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1、实变函数测试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】实变函数试题一，填空题1An.1.设An,2,n 1,2,则limnn2.a,b,因为存在两个集合之间的一一映射为1cos,x 0y 2xR3.设E是中函数的图形上的点所组成的集0,x 0合，则E，E.nE R4.若集合满足E E,则E为集.5.若,是直线上开集G的一个构成区间,则,满足:,.6.设E使闭区间a,b中的全体无理数集,则mE.7.若mE fn(x)f(x)0,则说fn(x)在E上.nx R8.设E R,0,若,则称x0是nE的聚点.9.设fn(x)是
2、E上几乎处处有限的可测函数列,f(x)是E上 几乎处处有限的可测函数,若,则称 0,有fn(x)在E上依测度收敛于f(x).10.设fn(x)f(x),xE,则fn(x)的子列fnj(x),使得.二,判断题.正确的证明,错误的举反例.1.若A,B可测,A B且A B,则mA mB.2.设E为点集,PE,则P是E的外点.E 1,2,3.点集1,n的闭集.4.任意多个闭集的并集是闭集.5.若E R,满足m*E ,则E为无限集合.三,计算证明题1.证明:nABCAB3AC2.设M是R空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明M为可数集.3.设Em*Rn,E Bi且Bi为可
3、测集,i 1,2.根据题意,若有BiE0,i,证明E是可测集.3ln 1 x,xPf(x).2x,x 0,1 P4.设P是Cantor集,求(L)10f(x)dx.35.设函数f(x)在Cantor集P0中点x上取值为x,而在P0的余集中1长为n31的构成区间上取值为n6,n 1,2,求10f(x)dx.1nx3lim(R)sin6.求极限:n01n2x3nxdx.实变函数试题解答一填空题1.0,2.2.(x)tanbaxa2,xa,b.13.(x,y)y cosx,x 04.闭集.5.,G.G,G.6.ba.7.几乎处处收敛于f(x)或a.e.收敛于f(x).8.对 0,U(x0,)有E x
4、0.0(0,y)y 1;.mE fn(x)f(x)09.limn10.fn(x)f(x)a.e.于E.二判断题1.F.例如,A (0,1),B 0,1,则A B且A B,但mA mB 1.2.F.例如,0(0,1),但 0 不是(0,1)的外点.3.F.由于E0 E.114.F.例如,在R中,Fnn,1n,n 3,41是一系列的闭集,但是n3Fn(0,1)不是闭集.5.T.因为若E为有界集合,则存在有限区间I,I ,使得*m E m I I ,m E .E I,则于三,计算证明题.1.证明如下:ABC ABASSCBSCACSBAACSBAB AC2.M中任何一个元素可以由球心(x,y,z),
5、半径为r唯一确定,x,y,z跑遍所有的正有理数,r跑遍所有的有理数.因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集,故M为可数集.3.令B i1Bi,则E B Bi且B为可测集,于是对于i,都有B E Bi E,故0 m*BE m*BiE,*mBE 0,故BE可测.从而令i,得到E BBE可测.4.已知mP 0,令G 0,1P,则(L)f(x)dx (L)ln1 x3dx(L)x2dx0PG1(L)f(x)dxG(L)x2dx(L)x2dxPG(R)f(x)dx01x331013.5.将积分区间0,1分为两两不相交的集合:P0,G1,G2,其中n11P0为Cantor集,Gn是P0的余集中一切长为
6、n31的构成区间(共有2个)之并.由L积分的可数可加性,并且注意到题中的mP0 0,可得0f(x)dxP0f(x)dxf(x)dxf(x)dxn 1Gnf(x)dxf(x)dx1dxn612n 1n63nP0 n 1G0P0 n 1G01 nmGnn 16111n916n 12n 11nxnx33sin nx(R)sin nxdx存6.因为在0,1上连续,232301n x1n x1nx3(L)sin在且与01n2x3nxdx的值相等.易知nxnx2nx113sin nx.2323231n x1n x1n x2 x2 x111dx收敛，则由于在0,1上非负可测，且广义积分02 x2 x1nx3
7、limsin nx 0，在0,1上(L)可积，由于n231n x2 xx0,1，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到1nxnx33lim(R)sin nxdx lim(L)sin01n2x3nxdx01n2x3nn1nx3limsin nxdx0n1n2x3.1320dx 001一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15 分，每小题 3 分）1.非可数的无限集为 c 势集2.开集的余集为闭集。3.若 m E=0，则 E 为可数集4.若|f(x)|在 E 上可测，则 f(x)在 E 上可测5.若 f(x)在 E 上有界可测，则 f(x)在 E 上可积二、将正确答案
