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1、精品学习资源第四章 大数定律与中心极限定理4.1 设 D x 为退化分布：欢迎下载精品学习资源D x1x00x0欢迎下载精品学习资源争论以下分布函数列的极限是否仍是分布函数？欢迎下载精品学习资源1 D xn ; 2 Dx1 ;n3 D x1 0,n其中 n1,2,欢迎下载精品学习资源解：12不是；3是；欢迎下载精品学习资源4.2 设分布函数Fn x 如下定义：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源0xnFn xxnnxn欢迎下载精品学习资源F x2n 1limxnFn x欢迎下载精品学习资源问n是分布函数吗？解：不是；欢迎下载精品学习资源 Fn x弱收敛于分布函数F x ，且 F x 为连续
2、函数，就 Fn x 在,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源上一样收敛于F x ；欢迎下载精品学习资源证：对任意的0 ，取 M 充分大，使有1 F x,xM ; F x,xM欢迎下载精品学习资源对上述取定的 M ，由于F x 在M , M 上一样连续，故可取它的 k 分点：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x1Mx2xk 1xkM ，使有Fxi 1Fxi ,1ik ，再令欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x0, xk 1，就有F xi 1F xi ,0ik1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1这时存在 N ，使得当 nN 时有欢迎下载精品学习资源| Fn xi F xi
3、|,0ik12欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源成立，对任意的 x, ，必存在某个i0ik ，使得 xxi , xi1 ，欢迎下载精品学习资源由2知当 nN 时有欢迎下载精品学习资源Fn xFn xi 1 F xi 13欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Fn xFn xi F xi 4欢迎下载精品学习资源由1，3，4可得欢迎下载精品学习资源Fn xF xF xi 1 F xF xi 1F xi 2，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Fn xF xF xi F xF xi F xi 1 2，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即有 Fn xF x2 成立，结论得证；欢迎下载
4、精品学习资源4.5 设随机变量序列n同时依概率收敛于随机变量与 ，证明这时必有 P1；欢迎下载精品学习资源n证：对任意的0 有2，故欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n0PPPn20, n02欢迎下载精品学习资源即对任意的0 有P0 成立，于是有PP1P10k 1kk 1k欢迎下载精品学习资源从而 P1成立，结论得证；欢迎下载精品学习资源4.6 设随机变量序列n，n分别依概率收敛于随机变量与 ， 证明：欢迎下载精品学习资源P1 nnP；2 nn；欢迎下载精品学习资源证：1因为欢迎下载精品学习资源故nnn2n2欢迎下载精品学习资源0PP即 nnnnP成立；nPn220, n欢迎下载精品学习
5、资源2P2欢迎下载精品学习资源2先证明这时必有n；对任给的0,0 取 M 足够大欢迎下载精品学习资源1PM，使有M12成立，对取定的 M ，存在 N ，当 nN 时欢迎下载精品学习资源Pn1Pn有M成立这时有欢迎下载精品学习资源PnMPn2M欢迎下载精品学习资源Pn2Mn1P|n| 2|M |n|1欢迎下载精品学习资源P| 2|M1) P|n|12欢迎下载精品学习资源从而有欢迎下载精品学习资源nP|22 |P|n|n|欢迎下载精品学习资源P|n|n|n|M 欢迎下载精品学习资源P|n| n|n|M 欢迎下载精品学习资源P|n|P|nMP2|M 3P222欢迎下载精品学习资源由 ,的任意性知n，
6、同理可证2Pn，由前述 1有欢迎下载精品学习资源2 nn n22222nnn欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源PP故 nn，结论成立；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4.7 设随机变量序列na ， a0 是一个常数，且n0 ，证明欢迎下载精品学习资源1P1na ；欢迎下载精品学习资源证 ： 不 妨 设 a0对 任 意 的 0a ， 当na时 有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源naa 2a naa 2a，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源nana2因而n aaa 11；于是有欢迎下载精品学习资源0PnaPaPnanannanan a欢迎下载精品学习资源Pnaa2aPn
7、a0, n；欢迎下载精品学习资源结论成立；4.9 证明随机变量序列n依概率收敛于随机变量的充要条件为：欢迎下载精品学习资源nE0,n1nf xxf x10, x0欢迎下载精品学习资源证：充分性， 令1x ， x0 ，就1x 2，故 f x 是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x xn0 的单调上升函数，因而n1|n|1，于是有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源nPnP1n11En1n0, n欢迎下载精品学习资源对任意的0 成立，充分性得证；欢迎下载精品学习资源必要性，对任给的0 ，令 A:nP，由于 n，故存欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在充分大的 N 使得当 nN 时有
