《专升本《高等数学》精选练习强化试卷21.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专升本《高等数学》精选练习强化试卷21.pdf（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专升本高等数学精选练习强化试卷 21一、选择题一、选择题1设函数在点附近有定义，且，则（C C）),(yxf)0 , 0(3)0 , 0(xf1)0 , 0(yf （A）； dydxdz3)0 , 0( （B）曲面在点的法向量为；),(yxfz )0 , 0(, 0 , 0(f1 , 1 , 3 （C）曲线在点的切向量为； 0),(yyxfz)0 , 0(, 0 , 0(f3 , 0 , 1 （D）曲线在点的切向量为。 0),(yyxfz)0 , 0(, 0 , 0(f1 , 0 , 3解：仅在点存在偏导数，因而在点不一定可微。),(yxfz )0 , 0(),(yxfz )0 , 0(故（A
2、）不正确。 曲面在点的法向量为应为，即),(yxfz )0 , 0(, 0 , 0(f) 1 ),0 , 0( ),0 , 0(yxff，故（B）不对。) 1 , 1 , 3( 曲线在点的切向量为 0),(yyxfz)0 , 0(, 0 , 0(f ，故（C）正确。3 , 0 , 10101130101)0 , 0()0 , 0(kjiffkjiyx或曲线可看作以x为参数的空间曲线，它在点 0),(yyxfz)0 ,(0 xfzyxx的切向量为。)0 , 0(, 0 , 0(f3 , 0 , 1)0 , 0( , 0 , 1xf2函数的极小值点是（B B）223333yxyxz （A） （0，
3、0） ； （B） （2，2） ； （C） （0，2） ； （D） （2，0） 。解：，得驻点：（极大值点） ；（非极值点） ；06306322yyyzxxxz)0, 0()2, 0(（非极值点） ；（极小值点） 。 )0, 2()2, 2(3在曲线的所有切线中，与平面平行的切线32 , ,tztytx42zyx（B B）（A）只有一条；（B）只有两条；（C）至少有三条；（D）不存在。解：该曲线在任意一点的切向量，它与平面的法向量3 ,2 , 12tta1 , 2 , 1n垂直，即，而每一个 t 对应于曲线上一03412ttna31 , 1t点，应选（B） 。二、填空题二、填空题1 曲面点处的切
4、平面方程为。32xyezz)0 , 2 , 1 (042 yx解：设，32),(xyezzyxFz，yzyxFx2),(xzyxFy2),(zzezyxF1),(，4)0 , 2 , 1 (xF2)0 , 2 , 1 (yF0)0 , 2 , 1 (zF 切平面方程为，即。0)0(0)2(2) 1(4zyx042 yx2 函数在点处沿 A 点指向点的方向导数)ln(22zyxu) 1 , 0 , 1 (A)2 , 2 , 3(B为，在点处方向导数的最大值为，最小值为。21) 1 , 0 , 1 (A2222解：，211) 1 , 0 , 1 (22zyxxuA，01) 1 , 0 , 1 (2
5、222zyyzyxyuA， 。211) 1 , 0 , 1 (2222zyzzyxzuA21 , 0 ,21 Augard，1 , 2 , 2 ABl31 ,32 ,32l,31cos ,32cos ,32cos，。213121)32(03221Alu22 maxAugardlu3曲线在点处的切线方程为，2222223932:yxzzyxC)2, 1, 1 ( P7210181zyx 法平面方程为。0127108zyx解：两曲面在点的切平面的法向量为)2, 1, 1 ( P ，2, 3, 224, 6, 42 ,6 ,41Pzyxn，2, 1, 324, 2, 62 ,2 ,62Pzyxn切线
6、的方向向量，7 ,10 , 821323221kjinna切线方程为,7210181zyx法平面方程为，即。0)2(7) 1(10) 1(8zyx0127108zyx三、解答题三、解答题1 过曲线在第一象限部分中哪一点作的切线与原曲线及坐标轴 724922 yx之间所围成的图形面积最小？解：设切点为，)0, 0)( ,(baba，118872492222yxyx这是长半轴为，短半轴为的椭圆。188切线方程为，化为截距式：，1188byax1188bayx188),(baoxy设切线与原曲线及坐标轴所围成的面积为S，则 ，即。8184118821baS)0, 0(372baabS求条件极值问题：
7、，07249 : 372 :min22batsabS令，)7249( 372),(22baabbaF，代入(3)，得)3( , 07249)2( , 0872) 1 ( , 018722222baFbabFabaFba2294ba ，得唯一驻点，2 , 3 , 92abb)3 , 2(函数S必有最小值，且S在定义域内只有唯一驻点，0, 0),(baba)3 , 2(在点处面积S有最小值。)3 , 2(2求中心在原点的椭圆的长半轴与短半轴的长度。184522yxyx解：设为椭圆上的任一点，点M到原点的距离，d的最大),(yxM22yxd值即为长半轴a，d的最小值即为短半轴b。设，) 1845()