8、填在空格内（共 8 分，每小题 2 分）1._可数集之并是可数集。2.A.任意多个 B.c 势个 C.无穷多个 D 至多可数个3._闭集之并交是闭集。4.A.任意多个 B.有限个 C.无穷多个 D 至多可数个5.可数个开集之交是_6.A 开集 B 闭集 C F 型集 D G 型集7.若|f|在 E 上可积，则_8.A.f 在 E 上可积 B.f 在 E 上可测 C.f 在 E 上有界 D.f 在 E 上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou 引理、Lebesgue 控制收敛定理（共 9分，每小题 3 分）。四、证明下列集合等式（共 6 分，每小题 3 分）：1.S-S=(S-S)Ef
9、a-2.Ef a=五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8 分）六、证明：设 f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x)于 E，且|f|d|f|d|f|d，则对任意可测子集 eE 有|f|d（7 分）七、计算下列各题：（每小题 5 分，共 15 分）1.2.设 f(x)=3.设 f(x)=sin(nx)d=求d=d=n=2,3,求一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)1.非可数的无限集为 c 势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于 c）。2.开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。3.若 m E=0
10、，则 E 为可数集（不正确！如 contorP 集外测度为 0，但是 C 势集）。4.若|f(x)|在 E 上可测，则 f(x)在 E 上可测（不正确！如）5.若 f(x)在 E 上有界可测，则 f(x)在 E 上可积（不正确！如有界可测，但不可积）二、将正确答案填在空格内1 至多可数个 可数集之并是可数集。A.任意多个势个 C.无穷多个 D 至多可数个2.有限个 闭集之并交是闭集。A.任意多个 B.有限个 C.无穷多个 D 至多可数个3.可数个开集之交是 G 型集A 开集 B 闭集 C F 型集 D G 型集4.若|f|在 E 上可积，则 f 在 E 上几乎处处有限A.f 在 E 上可积 B
11、.f 在 E 上可测 C.f 在 E 上有界 D.f 在 E 上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou 引理、Lebesgue 控制收敛定理（见教材，不赘述！）。四、证明下列集合等式=解：(S-S)=(S-S)2。Ef a=证明：Efa-所以，同理，故五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。证明：（分析法证明）设要证为开集，只须证明事实上，取时，自然有。故为开集。无限个开集之交不一定是开集。反例：设不是开集，又不是闭集。六、证明：设 f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x)于 E，则=既且|f|d|f|d，则对任意可测子集 eE 有|f|d证明：因
12、为 f(x)|f|df(x)于 E，对任意由 Fatou 引理知|f|d 而已知|f|d|f|d|f|d，则对任意由 Fatou 引理知：一方面|f|d=|f|d=|f|d|f|d|f|d|f|d|f另一方面，|f|d=|d|f|d|f|d-|f|d=故即|f|d|f|d=|f|d|f|d|f|d七、计算下列各题：1sin(nx)d=解：因为sin(nx)0 于0，1第 3 页 共 4 页且|1则由 Lebesgue 控制收敛定理知：sin(nx)d=sin(nx)d=02设 f(x)=解：求d=所以3设 f(x)=n=2,3,求d=解：因为 f(x)=n=2,3,在上非负可测，所以由 Leb
13、esgue 逐块积分定理知：d=。一、选择题(共 10 题，每题 3 分，共 30 分)1.设Q是R中有理数的全体，则在R中Q的导集Q是【】(A)Q(B)(C)R(D)RQ2.设 是一列闭集，FnF Fn，则F一定是n1【】(A)开集(B)闭集 (C)G型集(D)集3.设E是R中有理数全体，则mE【】(A)0(B)1 (C)(D)-4.下面哪些集合的并组成整个集合的点【】(A)内点，界点，聚点 (B)内点，界点，孤立点(C)孤立点，界点，外点(D)孤立点，聚点，外点F型5.设P是 Cantor 集，则【】(A)P与Rn对等，且P的测度为 0(B)P与Rn对等，且P的测度为 1(C)P与Rn不对
14、等，P的测度为 0(D)P与Rn不对等，P的测度为 16.设f(x)与g(x)在E上可测，则Ef g是【】(A)可测集 (B)不可测集 (C)空集 (D)无法判定7.设f(x)在可测集E上有定义，fn(x)minf(x),n，则fn(x)是(A)单调递增函数列(B)单调递减函数列(C)可积函数列(D)连续函数列8.设E是任一可测集，则【】(A)E是开集 (B)E是闭集(C)E是完备集【】(D)对任意 0，存在开集G E，使m(G E)sin2x,x0,1Q Q，则f(x)dx 0,112x,x0,1Q Q9设f(x)【】(A)1 (B)2(C)3 (D)410设fn是E上一列几乎处处有限的可测
