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1、精品学习资源一.填空题 1、 Cs ACs B A AB 欢迎下载精品学习资源2、设 E 是 0,1 上有理点全体，就E =,oE =, E =.欢迎下载精品学习资源3、设 E 是 Rn 中点集，假如对任一点集T 都有就称 E 是 L 可测的欢迎下载精品学习资源4. 设 E, F 是两个集合 ,作集合列 AkE,k为奇数, F,k为偶数,k=1,2,就 lim Ak ,k欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源limkAk .欢迎下载精品学习资源5 假设 Q 是 Rn 中的有理点集 ,就 m A ;假设 I 是 Rn 中的闭矩体 ,就 m I .欢迎下载精品学习资源6 设 ERn .假设对任意
2、的点集TRn,有 m*T ,就称 E 为欢迎下载精品学习资源Lebesgue 可测集 .11欢迎下载精品学习资源7、设 An,2, nnn1,2,，就 lim An ；no欢迎下载精品学习资源8、设 P 为 Cantor 集，就 P， mP ， P =；欢迎下载精品学习资源9 设Si是一列可测集，就mSi mSi欢迎下载精品学习资源i 1i 1欢迎下载精品学习资源10 设 A0, 1, A0, 2k1 ,就 limA ,limA .欢迎下载精品学习资源2k2 k 1nn2kkkkk欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源11 假设AR 是可数集 ,就 m A ;假设 I 是R 中的开矩体 ,就
3、 m I .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12 假设f x是 ERn 上几乎到处有限的可测函数,就对任给的0 ,存在 E 中的闭集 F ,欢迎下载精品学习资源m EF,使得.欢迎下载精品学习资源13 设集合A, B, C 满意 CBA ，假设A C ，就.欢迎下载精品学习资源二、挑选题 1、以下各式正确的选项是欢迎下载精品学习资源nA lim Ann1 k nAk ;B lim Annn 1 k nAk ;欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C lim Annn1 k nAk ;D lim Annn 1 k nAk ;欢迎下载精品学习资源2、设 P 为 Cantor 集，就以下各
4、式不成立的是欢迎下载精品学习资源A PcBmP0CPP(D) PP欢迎下载精品学习资源3、以下说法不正确的选项是(A) 凡外侧度为零的集合都可测B可测集的任何子集都可测欢迎下载精品学习资源C开集和闭集都是波雷耳集D波雷耳集都可测欢迎下载精品学习资源4、设fn x是 E 上的a.e. 有限的可测函数列 , 就下面不成立的是 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A. 假设fn xf x ,就fn xf xB. supnfn x是可测函数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C. infnfn x是可测函数 ;D.假设fn xf x , 就f x 可测欢迎下载精品学习资源5、设 fx是 a,
5、b 上有界变差函数，就下面不成立的是欢迎下载精品学习资源A.fx在a,b 上有界B.f x 在 a,b 上几乎到处存在导数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C. f x 在a,b 上 L 可积Dbf xdxaf bf a欢迎下载精品学习资源6 设 C 为0,1 中 Cantor 集,就下面说法错误的选项是 : A.C 是闭集 .B.C 是完全集 .C.C.D.C 是可数集n7 以下关于开集和闭集的性质中,错误的选项是 欢迎下载精品学习资源A., Rn 既是开集 ,又是闭集 . B.R 中的开集和闭集一样多 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1C. 设 Gk k是 Rn 中的一个开
6、集列 ,就其并集Gk 是开集 .k 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源D. 设 F 是 R 中的一个闭集列 ,就其交集F 是闭集 .欢迎下载精品学习资源nkk 1kk 18 在下面命题中正确的选项是A. 假设 E 为 Rn 中的无界集 ,就 m E.B. 假设 E 为 Rn 中的可测集 ,且 E 中至少有一个内点 ,就 m E0 .欢迎下载精品学习资源C. 设 E 是 0,1 中的可测集 ,且 m E1 ,就 m E1.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源D. 假设 m E0 ,就 E 为Rn 中的可数集 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源9 以下命题正确的选项是 A.假设
7、 fx 在点集 EnR 上可测 ,就 fx在 E 上可测 ,反之亦然 .欢迎下载精品学习资源nB.假设fx在点集EC. 假设fx在点集上可R 上可测 ,就 f 2x 在 E 上可测 ,反之亦然 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源nn测 ,就 f 3x 在 E 上可测 ,反之亦然 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源D. 设点集 ER ,就Ex 是 R 上的可测函数 .欢迎下载精品学习资源10. 设M , N 是两集合，就MMN =欢迎下载精品学习资源(A) MBNCMN D11 以下说法不正确的选项是 欢迎下载精品学习资源AP0 的任一领域内都有 E 中无穷多个点，就P0 是 E
8、 的聚点欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源(B) BP0 的任一领域内至少有一个E 中异于P0 的点，就P0 是 E 的聚点欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源(C) 存在 E 中点列Pn，使 PnP0 ，就P0 是 E 的聚点欢迎下载精品学习资源(D) 内点必是聚点12. 以下断言 是正确的；A. 任意个开集的交是开集；B.任意个闭集的交是闭集；C. 任意个闭集的并是闭集；D. 以上都不对；13. 以下断言中 是错误的；A零测集是可测集；B可数个零测集的并是零测集；C任意个零测集的并是零测集；D零测集的任意子集是可测集；14. 设Q 是 R 中有理数的全体，就在R 中 Q 的导集
