2022年概率论与数理统计答案第四章 .docx-淘文阁

资源描述

《2022年概率论与数理统计答案第四章 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年概率论与数理统计答案第四章 .docx（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第四章大数定律与中心极限定理4.1 设Dx为退化分布：D x 1x00x0争论以下分布函数列的极限是否仍是分布函数？1Dxn;2Dx1;3 Dx10 ,其中n,12 ,nn解：12不是；3是；4.2 设分布函数 Fn x 如下定义：0 x nx nFn x n x n2 n1 x nF x lim F n x 问 n 是分布函数吗？解：不是； Fn x 弱收敛于分布函数 F x ,且 F x 为连续函数,就 Fn x 在 , 上一样收敛于 F x ；证：对任意的 0 ,取 M 充分大,使有1 F x , x M ; F x , x M对上述取

2、定的M,由于 F x 在 M , M 上一样连续,故可取它的k分点：x 1 M x 2 x k 1 x k M,使有 F x i 1 F x i 1, i k,再令x 0 , kx 1,就有F x i 1 F x i , 0 i k 11名师归纳总结这时存在N,使得当nN时有第 1 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |Fnx iFx i|,0ik12成立,对任意的x,必存在某个i0ik,使得xx ix i1,由2知当nN时有13FnxFnxi1FxiF nxFnx iFxi4由1,3,4可得Fnx Fx Fx i1Fx Fx i1Fx

3、 i2,FnxFxFx iFx Fx iFx i12,即有Fnx Fx2成立,结论得证；,证明这时4.5 设随机变量序列n 同时依概率收敛于随机变量与0 ,n0必有P1；证：对任意的0 有n2,故0PPn2Pn2即对任意的0 有P0成立,于是有PPk11k1P10与,kk从而P 1成立,结论得证；4.6 设随机变量序列n,n 分别依概率收敛于随机变量证明：名师归纳总结 1n：nP；2nnP；为第 2 页,共 18 页因证1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - nnn2n2故0PnPnnPn2Pn20,n即n成立；2先证明这时必有2n2P2；对任给的0 ,0

4、取M足够大n1成立,对取定的M,存在N,当nN时M1,使有PM有Pn1PnM成立这时有PnMPn2MPn2M|11P |n|2|M|n|1 P |2|M1P |n2从而有名师归纳总结 P |22|P |n|n|P2,由前述 1有,证明第 3 页,共 18 页nP |n|n|n|MP |n|n|n|MP |n|MP |n|M32 n由,的任意性知2 nP2,同理可证2nnnn222P2022nn故nnP,结论成立；是一个常数,且n04.7 设随机变量序列nPa,a1P1na；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证：不妨设a0对任意的0a, 当

5、na时有naa2anaa2na,；于是有；na因而nananaa2a0P11naaPnnaanPnanaaPnaP0 ,na2a结论成立；4.9 证明随机变量序列xn 依概率收敛于随机变量的充要条件为：x,x0,就fx1120,x0,故fx 是E1nn0 ,n证：充分性,令fx1xn名师归纳总结 xx0 的单调上升函数,因而n:n1|n|1P,于是有第 4 页,共 18 页PnP1nn11E1nnn,0n对任意的0 成立,充分性得证；,故存,由于必要性,对任给的0 ,令A在充分大的N使得当nN时有PA,于是有E1nnE1nnIAE1nnIA- - - - - - -精选学习资料 - - -

6、- - - - - - PA2,由的任意性知E1nn0 ,n,结论为真；b,4.10 设随机变量n 按分布收敛于随机变量,又数列ana,bn0,证明a nnb n也按分布收敛于ab；证：先证明an按分布收敛于a；a0时为明显,不妨设a0a时的修改为明显,假设a,an,n 的分布函数分别记作F aF,F an与Fn,就Fax=Fx,当x是F ax是Fa的连续点时,a的连续点,于是有lim nF anxPlim nF nxlim nFaxFax n由4.61b知aaana n0再,nanab nPbna nb nnana b n,结论按分布收敛于a得证； n 按分布收敛于随机变量,随机变量序列 n