15、函数，若对任意 0，有下面条件成立，则fn(x)依测度收敛于f(x)【】(A)limmEfn(x)f(x)0 (B)limmEfn(x)f(x)0nn(C)limmEfn(x)f(x)0(D)limmEfn(x)f(x)0nn二、定理叙述题(共 2 题，每题 5 分，共 10 分)1.鲁津定理引理三、判断改正题(正确的打对号，错误的打错号并改正，共 5 题，每题 4分，共 20 分)1.若E与它的真子集对等，则E一定是有限集【】2.凡非负可测函数都是L可积的【】3.设A为R1空间中一非空集，若A a.则A a.【】4.设E为可测集，则存在G型集F，使得F E，且m(E F)0【】5.f(x)在
16、a,b上L可积，则f(x)在a,bR可积且四、证明题(共 4 题，每题 10 分，共 40 分)1.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集2.Rn上全体有理数点集的外测度为零3.设函数列fn在E上依测度收敛f，且fn ha.e于E，则f ha.e于E4.设f(x)在a,b上可积，则limbt0af(xt)f(x)dx 0判断题（每题 2 分，共 20 分）1.必有比a大的基数。（）2.无限个闭集的并必是闭集。（）3.若mE 0，则E是至多可列集。（）4.无限集的测度一定不为零。（）(L)a,bf(x)dx (R【】5.两集合的外测度相等，则它们的基数相等。（）6.若f(x)在E的任
17、意子集上可测，则f(x)在可测集E上可测。（）7.E上可测函数列的极限函数在E上不一定可测。（）8.f(x)是E上的可测函数，则f(x)可积。（）9.若f(x)0且f(x)dx 0，则f(x)0a.e.于E。（）E10.若|f(x)|在E上可积，则f(x)在E上也可积。（）二、填空题（每题 2 分，共 20 分）1.设An(0,n),n 1,2,，则 An，An。n1n11,2,3,n,R1，则A0，A。2.设A 3.设B是开区间(0,2)中有理点的全体，则mB。4.单调函数的不连续点集的基数是。5.设E是0,1上的Cantor集，则E。6.闭区间a,b上的有界函数f(x)Rimann可积的充
18、要条件是。(x)dx。7.狄利克雷函数函数D(x)是可积的，0D,1三、计算题（每题 10 分，共 20 分）.1.计算lim(R)0n1n xdx。（提示：使用 Lebesgue 控制收敛定理）1 n4x22122.设f(x)x,xP0;x,x0,1 P02，其中P0是 Cantor 集，试计算0,1f(x)dx。四、证明题（每题 8 分，共 40 分）1.证明：x|x 0 x|x 1n1n2.设M是平面上一类圆组成的集合，中任意两个圆不相交，证明M是是至多可列集。3.如果mE 0，则E的任何子集也可测且测度为零。4.设f(x)在E上可积，且f(x)g(x).a.e.于E，证明：g(x)也在
19、E上可积。5.可测集E上的函数f(x)为可测函数充分必要条件是对任何有理数r，集合E f(x)r是可测集。一、单项选择题一、单项选择题（3 分5=15 分）1、1、下列各式正确的是（）（A）limAn Ak;（B）lim An Ak;nn1knnn1kn（C）limAn Ak;（D）lim An Ak;nn1knnn1kn2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A）P c (B)mP 0 (C)P P (D)P P3、下列说法不正确的是（）(A)凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测4、设fn(x)是E上的a.e
20、.有限的可测函数列,则下面不成立的是()（A）若fn(x)f(x),则fn(x)f(x)(B)supfn(x)是可测函数n（C）inffn(x)是可测函数;（D）若fn(x)f(x),则f(x)可测n5、设 f(x)是a,b上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A)f(x)在a,b上有界 (B)f(x)在a,b上几乎处处存在导数（C）f(x)在a,b上 L 可积 (D)af(x)dx f(b)f(a)b二二.填空题填空题(3 分5=15 分)1、(CsACsB)(A(A B)_2、设E是0,1上有理点全体，则E=_,E=_,E=_.o3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都有_，则称E是L可测
21、的4、f(x)可测的_条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设f(x)为a,b上的有限函数，如果对于a,b的一切分划，使_,则称f(x)为a,b上的有界变差函数。三、下列命题是否成立若成立三、下列命题是否成立若成立,则证明之则证明之;若不成立若不成立,则举反例说明则举反例说明.1、设E R1，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。2、若mE 0，则E一定是可数集.3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数。4设f(x)在可测集E上可积分，若xE,f(x)0，则f(x)0E四、解答题四、解答题（8 分2=16 分）.x2,x为无理数1、（8分）设f(
22、x)，则f(x)在0,1上是否R可1,x为有理数积，是否L可积，若可积，求出积分值。2、（8 分）求limn0ln(xn)xecosxdxn五、证明题五、证明题（6 分4+10=34 分）.1、（6 分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c.2、（6 分）设f(x)是,上的实值连续函数，则对于任意常数a,E x|f(x)a是闭集。3、（6 分）在a,b上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。4、（6 分）设mE ,f(x)在E上可积，en E(|f|n)，则limnmen 0.n5、（10分）设f(x)是E上a.e.有限的函数，若对任意 0，存在闭子集F E，使f(x)在F
23、上连续，且m(E F)，证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分）11.非可数的无限集为 c 势集12.开集的余集为闭集。13.若 m E=0，则 E 为可数集14.若|f(x)|在 E 上可测，则 f(x)在 E 上可测15.若 f(x)在 E 上有界可测，则 f(x)在 E 上可积二、将正确答案填在空格内（共8分，每小题2分）16._可数集之并是可数集。17.A.任意多个 B.c 势个 C.无穷多个 D 至多可数个18._闭集之并交是闭集。19.A.任意多个 B.有限个 C.无穷多个 D
24、 至多可数个20.可数个开集之交是_A 开集 B 闭集 C F 型集 D G 型集21.若|f|在 E 上可积，则_A.f 在 E 上可积 B.f 在 E 上可测 C.f 在 E 上有界 D.f 在 E 上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou 引理、Lebesgue 控制收敛定理（共9分，每小题3分）。四、证明下列集合等式（共6分，每小题3分）：22.S-S=(S-S)Efa-23.Ef a=五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8分）六、证明：设 f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)|f|d|f|df(x)于 E，且|f|d，则对任意可测子集
25、eE 有|f|d（7分）七、计算下列各题：（每小题5分，共15分）24.25.设 f(x)=26.设 f(x)=sin(nx)d=求d=d=n=2,3,求一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)6.非可数的无限集为 c 势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于 c）。7.开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。8.若 m E=0，则 E 为可数集（不正确！如 contorP 集外测度为0，但是 C 势集）。9.若|f(x)|在 E 上可测，则 f(x)在 E 上可测（不正确！如）10.若 f(x)在 E 上有界可测，则 f(x)在 E 上可
26、积（不正确！如有界可测，但不可积）二、将正确答案填在空格内1 至多可数个可数集之并是可数集。A.任意多个势个 C.无穷多个 D 至多可数个2.有限个闭集之并交是闭集。A.任意多个 B.有限个 C.无穷多个 D 至多可数个3.可数个开集之交是 G 型集A 开集 B 闭集 C F 型 D G 型集4.若|f|在 E 上可积，则 f 在 E 上几乎处处有限A.f 在 E 上可积 B.f 在 E 上可测 C.f 在 E 上有界 D.f 在 E 上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou 引理、Lebesgue 控制收敛定理（见教材）。四、证明下列集合等式=解：(S-S)=(S-S)2。Ef a
27、=证明：Efa-所以，同理，故五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。证明：（分析法证明）设要证事实上为开集，只须证明，取。故为开集。时，自然有无限个开集之交不一定是开集。反例：设不是开集，又不是闭集。六、证明：设 f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x)于 E，则=既且|f|d|f|d，则对任意可测子集 eE 有|f|d证明：因为 f(x)|f|d 而已知一方面|f|d|f|d=|f|d=|f|d=|f|df(x)于 E，对任意|f|d|f|d，则对任意|f|d|f|d|f|d|f|d|f由 Fatou 引理知：由 Fatou 引理知另一方面，|f|d=|
28、d故即|f|d|f|d-|f|d|f|d=|f|d|f|d|f|d七、计算下列各题：1解：因为sin(nx)d=sin(nx)0于0，1 且|1则由 Lebesgue 控制收敛定理知：sin(nx)d=sin(nx)d=02设 f(x)=解：求d=所以3设 f(x)=解：n=2,3,求d=因为 f(x)=n=2,3,在上非负可测，所以由Lebesgue 逐块积分定理知：d=一、填空：（共一、填空：（共 1010 分）分）。1如果则称E是自密集，如果则称E是开集，如果E E则称E是，E E E称为E的 .2设集合G可表示为一列开集Gi之交集：G Gi，则G称i1为 .若集合F可表示为一列闭集Fi
29、之并集：F Fi，则F称i1为 .3（Fatou 引理）设fn是可测集E Rq上一列非负可测函数，则 .4设f(x)为a,b上的有限函数，如果对于a,b的一切分划nT:a x0 x1 xnb，使|f(xi)f(xi1)|成一有界数集，则称i1f(x)为a,b上的，并称这个数集的上确界为f(x)在a,b上的，记为 .二、选择填空：（每题 4 分，共 20 分）1下列命题或表达式正确的是Ab b B2 2C对于任意集合A,B，有A B或B A D2下列命题不正确的是A若点集A是无界集，则m*A B若点集E是有界集，则m*E C可数点集的外测度为零 D康托集P的测度为零3下列表达式正确的是f(x)m
30、ax f(x),0 Bf(x)f(x)f(x)|f(x)|f(x)f(x)D f(x)n minf(x),n4下列命题不正确的是A开集、闭集都是可测集 B可测集都是 Borel 集C外测度为零的集是可测集 DF型集，G型集都是可测集5下列集合基数为a（可数集）的是A康托集P B(0,1)C设A Rn,A x (x1,x2,xn)|xi是整数，i 1,2,nD区间(0,1)中的无理数全体三、（20 分）叙述并证明鲁津（Lusin）定理的逆定理四、（20 分）设E R，f(x)是E上a.e.有限的可测函数，证明：存在定义在R上的一列连续函数gn，使得limgn(x)f(x)a.e.于Ennxsin
31、2007nxsin nxedx 0五、（10 分）证明lim(R)22n1 n x01六、（10 分）设f(x)是满足 Lipschitz 条件的函数，且f(x)0a.e.于a,b，则f(x)为增函数七、（10 分）设f是a,b上的有界变差函数，证明f2也是a,b上的有界变差函数一、填空题：（共一、填空题：（共 1010 分）分）1、E E,E E（或E E）闭集，闭包2、G型集，F型集 3、lim fn(x)dx limfn(x)dxEnnE004、有界变差函数，全变差，V(f)ab二、选择填空：（每小题二、选择填空：（每小题 4 4 分，共分，共 2020 分）分）1、D 2、A 3、D
32、4、B 5、C三、（三、（2020 分）分）定理：设f(x)a.e.有限于E，若对于任意的 0，总有闭集F E，使m(E F)，且f(x)在F上连续，则f是E上的可测函数.证对任意的正整数n，存在闭集Fn E使m(E Fn)，且f在Fn1n上连续，从而f在Fn上可测设F Fk，则F是可测集，且E F E Fn,n 1,2,，于是k11,n 1,2,n m(E F)0 f在E F上可测m(E F)m(E Fn)由于E (E F)F，只须证f在F上可测，事实上，对任意的aR，F f a Fn f an1 F f a是可测集 f在F上可测 f在E上可测（5 分）四、（四、（2020 分）分）证明f在
33、E上可测，由 Lusin 定理，对任何正整数n，存在E的可测子集En，使得m(E En)，同时存在定义在R上的连续函数n(x)，使得当xEn时有n(x)f(x)（7 分）所以对任意的 0，成立E|f n|E En，n 1,2,1n mE|f n|m(E En)n1,n 1,2,n limmE|f n|0因此n f由定理，存在n的子列n，使limn(x)f(x)a.e.于E，记kkkn(x)gk(x)，则klimgn(x)limgk(x)f(x)a.e.于Enk五、（五、（1010 分）分）nxsin2007nxsin nxe证明设fn(x)221 n x则fn(x)在0,1上连续，因而R可积
34、L可积，nxsin2007nxsin nxe 0 x0,1且lim fn(x)lim22nn1 n x取F(x)e，则|fn(x)|F(x)，而m(0,1)1 由 Lebesgue 有界收敛定理 lim(R)fn(x)dx lim(L)n0n1120,1fn(x)dx (l)dx 00,1六、（六、（1010 分）分）证因为f满足 Lipschitz 条件，所以f是绝对连续函数，对任意的x1,x2a,b,x1 x2，由牛顿莱布尼兹公式f(x1)f(a)f dx（1）ax2ax1f(x2)f(a)f dx（2）dx 0（2）（1）f(x2)f(x1)f x1x2 f(x2)f(x1)f(x)是a,b上的单调函数七、（七、（1010 分）分）证f是有界变差函数，因而是有界函数，于是|f|m，xa,b对a,b的任意分划T:a x0 x1 xn b有|fi1n2(xi)f(xi1)|f(xi)f(xi1)|f(xi)f(xi1)|2i1n 2M|f(xi)f(xi1)|i1n 2MV(f)ab因此f2也是a,b上的有界变差函数