8、P A ，于是有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源nnE E1n1nI AEn1n I A欢迎下载精品学习资源P A 2，欢迎下载精品学习资源nE由 的任意性知 1n0,n，结论为真；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4.10 设随机变量n 按分布收敛于随机变量，又数列 ana ，bnb，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明 annbn 也按分布收敛于 ab ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证：先证明 an 按分布收敛于 a；a0 时为明显，不妨设 a0 a0欢迎下载精品学习资源时的修改为明显，假设 a， ， a n ， n 的分布函数分别记作 Fa，Fxx欢迎下
9、载精品学习资源F ，Fa n与Fn，就 Fax =a，当 x 是Fa的连续点时， a 是F欢迎下载精品学习资源的连续点，于是有欢迎下载精品学习资源limnFa n xxlim Fnnalim FxnaFa x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n anPa) 0P，再由4.61知欢迎下载精品学习资源n anabn得证；b nanbna n ana nbn 按分布收敛于 ab ，结论欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n按分布收敛于随机变量，随机变量序列n依概率收敛于常数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源a ，证明 nn 按分布收敛于a ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证
10、：记,n 的分布函数 分别 为F x, Fn x， 就a 的分 布函 数为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源F xa ，设 x是F xa 的连续点，就对任给的0 ，存在0 ，使欢迎下载精品学习资源当 0时有欢迎下载精品学习资源| F xaF xa |欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1现任取 012，使得 xa1 , xa2 都是F 的连续点， 这时存欢迎下载精品学习资源在N1 ，当nN1 时有欢迎下载精品学习资源| F xa| F xa1Fn xa2 Fn xa1 |2 |23欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源对取定的 1 ，存在N 2 ，当 nN 2 时有欢迎下载精品学习
11、资源欢迎下载精品学习资源P|na |14欢迎下载精品学习资源于是当 nmaxN1 , N 2 时，由 1，2，4式有欢迎下载精品学习资源P nnaxa欢迎下载精品学习资源PnP nnax xa1 aP|na |na |1 1 F xPnna) 3axa|na |1 5欢迎下载精品学习资源又由于欢迎下载精品学习资源P nxa2 PnPn nnxaax2 |2 |na |na |2 2 欢迎下载精品学习资源于是由 1，3，4式有欢迎下载精品学习资源P nnaxaPnn nax2 |na |2 欢迎下载精品学习资源P nxa2 P|na |2F xa3欢迎下载精品学习资源6由5，6两式可得欢迎下载精
12、品学习资源| P nnaxaF xa |3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由 的任意性即知 nn 按分布收敛于a ，结论得证；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n按分布收敛于 ，随机变量序列n 依概率收敛于 0 ，证明欢迎下载精品学习资源Pnn0 .欢迎下载精品学习资源证：记, n 的分布函数分别为F x, Fn x ，对任给的0 ，取 a0, b0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源足够大，使a, b 是F x 的连续点且欢迎下载精品学习资源1F b, F a欢迎下载精品学习资源W由于 Fn xF x ，故存在N1 ，当 nN1 时有欢迎下载精品学习资源1Fn b2 , F
13、n a2欢迎下载精品学习资源令Mmaxa, b，由于Pn0 ，故存在N 2 ，当 nN 2 时有欢迎下载精品学习资源P|n | M而欢迎下载精品学习资源P|nn |P|nn |anb|n |M欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源P|nn | anb|n |MI 1I 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源其中 I10 ，当 nmaxN1, N 2 时有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源P|nn | anbP anb欢迎下载精品学习资源Pna) nb) Fn a1Fn b4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因而 P|nn |I 25，由 的任意性知Pnn0 ，结论为真；欢迎下
14、载精品学习资源4.13 设随机变量n 听从柯西分布，其密度函数为欢迎下载精品学习资源pn xn1n 2 x 2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明 nP0, n；欢迎下载精品学习资源证：对任意的0 ，有欢迎下载精品学习资源P|n |n1n 2 x2 dxnn11t 2 dt1, n欢迎下载精品学习资源P故 n0,n；欢迎下载精品学习资源4.14 设 n 为一列独立同分布随机变量，其密度函数为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源p x10x0其它欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源其中0 为常数，令nmax 1, 2 ,n P，证明 n；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源