9、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于F nxWFx,故存在N ,当nN1时有1Fn b 2,F na2nP0,故存在N ,当nN2时有令Mmaxa,b ,由于P |n|M而名师归纳总结 P |nn|P |nn|anb|n|M第 7 页,共 18 页P |nn|anb|n|MI1I2其中1I0,当nmaxN1N2时有P |nn|anbP anb P nanb F na 1F n b 4因而P |nn|I25,由的任意性知nnP0,结论为真；4.13 设随机变量n 听从柯西分布,其密度函数为pnx 1n2x2n证明nP0 ,n；证：对任意的0 ,有P |n| 1n2x2d

10、xn 112dt,1nnnt故nP0,n；4.14 设n 为一列独立同分布随机变量,其密度函数为p x10x0其它其中0 为常数,令nmax1,2,n,证明nP；证：对任意的n,0n为明显,这时有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P nx inPix inx1dxxn,0x110P nx |0 ,x;0P nx ,1xn0,n对任意的0 Pn,有P |nP故 n 成立,结论得证；4.15 设 n 为一列独立同分布随机变量,其密度函数为e x a x ap x 0 x aP令 n min 1 , 2 , , n ,证明 n a；证：设 i 的分布函数为

11、F x ,有 x a 1 e x aF x 0 x a这时有名师归纳总结 P nx nPi1Fx nenxa,xa第 8 页,共 18 页i1对任意的0 ,有P |na|P naen0 ,n故nPa成立,结论得证；n 为一列独立同分布随机变量,都听从01, 上的匀称分布,假设n1nk1kn,证明nPc c 为常数）,并求出c；证：这时lnn 也是独立同分布随机变量序列,且En1ln xdx10- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由辛钦大数定律知lnn 服从大数定理 , 即有1inlniP1, 令n1fixiex,就fxe1cn11

12、1nlniPeni1n结论成立； n 为一列独立同分布随机变量,每个随机变量的期望为 a,且方差2 n Pk k a存在,证明 n n 1 k 1；2 n2 n k k证：已知 E n a,记 D n,令 n n 1 k 1,就nE n 2 ka an n 1 k 1D n 2 42 nk 2 2 4 2n n 1 k 1 n 1对任给的 0 ,由契贝晓夫不等式有21 1 4P | n a | 2 D n 2 0 , nn 1P故 n a,结论得证；2 n 为一列独立同分布随机变量,且 D n 存在,数学期望为零,1 n2P2k证明 n k 1；2 2 2证：这时 n 仍独立同分布,且 E n

13、 D n,由辛钦大数定律知结论成立；名师归纳总结 4.21 设随机变量序列n 按分布收敛于随机变量,又随机变量序列第 9 页,共 18 页a a0 ,n0,就nn按分布收敛于a ；n 依概率收敛于常数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11P0n11P0n按分布收敛于anana,而an 1 1 nnn n a a按分布收敛于 a ,结论成立；n2 n 为独立同 2N 0 1, 分布的随机变量序列, 证明 n n 1k 1 k的分布函数弱收敛于 N 0 1, 分布；证：这时 n 也为独立同分布随机变量序列,且 2 E n 2 1,由辛钦大数n1 2 Pi

14、1定律知 n i 1,又 n 听从 N 0 1, 分布,当然弱收敛于 N 0 1, n 按分布收敛于 N 0 1, 分布,结论得证；n12 D k 04.23 假如随机变量序列 n ,当 n 时有 n k 1,证明 n 听从大数定律马尔柯夫大数定律证：由契贝晓夫不等式即得；4.26 在贝努里试验中 , 事件 A 出现的概率为 p , 令,1 如在第 n 次及第 n 1 次试验中 A 显现n0,其它证明 n 听从大数定律；2 2证： n 为同分布随机变量序列 , 且 E n E n p, 因而2 2D n p 1 p 1,又当 | i j | 2 时

