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1、12017 年第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第 2 试）一、填空题（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分）1 （5 分）计算：110025411 2 （5 分）有 15 个数,他们的平均数是 17,加入 1 个数后,平均数变为 20,则加入的数是 3 （5 分）若和是两个三位数,且 ab+1,bc+2,3+4,则 4 （5 分）已知 a+b100,若 a 除以 3,余数是 2,b 除以 7,余数是 5,则 ab 的值最大是 5 （5 分）如图所示,两个完全相同的等腰三角形中各有一个正方形,图乙中的正方形面积为 36 平方厘米,则图甲中的正方形面积为 平方厘米6
2、（5 分）边长为 20 的正方形的面积恰好等于边长为 a 和边长为 b 的两个正方形的面积的和,若 a 和 b 都是自然数,则 a+b 7 （5 分）今年是 2017 年,年份的数字和是 10,则本世纪内,数字和是 10 的所有年份的和是 8 （5 分）在纸上画 2 个圆,最多可得到 2 个交点,画 3 个圆,最多可得到 6 个交点,那么,如果在纸上画 10 个圆,最多可得到 个交点9 （5 分）小红带了面额 50 元,20 元,10 元的人民币各 5 张,6 张,7 张,她买的 230 元的商品,那么,有 种付款方式10 （5 分）甲、乙、丙三个数的和是 2017,甲比乙的 2 倍少 3,乙
3、比丙的 3 倍多 20,则甲是 211 （5 分）篮球比赛中,三分线外投中一球可得 3 分,三分线内投中一球可得 2 分,罚蓝投中一球得 1 分,某球队在一次比赛中共投进 32 个球,得 65 分,已知二分球的个数比三分球的个数的 4 倍多 3 个,则这个球队在比赛中罚篮共投中 球12 （5 分）在如图的乘法算式中,A、B、C、D、E、F、G、H、I 分别表示彼此不同的一位数,则“FIGAA”表示的五位数是 二、解答题：每小题 15 分,共 60 分.每题都要写出推算过程.13 （15 分）甲、乙两人同时从 A、B 两地出发,相向而行,甲每分钟走 70 米,乙每分钟走 60米,两人在距离中点
4、80 米的地方相遇,求 A、B 两地之间的距离14 （15 分）老师给学生水果,准备了两种水果,其中橘子的个数比苹果的个数的 3 倍多 3个,每人分 2 个苹果,则余下 6 个苹果;每人分 7 个橘子,最后一人只能分得 1 个橘子,求学生的人数15 （15 分）两个相同的正方形重合在一起,将上层的正方形向右移动 3 厘米,再向下移动5 厘米,得到如图所示的图形,已知阴影部分的面积是 57 平方厘米,求正方形的边长16 （15 分）商店推出某新款手机的分期付款活动,有两种方案供选择方案一：第一个月付款 800 元,以后每月付款 200 元方案二：前一半的时间每月付款 350 元,后一半的时间每月
5、付款 150 元两种方案付款总数与时间都相同,求这款手机的价格32017 年第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（四年级第 2 试）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分）1 （5 分）计算：11002541116【分析】先算 11001125,得 4,再算 44【解答】解：1100254111100112541002544416故答案是：16【点评】本题考查了乘除的混合运算,本题突破点：交换乘除数的位置,即可巧算出结果2 （5 分）有 15 个数,他们的平均数是 17,加入 1 个数后,平均数变为 20,则加入的数是65【分析】首先根据题意,可得