15、证：对任意的 n ， 0n为明显，这时有欢迎下载精品学习资源PnxnP ii 1nx 1xdx0i 1 x n ,0x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Pnx0, x0; P nx1, x欢迎下载精品学习资源对任意的0 ，有欢迎下载精品学习资源P|n|P n n0,n欢迎下载精品学习资源P故 n成立，结论得证；欢迎下载精品学习资源4.15 设 n 为一列独立同分布随机变量，其密度函数为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源p xe x a xa0 xa欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源令 nmin 1,2 ,n ，证明Pna ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证：设 i
16、的分布函数为F x ，有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源F x1 e x a xa0xa欢迎下载精品学习资源这时有欢迎下载精品学习资源PnxnP ii 11F x ne n xa , xa欢迎下载精品学习资源对任意的0 ，有欢迎下载精品学习资源P|na |P nae n0,n欢迎下载精品学习资源P故 na 成立，结论得证；欢迎下载精品学习资源n为一列独立同分布随机变量，都听从0,1上的匀称分布，假设欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n1nk nk 1，证明Pnc c为常数），并求出 c ；欢迎下载精品学习资源证：这时lnn 也是独立同分布随机变量序列，且欢迎下载精品学习资源1E
17、nln xdx10欢迎下载精品学习资源由辛钦大数定律知lnn听从大数定理， 即有1nPlni1n i 1， 令欢迎下载精品学习资源f xex ，就f x欢迎下载精品学习资源n1i ni1n1ln iPen i 1e 1c欢迎下载精品学习资源结论成立；欢迎下载精品学习资源n为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为a，且方差欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源存在，证明E2nPk kann1 k 1；aD22nnk knn1欢迎下载精品学习资源证：已知2n，记n，令nk 1，就欢迎下载精品学习资源E nnnD1) k14kaa14n22k 22欢迎下载精品学习资源nn2 nk 1n1欢迎
18、下载精品学习资源对任给的0 ，由契贝晓夫不等式有欢迎下载精品学习资源D1P|na |2n1 422 n10, n欢迎下载精品学习资源P故 na ，结论得证；欢迎下载精品学习资源n为一列独立同分布随机变量，且D n2存在，数学期望为零，欢迎下载精品学习资源1 n2P2k222证明 n k 1；欢迎下载精品学习资源证：这时n仍独立同分布，且 E nD n，由辛钦大数定律欢迎下载精品学习资源知结论成立；4.21设随机变量序列n 按分布收敛于随机变量，又随机变量序列欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n依概率收敛于常数aa0,n0 ，就nn按分布收敛于 a ；欢迎下载精品学习资源11P10 n 1
19、 P0n欢迎下载精品学习资源nana，而 a按分布收敛于 a欢迎下载精品学习资源n11n nnnaa按分布收敛于 a ，结论成立；欢迎下载精品学习资源2n为独立同N 0,1nn 1分布的随机变量序列， 证明n2kk 1的分布函数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2弱收敛于N 0,1 分布；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n证：这时2也为独立同分布随机变量序列，且E n1，由辛钦大数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源定律知n12in i 1P1，又 n1 听从N 0,1 分布， 当然弱收敛于N 0,1n 按欢迎下载精品学习资源分布收敛于 N 0,1 分布，结论得证；1n欢迎下
20、载精品学习资源4.23假如随机变量序列n，当 nDk时有 n2k 10，证明 n 欢迎下载精品学习资源听从大数定律马尔柯夫大数定律证：由契贝晓夫不等式即得；4.26在 贝 努 里 试 验 中 ， 事 件 A 出 现 的 概 率 为 p， 令欢迎下载精品学习资源1,如在第 n次及第 nn1次试验中 A显现欢迎下载精品学习资源0，其它证明n 听从大数定律；欢迎下载精品学习资源证 ： n 为 同 分 布 随 机 变 量 序 列 ， 且 E n22pEn， 因 而欢迎下载精品学习资源nD p 2 1p 2 1，又当 | ij |2 时， i 与 jn听从大数定律，结论欢迎下载精品学习资源得证；欢迎下载
21、精品学习资源nan为一列独立同分布随机变量， 方差存在，又 n 1为肯定收敛级数，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源inn令i 1，就 ann 听从大数定律；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证：不妨设 E n0 ；否就令 nnE n，并争论 即可；记 E n，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源c又n 1| an |naii；由于 i 1niai k i 1k 1nnk k 1i kn22ai ，故有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源nn2ii1 Dai 11 Enn2k 1nk ai i k 22nn2ink 1i ka 2c22n0, n欢迎下载精品学习资源欢迎下载