15、,i 与 j n 听从大数定律,结论得证；名师归纳总结 n 为一列独立同分布随机变量, 方差存在,又n1a n为肯定收敛级数,第 10 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令nni1i,就ann听从大数定律； 2 2证：不妨设 E n 0；否就令 n n E n,并争论 n 即可；记 E n,n n i n nc | a n | a i i a i k k a i 又 n 1；由于 i 1 i 1 k 1 k 1 i k,故有1 n 1 n n2 2 n n2 c 2 2n 2 D i 1 a i i n 2 E k 1 k i k a

16、i n 2k 1 i k a i n 0 , n a n n 听从大数定律,结论得证； n 为一列独立同分布随机变量,共同分布为kP n 22 1k , k 1 2, ,k 2试问 n 是否听从大数定律？答：由于 E n 存在,由辛钦大数定律知 n 听从大数定律； n 为一列独立同分布随机变量,共同分布为P n k 2 c2 , k 2 , ,3k log k1 1其中 c k 2 k 2log 2k ,问 n 是否听从大数定律？答：由于 E n 存在,由辛钦大数定律知 n 听从大数定律；4.32 假如要估量抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率,为了有 95%以上p的把握保证所观看到的频率与概率 p

17、的差小于 10,问至少应当做多少次试验？解：令名师归纳总结 n1第n 次试验时图钉的尖头朝上第 11 页,共 18 页0其它- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n据题意选取试验次数n 应满意P|i1ip|p0.95,由于n比较大,n10由中心极限定理有nnnpqp |1npP |i1ip|p 10P|i1n10q1np1ex2dx10q20 . 95400q,但图钉底部重,尖头轻,由直观判定1np210q故应取1np2,即n10qp有p1,因而400；2q1,故可取np4.33 一本书共有一百万个印刷符号,排版时每个符号被排错的概率为 0.0001 ,校

18、对时每个排版错误被改正的概率为误不多于 15 个的概率；解：令i1第i个印刷符号被排错且校对后仍错误其它0由于排版与校对是两个独立的工序,因而pP i1 0 . 00010 1.105,P i0 q1p0.9 ,求在校对后错ni 是独立同分布随机变量序列,Eip,令ni1i,其中n106,由中心极限定理有名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - P n15Pnnp15npb1bex2dx2npqnpq2其中b51.58,查N0 1, 分布表即可得P n15 0 . 94,即在校对10后错误不多于 15 个的概率；4.34

19、在一家保险公司里有10000个人参与保险, 每人每年付 12 元保险费,在一年里一个人死亡的概率为 0；006,死亡时家属可向保险公司领得 1000 元,问：1保险公司亏本的概率多大？2保险公司一年的利润不少于率各为多大？40000 元,60000元,80000 元的概解：保险公司一年的总收入为 120000元,这时假设一年中死亡人数 120 ,就公司亏本；假设一年中死亡人数 80 ,就利润中死亡人数 40000元；假设一年中死亡人数 60 ,就利润中死亡人数 60000元；假设一年中死亡人数 40,就利润中死亡人数 80000 元；令i1第i个人在一年内死亡第0i个人在一年内活着n就P

20、i10 . 006p,记ni1i,n10000已足够大,于是由中心极限定理可得欲求大事的概率为1名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - P n1201Pnnp120npb 11bex2dx（其中 0b602npqnpq27 .723同理可求得2P n80 .0 995对应的b2 . 59 1相差多少？P n60 .0 5 对应的b0 P n40 .0 005 对应的b2 . 59 14.35 有一批种子,其中良种占66解：令iP1第i粒为良种1,nini,其中n6000,据题意即要求使满0第i粒不是良种11,记p就i6