6、：原来 15 个数的和是 255（1517255）,后来 16 个数的和是 320（1620320）;然后用后来 16 个数的和减去原来 15 个数的和,求出加入的数是多少即可【解答】解：1620151732025565答：加入的数是 65故答案为：654【点评】此题主要考查了平均数问题,要熟练掌握,解答此题的关键是求出原来 15 个数以及后来 16 个数的和各是多少3 （5 分）若和是两个三位数,且 ab+1,bc+2,3+4,则964【分析】显然 a 比 c 大 3,a 最小是 3,b 最小是 2,c 最小是 0,而3+4,d 最大为 9,只有当 a3 时才满足题意,故可以求出【解答】解：
7、根据分析,ab+1c+2+1c+3,又 a、b、c 均为一位数,故 a 的最小值为 3,b 最小是 2,c 最小是 0,又3+4,d 最大为 9,此时 a3,b2,c0 即320,则3+43203+4964;故答案是：964【点评】本题考查了最大与最小的知识,本题突破点是：根据已知确定 a,b,c 的最小值以及 d 的最大值,从而可以求出结果4 （5 分）已知 a+b100,若 a 除以 3,余数是 2,b 除以 7,余数是 5,则 ab 的值最大是2491【分析】要求 ab 最大值,则要使 a、b 的差尽可能小,而两者的和一定,即可缩小范围,求出最大值【解答】解：根据分析,a 除以 3,余数
8、是 2,b 除以 7,余数是 5,可设 a3m+2,b7n+5,又a+b100,由于和不变,差小积大,则要求 a 与不得差尽可能小,得 a53,b47,ab53472491,此时 ab 的值最大故答案是：2491【点评】本题考查了最大与最小,本题突破点是：根据最大最小的特征,和不变,差小积5大,故而可以求得最大值5 （5 分）如图所示,两个完全相同的等腰三角形中各有一个正方形,图乙中的正方形面积为 36 平方厘米,则图甲中的正方形面积为32平方厘米【分析】根据正方形的对角线性质及等腰直角三角形的性质作图如下：将乙中的等腰直角三角形平均分成了 4 份,则三角形的面积是 362472 平方厘米,图
9、甲将三角形平均分成了 9 个相同的小三角形,正方形占了 4 个,它的面积是三角形面积的,据此可求出正方形的面积是多少,据此解答【解答】解：如图：三角形的面积：362418472（平方厘米）图甲中正方形的面积：7232（平方厘米）答：图甲中的正方形面积为 32 平方厘米故答案为：32【点评】本题的重点是把等腰直角三角形平均分成若干份,再根据正方形占的份数进行6解答6 （5 分）边长为 20 的正方形的面积恰好等于边长为 a 和边长为 b 的两个正方形的面积的和,若 a 和 b 都是自然数,则 a+b28【分析】按题意,边长为 20 的正方形的面积恰好等于边长为 a 和边长为 b 的两个正方形的面
10、积的和,即可列一个关系式,a2+b220,再根据 a 和 b 都是自然数确定 a 和 b 的值【解答】解：根据分析,可以得到：a2+b220,a 和 b 都是自然数,且 32+4252122+162202,a12,b16a+b28故答案是：28【点评】本题考查了完全平方数性质,本题突破点是：根据完全平方数的性质和自然数的条件,确定 a 和 b 的值,从而再求和7 （5 分）今年是 2017 年,年份的数字和是 10,则本世纪内,数字和是 10 的所有年份的和是18396【分析】按题意,本世纪即：20002100 之间找出数字和为 10 的数,然后再加起来即可,而这些数百位均为 0,可以从十位开
11、始算起【解答】解：根据分析,在 20002100 数字中,由于千位为 2,百位为 0,十位与个位数字之和等于 8 即可,故满足条件的有：2008,2017、2026、2035、2044、2053、2062、2071、2080;和为：2008+2017+2026+2035+2044+2053+2062+2071+208018396故答案是：18396【点评】本题考查了数字问题,突破点是：确定千位和百位上的数字,只须确定十位与个位上的数字和即可8 （5 分）在纸上画 2 个圆,最多可得到 2 个交点,画 3 个圆,最多可得到 6 个交点,那么,如果在纸上画 10 个圆,最多可得到90个交点7【分析