22、精品学习资源 annn 听从大数定律，结论得证；为一列独立同分布随机变量，共同分布为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Pn2kk 2 1 , k2 k1,2,欢迎下载精品学习资源试问n 是否听从大数定律？欢迎下载精品学习资源答：由于E n 存在，由辛钦大数定律知 n听从大数定律；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n为一列独立同分布随机变量，共同分布为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Pnk cc, kk 2 log 2 kk1 12,3,欢迎下载精品学习资源2其中k2 log 2 k，问 n 是否听从大数定律？欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源答：由于E n 存在，由辛
23、钦大数定律知 n听从大数定律；欢迎下载精品学习资源4.32 假如要估量抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上欢迎下载精品学习资源的把握保证所观看到的频率与概率p 的差小于少次试验？解：令p10 ，问至少应当做多欢迎下载精品学习资源1第n次试验时图钉的尖头朝 上n0其它欢迎下载精品学习资源据题意选取试验次数 n 应满意niP| i 1npp |100.95，由于 n 比较大，欢迎下载精品学习资源由中心极限定理有欢迎下载精品学习资源niP| i 1p |p nP| i 1p|1np 欢迎下载精品学习资源n101npx 2npq10q欢迎下载精品学习资源10q121np10q1e 2 dxn
24、p20.95n400 q欢迎下载精品学习资源故应取 10q，即p，但图钉底部重，尖头轻，由直观判定欢迎下载精品学习资源p1有2 ，因而欢迎下载精品学习资源q1p，故可取 n400 ；欢迎下载精品学习资源4.33 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率 为 0.0001 ，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9 ，求在校对后错误不多于 15 个的概率；解：令欢迎下载精品学习资源1第i个印刷符号被排错且校i0对后仍错误其它欢迎下载精品学习资源由于排版与校对是两个独立的工序，因而欢迎下载精品学习资源npP i10.00010.110 5 , P0q1p欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品
25、学习资源 i 是独立同分布随机变量序列， E i由中心极限定理有p ，令inii 1，其中 n106 ，欢迎下载精品学习资源Pn15Pnnp npq15npbnpqx 21b e 2 dx 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源b5其中101.58，查N 0,1分布表即可得P n150.94 ，即在校对欢迎下载精品学习资源后错误不多于 15 个的概率；4.34 在一家保险公司里有 10000 个人参与保险， 每人每年付 12 元保险费，在一年里一个人死亡的概率为0；006，死亡时家属可向保险公司领得 1000 元，问：1保险公司亏本的概率多大？2保险公司一年的利润不少于 40000 元，6
26、0000 元，80000 元的概率各为多大？解：保险公司一年的总收入为 120000 元，这时假设一年中死亡人数120 ，就公司亏本；假设一年中死亡人数 80 ，就利润中死亡人数 40000 元；假设一年中死亡人数 60 ，就利润中死亡人数 60000 元； 假设一年中死亡人数 40 ，就利润中死亡人数 80000 元； 令i1第i个人在一年内死亡0第i个人在一年内活着欢迎下载精品学习资源就P i10.006np ，记ni , ni 110000已足够大， 于是由中心极限欢迎下载精品学习资源定理可得欲求大事的概率为1欢迎下载精品学习资源Pn1201Pnnp120npb1x 21b e 2 dx
27、（0 其中 b60欢迎下载精品学习资源npqnpq27.723欢迎下载精品学习资源同理可求得2欢迎下载精品学习资源Pn800.995对应的b2.59欢迎下载精品学习资源Pn600.5对应的b0欢迎下载精品学习资源Pn400.005对应的b2.59欢迎下载精品学习资源14.35 有一批种子，其中良种占616 相差多少？欢迎下载精品学习资源解：令1第i粒为良种i0第i粒不是良种11n欢迎下载精品学习资源P i1p,ni6欢迎下载精品学习资源就6 ，记足i 1，其中 n6000 ，据题意即要求使满欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n1q1p, bn欢迎下载精品学习资源P|n6理有0.99 ；令
28、npq ，由于 n 很大，由中心极限定欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源P|n1 |n6P bnnpb npqx21 b e 2 dx2 b0.99欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由 N 0,1分 布 表 知 当 b2.60时 即 能 满 足 上述 不 等 式 ， 于 是 知欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源bnpq n1.2510 416 相差不超过41.2510；欢迎下载精品学习资源4.36 假设某产品的不合格率为0.005 ，任取 10000 件，问不合格品不多于 70 件的概率等于多少？解：令欢迎下载精品学习资源1第i件为不合格品i0第i件为合格品nb70np欢迎下载精品学习资源就 pP iq110.005 ，记p,nii 1，其中 n10000 ，记npq，欢迎下载精品学习资源由中心极限定理有x2np1b欢迎下载精品学习资源Pn70Pnbe 2 dxnpq20.998欢迎下载精品学习资源即不合格品不多于 70 件的概率约等于 0.998 ；4.37 某螺丝钉厂的不合格品率为 0.01 ，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有 100 只合格品的概率不小于0.95 ？解：令欢迎下载精品学习资源i1第i只是合格品0第i只是不合格品q1p, b