y 是相互独立的；证先求X Y 的联合分布函数F x y , 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -
12、 - - - - -0,优秀学习资料欢迎下载或y1,x1F x y , xy1uv dudv ,4|x| 1, |y| 1,x1或y111x11uvdudv ,|x| 1,y1,1141y1uv dudv ,4x1, |y| 1,111,x1,y1;0,1x1 y11x21y21,|x| 1,4161 2y1,x1, |y| 11 2x1,|x| 1,y1,1,x1,y1.关于 X 的边缘分布函数为FX y limF x y , 0 ,1,x11,1,1xxx21.1 ,关于 Y 的边缘分布函数为由于F X Y , 0,y1,F 1 , z t ,就Yt 第 7 页,共 22 页 F Y 1y
13、1,1y1,21,y1.FX F Y y ,所以X Y 不独立 . 再证X2与2 Y 独立：设X22 , Y 的联合分布函数为细心整理归纳 精选学习资料 F 1 , P X2z Y2tz0 ,t0zxz ,tP - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -Fz,t优秀学习资料t欢迎下载z ,tFz,tFz ,F关于0 ,z0或t0,83 页） 第 8 页,共 22 页 tz,0z1, 0t1,t,z1, 0t1,z,0z1,t1,1 ,z1,t1.X2 Y2
14、的边缘分布函数分别为由于0 ,z0,F X2 t limF 1 , z,0z1,1 ,z1.0 ,t0,F Y2 t,0t1,1 ,t1.F 1 , FX2 F Y2 t ,所以X2与2 Y 独立 . 证2利用随机向量的变换（参见王梓坤概率基础及其应用y 1设ZX2,T2 Y . 的 反 函 数 为函 数z2 x的 反 函 数 为x 1z,x 2z;t2 yt,y2t.J2141zt；J 11x 1,x 121z0t41,J22J11 ,J 12zt于是y 1,y 101zt2ztX2,Y2的概率密度函数为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -
15、- - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -f 1 , 22f x i,优秀学习资料欢迎下载yj |J ij|i 1 j 11 zt 1 zt 1 zt 1 zt 1 1 , 0 z 1, 0 t 1,4 4 zt0 , 其他 .1 , 0 z 1, 0 t 1,4 zt0 , 其它.关于 X 的边缘密度为 21, 0 z 1,f X 2 1 f , z t d t 2 z0 , 其它 .关于 Y 的边缘密度为 2f Y 2 2 1 ,t 0 t 1,0 , 其他 .由于 f 1 , f X 2 f Y 2 ,所以
16、X 2, Y 2独立 . 12设随机变量 X 与 Y 相互独立,下表列出了二维随机变量 X Y 的联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其余值填入表中空白处 . 解XYjY1yp ij2yiy 3jP Xx ip1xp111,2,1,2,3.1 8x 28P Yy i16设P Xx i,yj由联合分布和边缘分布的关系知细心整理归纳 精选学习资料 p 111 第 9 页,共 22 页 24 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -
17、由独立性p 1 11p1 1优秀学习资料欢迎下载1p 13,故p 131,1p 1 3,即1168424812p 11111,p 23p i10,2481244p 221p 223,所以p 223,p218482p31111p231116233124所以 X Y 的分布为XY1y2y3yP Xx i1x1111248124X22x13138844P Yypj1111 62313已知随机变量X1和X2的概率分布为10101X1111,X21142422而且P X X201（1）求X1和X2的联合分布；（2）问X1和X2是否独立？为什么？解（1）P X X20 1知P X11,X21P X11,再
18、由联合分布和边缘分布的关系知X1,X2的分布为X2X1101P X2x 2 i01011442 第 10 页,共 22 页 1010122细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -P X 1x 1 i优秀学习资料欢迎下载1 111424（ 2）因P X11,X20111P X 11 P X 20,所以 第 11 页,共 22 页 - - - - - - - - - 442X,Y 不独立 . 14设随机变量X Y 相互独立,且都听
19、从b b 上的匀称分布,求方程t2tXY0有实根的概率 . 解设 A方程有实根,就2A 发生 X 4 Y 0即P AP X24 f x y dxdyy yx22bx21x 24yb2 xb 1dxb x 4dxdybb2 4 bb42 4 b13 b2 b2b1,b4. b 2 4 b6242当b4时,图形如下：y P X24 12b12 bx2dx2b4 b42 b2bx 114b b18 b38 b3222 4 b12123 b15已知随机变量X 和 Y 的联合分布为 , 0,00,11,01,12,02,1P Xx Yy0.100.150.250.200.150.15试求：（1） X 的