12、】当已经有 n 个圆时,再画一个圆,圆与其他 n 个圆的交点最多的情况是：这个圆与其他每个圆都相交于两点【解答】解：递推分析：画第 1 个圆,交点为 0 个,画第 2 个圆,它与第 1 个圆交于两点,交点有 0+22 个,画第 3 个圆,它与前两个圆分别相较于两点,交点有 0+2+46 个,画第 10 个圆,它与前面 9 个圆分别交于两点,交点个数：0+2+4+6+1890 个;故本题答案为：90【点评】每两个圆之间交点最多的情况是两圆相交,交点最多为 2 个,本题也可以用排列组合来解答：290 个9 （5 分）小红带了面额 50 元,20 元,10 元的人民币各 5 张,6 张,7 张,她买
13、的 230 元的商品,那么,有11种付款方式【分析】要用 50,20,10 凑成 230,用枚举法列举出所有方式【解答】解：根据 50 元面额由大到小的顺序,枚举出所有可能的组合,如下表：面额张数50 元44 3 3 3 3 2 2 2 2 120 元10 4 3 2 1 6 5 4 3 610 元13 0 2 4 6 1 3 5 7 6共有 11 种组合方式故本题答案为：11【点评】枚举法列举即可,注意避免遗漏,题目较简单810 （5 分）甲、乙、丙三个数的和是 2017,甲比乙的 2 倍少 3,乙比丙的 3 倍多 20,则甲是1213【分析】乙比丙的 3 倍多 20,那么乙数可以表示为丙数
14、3+20,甲比乙的 2 倍少 3,那么甲数就是丙数的 23 倍多 203,那么三数的和就是丙数的 1+23+3 倍多（2033）,用三数的和减去（2033）得到丙数的（1+23+3）倍,进而求出丙数,从而得到乙数和甲数【解答】解：丙数：（2017203+3）（1+23+3）（201757）10196010196,乙数：1963+20608,甲数：608231213,答：甲是 1213故答案为：1213【点评】解决本题关键是通过代换,得出甲数是丙数的几倍多几,进而得出三数的和是丙数的几倍多几,从而求出丙数,进而求解11 （5 分）篮球比赛中,三分线外投中一球可得 3 分,三分线内投中一球可得 2
15、 分,罚蓝投中一球得 1 分,某球队在一次比赛中共投进 32 个球,得 65 分,已知二分球的个数比三分球的个数的 4 倍多 3 个,则这个球队在比赛中罚篮共投中4球【分析】设三分球有 x 个,则两分球有（4x+3）个,一分球有（324x3x）个,各种球投中的个数乘对应分数,表示出各种球的得分,再相加就是全部的得分 65 分,由此列出方程求出 3 分球的个数,进而求出一分钱（罚篮）的个数【解答】解：设三分球有 x 个,则二分球有（4x+3）个,一分球有（324x3x）个,则：3x+（4x+3）2+（324x3x）659x5一分球有：3245354（球）答：这个球队在比赛中罚篮共投中 4 球故答
16、案为：4【点评】解决本题先设出三分球的个数,再根据倍数关系表示出两分球的个数,再根据投中球的个数表示出一分球的个数,然后根据乘法的意义分别得出 3 类球的得分数,再相加得到总分 65 分,由此等量关系列出方程求解12 （5 分）在如图的乘法算式中,A、B、C、D、E、F、G、H、I 分别表示彼此不同的一位数,则“FIGAA”表示的五位数是15744【分析】首先找到题中的特殊情况,根据第一个乘积是三位数,尾数相同可以枚举排除,再根据 A 和 C 确定 B,然后就可以求解【解答】解：依题意可知：A、B、C、D、E、F、G、H、I 共 9 个数字,题中没有数字 0再根据结果是三位数,那么首位字母可以