8、 1845(),(2222222yxyxyxyxyxdyxf令01845 01642 0410222yxyxfyxyfyxxfyx(3) 01845 (2) 0)82( (1) 0)25(22yxyxyxyyxx由(1)得，代入(2)化简得，yx25 023222xxyy，.0)2)(2(xyxyxyxy21 2或把，即，013285(3) 2222xxxxy得代入1452x4512x4542y，.9122yx31d把，即，01225(3) 21222xxxxy得代入152x512x2012y，.由于最值必存在，故长半轴，短半轴。4122yx21d21a31b3某公司可通过电台及报纸两种方式做
9、销售某商品的广告，据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费及报纸广告费之间有如下经验R)(1万元x)(2万元x公式： ，求22212121211028321415),(xxxxxxxxR（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为，求相应的最优广告策略。万元5 . 1解：（1）利润函数为 ，)(1028321415),(212221212121xxxxxxxxxxL即，1531131082),(2122212121xxxxxxxxL 由解得，。, 031208),(, 01384),(2121212121xxxxLxxxxLxx75. 01x25. 12x 利润函数在
10、处的二阶偏导数为),(21xxL)1.25 ,75. 0( ，4)25. 1 ,75. 0(11xxLA8)25. 1 ,75. 0(21xxLB ，20)25. 1 ,75. 0(22xxLC ，01664802 BAC04 A 在处达到极大值，即最大值。),(21xxL1.25) ,75. 0(故当电台广告费用为，报纸广告费用为时，可使利润最大。万元75. 0万元25. 1（2）若广告费用为，则求利润函数万元5 . 1在条件下的最大值。1531131082),(2122212121xxxxxxxxL5 . 121 xx设函数：Lagrange ，1531131082),(212221212
11、1xxxxxxxxQ)5 . 1(21xx 令， 解之得， 05 . 10312080138421212121xxQxxQxxQxx01x5 . 12x即将广告费用万元全部用于报纸广告，可使利润最大。5 . 14 求曲面的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为1zyx最大。解：曲面在第一卦限的点处的法向量为，),(zyxM21 ,21 ,21zyxn 切平面方程为，0)(1 )(1 )(1zZzyYyxXx即，1 zyxzZyYxX 切平面在三个坐标轴上的截距分别为.,zyx求条件极值问题：，1 : :maxzyxtsxyzA设函数：，Lagrange) 1(),(zyxxyzzyxF，代
12、入(4)得。(4) 01(3) 02(2) 02(1) 02zyxFzxyFyxzFxyzFzyxzyx91zyx函数A必有最大值，且在定义域内只有唯一驻点0 , 0 , 0),(zyxzyx，)91 ,91 ,91(曲面在点处的切平面在三个坐标轴上的截距之积为最大，该切平面)91 ,91 ,91(方程为。31ZYX5当时,0, 0, 0zyx（1）求在球面上的最大值，zyxzyxfln3lnln),()0(52222rrzyx（2）证明对任何正数，有.cba ,53)5(27cbaabc（1）解： 设，)5(ln3lnln),(2222rzyxzyxzyxF，代入(4)得。(4) 05(3)
13、 0 23(2) 021(1) 0212222rzyxFzzFyyFxxFzyxzyx31rzryx3 ,根据实际问题知，是最大值。)27ln(3ln3lnln)3,(5rrrrrrrf，622lnln3lnln),(zyxzyxzyxf52225)5(27ln)27ln(zyxr即。5222622)5(27zyxzyx（2）证明：令，得。222,zcybxa53)5(27cbaabc5 求证：时成立不等式 。0 , 0 , 1yxnnnnyxyx)2(2（习题课教程 P263例 5）证明：令，)0 , 0( yxSyx设 2),(nnyxyxfz，下面求z在。条件下的极值 Syx作，) (2),(SyxyxyxFnn2Syx,得唯一驻点.(3) 0(2) 02(1) 0211SyxFynFxnFnynx)2,2(SS当时， ；而当或时,得，2SyxnSz)2(Syx , 00 ,ySxnnSSz)2(2显然唯一驻点只能是最小值点，故。)2,2(SSnSz)2(minnnnnyxSyx)2(22