9、Q 是 AQBCRD RQ欢迎下载精品学习资源15. 设 Fn是一列闭集， FFn ，就 F 肯定是n 1欢迎下载精品学习资源(A) 开集B 闭集CG 型集DF 型集16. 设 E 是 R 中有理数全体，就 mEA 0B1CD-17 下面哪些集合的并组成整个集合的点A. 内点，界点，聚点 B. 内点，界点，孤立点C. 孤立点，界点，外点D . 孤立点，聚点，外点18. 设 P 是 Cantor 集，就欢迎下载精品学习资源(A) P 与Rn 对等，且 P 的测度为 0BP 与 Rn 对等，且 P 的测度为 1欢迎下载精品学习资源CP 与 Rn 不对等， P 的测度为 0DP 与 Rn 不对等，
10、P 的测度为 1欢迎下载精品学习资源19 设f x与 gx 在 E 上可测，就 E fg 是 欢迎下载精品学习资源(A) 可测集B不行测集C空集D无法判定欢迎下载精品学习资源20. 设f x在可测集 E 上有定义，f n xminf x, n，就 f n x 是 欢迎下载精品学习资源(A) 单调递增函数列 B单调递减函数 C可积函数列D连续函数列21 设 E 是任一可测集，就 AE 是开集 BE 是闭集CE 是完备集欢迎下载精品学习资源D对任意0 ，存在开集 GE ，使 mGE22 以下命题错误的选项是 欢迎下载精品学习资源A. 假设 E, 就 E c.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源
11、B. 假设E1, E2,且 E1E2,就 m E1E2m E1m E2 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C. 假设EE, 就 m*EEm*Em*E.欢迎下载精品学习资源121212欢迎下载精品学习资源D. 设 Ei, 就Ei.i 1欢迎下载精品学习资源23 以下集合不是可数集的是11A.R 中的整数集 ZB.自然数集 NC.0,1 中的 Cantor 集D.R 中互不相交的开区间族24. 以下关于开集的说法错误的选项是A. 假设 Gc 是闭集，就 G 是开集B.假设 EE ，就 E 是开集欢迎下载精品学习资源1C. 设 Gk k是 Rn 中的一个开集列 ,就其并集Gk 是开集 .k
12、1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1D. 设 Gk k是 Rn 中的一个开集列 ,就其并集Gk 是开集 .k 1欢迎下载精品学习资源三.判定题 每题 2 分,共 20 分1. 在全部基数中 ,连续基数 c 是最大基数 .欢迎下载精品学习资源2. E 为 Rn 中的有限点集 ,就 E . 欢迎下载精品学习资源3. E, FRn ,就EFEF . 欢迎下载精品学习资源n4. E, F 为R 中的可测集 ,假设 EF 且 EF ,就 m Em F. 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 假设 Ek 是Rn 中的递减可测集合列,就 mlim Ekklimkm Ek.欢迎下载精品学习资源
13、欢迎下载精品学习资源n6. 设 ERn ,假设 m E0 ,就 fx 在 E 上可测 . 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源7. 假设函数 fx 在点集 ER 上连续 ,就 fx 在点集 E 上可测 . 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n8. 假设函数 fx 在点集 ERn 上有界可测 ,就 fx 在点集 E 上可积 . 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源9. 函数 fx 在点集 ER 上可积的充要条件是fx在 E 上可积 . 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源10、由于 0,10,10,1 ，故不存在使0,1 和0，1之间 11对应的映射；欢迎下载精品学习资源11
14、可数个零测度集之和集仍为零测度集；12 假设 E 与它的真子集对等，就E 肯定是有限集 13. 凡非负可测函数都是 L 可积的欢迎下载精品学习资源14. 设 A为 R1 空间中一非空集，假设Aa. 就 Aa.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源15 设 E 为可测集，就存在 G 型集 F ，使得 F16 点集 E 的内点肯定是聚点 . E ，且mEF 0 欢迎下载精品学习资源17 E, FRn ,就EFEF . 18 G , G 为 Rn 中的开集 ,假设 GG 且GG ,就 m Gm G.12121212欢迎下载精品学习资源n19 假设 Ek 是R 中的递增可测集合列,就 mlim Ek
15、klimkm Ek.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源20 假设ERn ,假设 m*E0 ,就 fx 在 E 上可测 . 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源nn21 假设函数 fx 在点集 ER 上可测 ,就 fx 在 E 的任何一个子集上也可测 . 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22 fx 在点集 ER 上可积 ,就 fx 在点集 E 上是几乎到处有限的. 欢迎下载精品学习资源四 证明题 . 1,2,3题各 8 分,第 4 小题 10 分欢迎下载精品学习资源1. 设ES, FSC , S.证明 m*EFm* Em* F .欢迎下载精品学习资源2. 证明点集 E 可测的充
16、要条件是 :对任给的0 ,存在开集 G :GE 且存在闭集 F : FE ,使得 m GF.0,1 上的全体无理数作成的集其势为c欢迎下载精品学习资源4. 设 fx 是 , 上的实值连续函数，就对任意常数c ， E x |f xc是一开集 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5 设0,开集 GE, 使 m* GE，就 E 是可测集；欢迎下载精品学习资源6 开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集n7. R 上全体有理数点集的外测度为零8 设 A , ARn,AA ,A 是可测集且有 m Am*A.证明:A 是可测集 .121211221五、以下命题是否成立 .假设成立 , 就证明之 ; 假设不成立 , 就举反例说明 .欢迎下载精品学习资源1、设ER ，假设 E是稠密集，就 CE 是无处稠密集；欢迎下载精品学习资源2、假设 mE0 ，就 E 肯定是可数集 .欢迎下载精品学习资源3、假设 |f x | 是可测函数，就f x必是可测函数；欢迎下载