21、16足n P | n1|0.99；令q1p ,bn,由于n很大,由中心极限定npq6理有P |n1|Pbnnpb1b b ex 2dx0.992nnpq62由N1,0 分布表知当b2 .60时即能满足上述不等式 , 于是知bnpq1.251041相差不超过1 .25104；n64.36 假设某产品的不合格率为0.005,任取 10000 件,问不合格品不多于 70 件的概率等于多少？解：令名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1第i件为不合格品ip0i第i件为合格品q1p,nini,其中

22、n10000,记b70np,就P 10 . 005,记1npq由中心极限定理有P n70Pnnpb1bex2dx.09982npq2即不合格品不多于70 件的概率约等于0.998 ；4.37 某螺丝钉厂的不合格品率为0.01 ,问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有 100 只合格品的概率不小于 0.95 ？解：令1 第 i 只是合格品i0 第 i 只是不合格品nq 1 p , b 100 np , n i就 p P i 1 0 . 99,记 npq i 1,其中n尚待确定,它应满意 P n 100 0 . 05,由中心极限定理有x 2P n 100 P n npb 1 be 2 dx 0 .

23、 05npq 2查 N 1,0 分布表可取 b 1 . 65,由此求得 n 103,即在一盒中应装 103只螺丝钉才能使其中含有 100只合格品的概率不小于 0.95 ；4.39 用特点函数的方法证明“ 二项分布收敛于普哇松分布” 的普哇松定理；名师归纳总结证：设n1in独立同二项分布,即iin1nin,n的特点函数记作nt,因第 15 页,共 18 页iP n1 pn,Pin0 q n1pn1,in i 的特点函数为q np nit e,记n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为np n,故pnno1,qn1no1,于是有nnn t1q np ne

24、itn11nne ito1 n 1it e1 o en1 e it1itnne1 ,ne it而ee it1 是参数为的普哇松分布的特点函数,由特点函数的逆极限定理即知定理成立,证毕；4.40 设随机变量听从- 分布,其分布密度为px 0x1exx0,00 x0的分布函数弱收敛于N0 1, 分布；证：当时,证：的特点函数为t 1it,易知的特点函数为g teit1iteitln1it而ln 1itit1t21it2o t323因而有名师归纳总结 itln1itt21it3ot3t2,N1,0 分布,命题得证；第 16 页,共 18 页232t2故limgte2,所以相应的分布函数弱收敛于设n

25、为一列独立同分布随机变量,且n 听从n,n上的匀称分布,证明对n 成立中心极限定理；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证：易知En0,DnE2nx2dxn2,于是nnn232 n n k 2 1B n D k n n 1 2 n 1k 1 k 1 3 183 2B n n n 1故 3,对任意的 0 ,存在 N ,使当 n N 时有 3,因而2Bn n,从而当 n N,| x | B n x dF kx 0,假设 k n,由此知lim n B 1n 2k n1| x | B n x 2 dF k x 0即林德贝尔格条件满意,所以对 n 成立中心极限定理

26、,结论得证；4.42 设 n , n 皆为独立同分布随机变量序列,且 n与 n 独立,其中 E n 0 , D n 1 ; P n 1 12 , n ,1 2 ,证明：s n 1n i n1 i i的分布函数弱收敛于正态分布 N 0 1, ；证：这时 n n 仍是独立同分布随机变量序列,易知有2 2E n n 0 , D n n E n n E n 1s n 1 ni i由林德贝尔格 - 勒维中心极限定理知：n i 1 的分布函数弱收敛于正态分布 N 0 1, ,结论得证；4.45 利用中心极限定理证明：nnken1,n1的 Poissonk0k .2证：设n 是独立同分布随机变量序列,共同分布为分布,故名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - EnDn,12 B nkn1Dkn,由林德贝尔格 - 勒维中心极限定理知Pkn1kn Pn1knEk010et2dt1,nkB222n由 Poisson 分布的可加性知k1k听从参数为n的 Poisson 分布,因而nknn1nkennnene0n1,n,所以Pk0k .,但n .k1nnkenPn1kn nnnk0k .n

展开阅读全文