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1、实变函数论考试试题及答案实变函数论考试试题及答案证明题：60 分1、证明lim An=UIAm。nn1 mn证明：设xlim An，则N，使一切n N，x An，所以xnmn1AmAm,n1 mn则可知lim AnAm。设xAm，则有n,使xAm，所以nn1 mnn1 mnmnxlimAn。因此，limAn=Am。nnn1 mn2、若E Rn，对 0，存在开集G,使得E G且满足m*(G E)，证明E是可测集。证明：对任何正整数n，由条件存在开集Gn E，使得m*G E令G Gn,则G是可测集，又因m*G E m*GnEn11。n1，n对一切正整数n成立，因而m(G E)=0，即M G E是一
2、零测度集，故可测。由E G(G E)知E可测。证毕。3、设在E上fn(x)f(x)，且fn(x)fn1(x)几乎处处成立，n 1,2,3,则有fn(x).收敛于f(x)。证明 因为fn(x)f(x)，则存在fnifn，使fni(x)在E上.收敛到f(x)。设E0是fni(x)不收敛到f(x)的点集。En E fn fn1，则mE0 0,mEn 0。因此m(UEn)mEn 0。在E UEn上，fni(x)收敛到f(x)，且fn(x)是单调的。n0n0n1因此fn(x)收敛到f(x)（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。即除去一个零集UEn外，fn(x)收敛于f(x)，就是fn(x).
3、收敛到f(x)。n14、设E R1,fx是E上a.e.有限的可测函数。证明存在定义于R1上的一列连续函数gn(x)，使得lim gn(x)f(x)a.e.于E。n证明：因为f(x)在E上可测，由鲁津定理，对任何正整数n,存在E的可测子集En，使得mE En1，同时存在定义在R1上的连续函数gn(x)，使得当nxEn时有gn(x)=f(x)。所以对任意的 0，成立E f gn E En，1f g m E E由此可得mE。nnn因此limmE f gn 0，即gn(x)f(x)，由黎斯定理存在gnx的n子列gx，使得nkklim gnk(x)f(x)于E.证毕5、设mE ,fn为有限可测函数列，证
4、明：fn(x)limdx 0nE1 f(x)n的充要条件是fn(x)0。fnfnE E f证明：若fn(x)0，由于n,则1 f 0。1 fnn又0 fn(x)1，n 1,2,3,mE ,常函数 1 在E上可积分，由1 fn(x)勒贝格控制收敛定理得limnE1fn(x)fn(x)dx 0dx 0。E反之，若fn(x)1 fn(x)Edx 0（n ），而且fn(x)1 fn(x)0，对 0，令en E fn,由于函数y 1 x,当x 1时是严格增加函数，x因此1nmenfn(x)1 fn(x)endx fn(x)1 fn(x)Edx 0。所以limEfn 0，即fn(x)06、设mE ，.有限
5、的可测函数列fn(x)和gn(x)，n 1,2,3,，分别依测度收敛于f(x)和g(x)，证明fn(x)gn(x)f(x)g(x)。证明：因为fnx gnx fx gx fnx fx gnxgx于是0，成立E|(fn gn)(f g)|E|fn f|U E|gn g|，22所以mE|(fn gn)(f g)|mE|fn f|mE|gn g|22limmE|(fn gn)(f g)|limmE|fn f|limmE|gn g|0nn2n2即gn fn g f填空题：10 分x,yx y 1。求E在R内的E，E，E。解：E x,yx y 1，E x,yx y 1，E x,yx y 1。2、设E22
6、222202222o2222222计算题：30 分4、试构造一个闭的疏朗的集合E 0,1，mE 1。2571解：在0,1中去掉一个长度为的开区间(,)，接下来在剩下的两个闭区间12 12611分别对称挖掉长度为的两个开区间，以此类推，一般进行到第n次时，6311一共去掉2n1个各自长度为n1的开区间，剩下的2n个闭区间，如此重复63下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为11212n11L n1L。663632所以最后所得集合的测度为mE 1111，即mE。222x2dx。8、试求(R)12n(1 x)n11x2,x1,1，则fn(x)为非负连续函数，从而非负可积。解令fn(x)(1 x2)n根据L积分逐项积分定理，于是，x2x2(R)dx(L)dx1(1 x2)n1,1(1 x2)nn1n11x2(L)dx2n1,1n1(1 x)。(L)2。10、试从1,11dx11 x x2 x3,0 x 1,求证1 x111ln2 1L234证明：在x0,1时，x xnn1。0,n 1,2,3,L，由 L 逐项积分定理，2n2n1x xdx(L)0,1x x2nn02n1dx(L)n0n00,11(R)x2n x2n1dx0112n12n2n01111L234另一方面111(L)dx (R)dx ln20,11 x01 x因此可得：111ln2 1L234