17、是 C2,A4 或者 C3,A9 不满足三位数的条件所以 A4,C2再根据进位 B9,E8根据 E+HA4 那么 H6,A 加上进位等于 I5所以 D3,F1即：493215744故答案为：15744【点评】本题考查凑数谜的理解和运用,突破口就是字母 C 和第一个乘积是三位数限制10了百位数字不能太大,问题解决二、解答题：每小题 15 分,共 60 分.每题都要写出推算过程.13 （15 分）甲、乙两人同时从 A、B 两地出发,相向而行,甲每分钟走 70 米,乙每分钟走 60米,两人在距离中点 80 米的地方相遇,求 A、B 两地之间的距离【分析】甲乙在距中点 80 米处相遇,也就是甲比乙多行
18、了 802160（米）,两人的速度差是 706010（米/分）,那么用路程差除以速度差,求出相遇时间,再求出速度和,用相遇时间乘速度和即可求出求 A、B 两地之间的距离【解答】解：（802）（7060）1601016（分钟）（70+60）16130162080（米）答：A、B 两地之间的距离是 2080 米【点评】先根据两人的路程差与速度差求出相遇时间,再根据关系式“速度和相遇时间路程”解决问题;注意两人的路程差是 2 个 80 米14 （15 分）老师给学生水果,准备了两种水果,其中橘子的个数比苹果的个数的 3 倍多 3个,每人分 2 个苹果,则余下 6 个苹果;每人分 7 个橘子,最后一人
19、只能分得 1 个橘子,求学生的人数【分析】本题可采用方程的方法进行解题表示出题中的数量关系即可列出等式【解答】解：依题意可知：设学生的人数为 x 人则苹果的个数为 2x+6 个橘子个数为 7（x1）+1 个则可得：（2x+6）3+37（x1）+111 6x+217x6 x27答：共有 27 个学生【点评】本题考查对盈亏问题的理解和运用,关键问题是列出等量关系,问题解决15 （15 分）两个相同的正方形重合在一起,将上层的正方形向右移动 3 厘米,再向下移动5 厘米,得到如图所示的图形,已知阴影部分的面积是 57 平方厘米,求正方形的边长【分析】如图把阴影部分分成两个长方形,一个长方形的长是正方
20、形的边长,宽是 3 厘米,另一个长方形的长是正方形的边长减去 3 厘米,宽是 5 厘米,根据设正方形的边长是 a,根据长方形的面积公式分别表示出两个长方形的面积,再相加就是阴影部分的面积 57,由此列出方程求出正方形的边长【解答】解：设正方形的边长是 a 厘米,则：3a+（a3）557 3a+5a1557 8a72 a9答：正方形的边长是 9 厘米12【点评】本题也可以这样求解：将原正方形分成 4 块,先看第、第块的面积和与第、第块的面积和,因为正方形四条边长相等,其关系只与 5 厘米、3 厘米的两条边长相关所以设第、第块的面积和是 5 份,则第、第块的面积和则是 3 份,且得知（+）+（+）
21、阴影部分面积+57+3572 平方厘米,总共是有 5+38 份占 72 平方厘米,所以一份是7289 平方厘米,+5945 平方厘米,所以正方形边长是 4559 厘米16 （15 分）商店推出某新款手机的分期付款活动,有两种方案供选择方案一：第一个月付款 800 元,以后每月付款 200 元方案二：前一半的时间每月付款 350 元,后一半的时间每月付款 150 元两种方案付款总数与时间都相同,求这款手机的价格【分析】显然两个方案中手机的价格相同,可以设付款的总时间为 x,分别列出关系式,解得再求手机的价格【解答】解：根据分析,设时间为 x 个月,则方案一中手机的费用为：800+（x1）200200 x+600（元）;方案二中手机的费用为：350 x+150 x250 x（元）,因两种方案中手机的价格是一样的,故有：200 x+600250 x,解得：x12,故付款总价格为：250123000 元故答案是：3000【点评】本题考查了利润利息和纳税的问题,本题的突破点是：利用两个方案中的价格相同,求出手机的价格