20、概率分布； （2） XY 的概率分布解（1） X 的分布为X012P0.250.450.30（2） XY 的分布为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -XY01优秀学习资料3欢迎下载2P0.100.40.350.1516 设X与Y为 独 立 同 分 布 的 离 散 型 随 机 变 量 , 其 概 率 分 布 列 为P X n P Y n 1 n,n 1,2,求 X Y 的分布列 . 2解 设 Z X Y , Z 的分布为k 1P Z k P X Y k P X
21、i P Y k i i 1k 1 1 i 1 k i k 1 1 kk 2,3,i 1 2 2 217设 X Y 是相互独立的随机变量,它们都听从参数为 ,n p 的二项分布,证明 Z X Y 听从参数为 2 , n p 的二项分布 . k故 Z证XP Zk P XY kP Xki P Yki0, 1, 2ki C pii0pn k ik1pn iCk ipk i1ni02n kki k iC C nk C 2 np1p2n kpk1pY 听从参数为 2 ,ni0p 的二项分布 . 注：此处用到一个组合公式：ik0i C Ck i nCk m n此公式的正确性可直观地说明如下：从 C m n
22、k 种不同的取法； 从另一个角度看, 把 mm n 个不同的元素中取 k 个共有n个元素分布两部分,一部分有 m个,另一部分有 n 个,从第一部分中取i 个再配上从其次部分中取ki 个, 不同 第 12 页,共 22 页 - - - - - - - - - 的取法共i k iC C n,让 i 从 0 变到 k ,总的取法是ki C Ck i,这两种取法应相等. ni018设X Y 相互独立,其概率密度分别为fX 1,0x;1,f Y ey,y0 ,0,其他0 ,y0.求 XY 的概率密度 . 解1设 ZXY ,由卷积分式,Z 的概率密度为fZ fXzy fY y dy细心整理归纳 精选学习资
23、料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -fXzyfY 优秀学习资料欢迎下载y1,ey,y0, 0z0 ,其它.不等式y0, 0zy1确定平面域 D 如图 . 0z1ez 0y e dyze1,z 当z0时,Zf 1 D y 当0z1时,Zf eyz1ez0ydye0 当z1时,fZ z综上所述0,z0,zx dx令uz xz1fY u dufZ 1ez,0z1,eze1,z1.解2变量代换法：x dx,fZ fX x fYz留意到当 0x1时fX x =1,有1fYfZ fX x fYz
24、x dx0zz1fY u du,z因fY 0 ,u0 ,zeudu1eez,eu,u0.所以,当z0时,Zf 0当 0z1时,Zf 0当z1时,fZ zu e duez1. z1综上所述细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -0,优秀学习资料欢迎下载z0fZz1z e,0z1,F Z z ,就X x fY y dxdy解3eze1 ,z1.分布函数法：设Z 的分布函数为y F Z P ZzP XYz
25、 fx yzx+y=1 0 1 x z0,当z0时,时,zy e dyzydx ,当0z1001z xeydydx,当z1时,x+y=0 000,z0,ez1,0z1,1ezz e e ,z1.Z 的概率密度为0,z01, 第 14 页,共 22 页 fZ F Z 1ez,0zeze1,z1.,按下图联结构成19设部件1L 的寿命XE,L 的寿命YE系统 L ,即当部件L 损坏时,部件L 立刻开头工作,求系统L 的寿命 Z 的概率L 1密度 . 解X 的密度为fX ex,x0,L X 0,其他.Y 的密度为fY ey,y0,0,y0.Y 设 Z 的密度为Zf z ,就L 2fZzf Xx Y
26、fzx d x0,fX fYzxexez x ,x0,zx0,其他.z当z0时,Zf 0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -o x - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当优秀学习资料Zf欢迎下载ez exdxz0时, z 0ez1exz0当时z1,. ezez, Zf z2ez dx2ze0. 综相所述 ZXY 的密度为00,zfZ ezez,z0.fZ 20,z0,zez,z0.xf zky ,y dy,20设 X Y的概率密度为f x y , 3 ,0yx,00 ,其他.求 ZXY 的概率密度 . Zf 解1利用 ZXkY 的密度公式：取k1得Zf f zy y , ,dy其中f zy y , 3zy ,0zy1,zz0,y0, zz2.y 0,其他.23不等式 0zy1,z0,y0确定平面域如图o当z0或Z1时Zf 0,当 0z1时,1z3zy dy3 1z31Zf 1022即细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -