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1、 中考数学专题复习存在性问题 一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，顶点为D.（1）写出的值； （2）判断ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使AOMABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx
2、轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线与双曲线相交于点A，B已知点B的坐标为（2，2），点A在第一象限内，且tanAOX4过点A作直线AC轴，交抛物线于另一点C（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABC的面积若存在，写出点D的坐标；若不存在，说明理由4.如图，抛物线yax2c（a0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A（2,0），B（1, 3）（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M为y轴
3、上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使SPAD4SABM成立，求点P的坐标（4分）(4)在抛物线的BD段上是否存在点Q使三角形BDQ的面积最大，若有，求出点Q的坐标，若没有，说明理由。 xyCB_D_AO三、二次函数中直角三角形的存在性问题5.如图,在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点
4、E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.四、二次函数中等腰三角形的存在性问题6.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）. 求抛物线的解析式; 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；OCBA若不存在，请说明理由.五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题 7如图，二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(-，0)、B(2，0)两点，且与y轴交于点C； (1) 求该
5、拋物线的解析式，并判断ABC的形状； (2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。yABCOx六、二次函数中菱形的存在性问题8如图，抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D直线y=2x1经过抛物线上一点B（2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若SADP=SADC，求出所有
6、符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由 七、二次函数中与圆有关存在性问题9. 已知：抛物线与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），它的对称轴交x轴于点N（x3，0），若A，B两点距离不大于6，（1）求m的取值范围；（2）当AB=5时，求抛物线的解析式；（3）试判断，是否存在m的值，使过点A和点N能作圆与y轴切于点（0，1），或过点B和点N能作圆与y轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的
7、m的值，若不存在试说明理由定值问题：1.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 1、【答案】解：（1）由平移的性质知，的顶点坐标为（，），。（2）由（1）得. 当时， 解之，得。. 又当时，C点坐标为（0，3）。又抛物线顶点坐标D（1，4），作抛物线的对称轴交轴于点E，DF 轴于点F。易知在RtAED中，A
8、D2=22+42=20，在RtAOC中，AC2=32+32=18， 在RtCFD中，CD2=12+12=2， AC2 CD2AD2。ACD是直角三角形。（3）存在作OMBC交AC于M，点即为所求点。由（2）知，AOC为等腰直角三角形，BAC450，AC。由AOM ABC，得。即。过M点作MGAB于点G，则AG=MG=，OG=AOAG=3。又点M在第三象限，所以M（，）。2、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，抛物线过A（2，0），B（3，3），O（0，0）可得，解得。抛物线的解析式为。（2）当AE为边时，A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，DE=AO=2，则D在轴下方不可能，D在轴上方
9、且DE=2，则D1（1，3），D2（3，3）。当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（1，1）。故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（3，3），C（1，1）。（3）存在，如图：B（3，3），C（1，1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2BOC是直角三角形。假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与BOC相似，设P（，），由题意知0，0，且，若AMPBOC，则。即 +2=3（2+2）得：1=，2=2（舍去）当=时，=，即P（，）。若PM
10、ABOC，则，。即：2+2=3（+2）得：1=3，2=2（舍去）当=3时，=15，即P（3，15）故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）。3、【答案】解：（1）把点B（2，2）的坐标代入得，4。双曲线的解析式为：。设A点的坐标为（m，n）A点在双曲线上，mn4。又tanAOX4，4，即m4n。n21，n1。A点在第一象限，n1，m4。A点的坐标为（1，4）。把A、B点的坐标代入得，解得，1，3。抛物线的解析式为：。（2）AC轴，点C的纵坐标y4，代入得方程，解得14，21（舍去）。C点的坐标为（4，4），且AC5。又ABC的高为6，ABC的面积5615。（3）存在D点使ABD的面
11、积等于ABC的面积。理由如下：过点C作CDAB交抛物线于另一点D，此时ABD的面积等于ABC的面积（同底：AB，等高：CD和AB的距离）。直线AB相应的一次函数是：，且CDAB，可设直线CD解析式为，把C点的坐标（4，4）代入可得，。直线CD相应的一次函数是：。解方程组，解得，。点D的坐标为（3，18）。4.（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程 解之得：；故为所求（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点设BD的解析式为，则有，故BD的解析式为；令则，故(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，易知BN=MN=1，
12、易求图3；设，依题意有：，即：解之得：，故符合条件的P点有三个：5.解答：解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（4，5），解得：b=2，c=3；（2）如图：直线AB经过点A（1，0），B（4，5），直线AB的解析式为：y=x+1，二次函数y=x22x3，设点E（t，t+1），则F（t，t22t3），EF=（t+1）（t22t3）=（t）2+，当t=时，EF的最大值为，点E的坐标为（，）；（3）如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，4）S四边形EBFD=SBEF+SDEF=（4）+
13、（1）=；如图：）过点E作aEF交抛物线于点P，设点P（m，m22m3）则有：m22m2=，解得：m1=，m2=，P1（，），P2（，），）过点F作bEF交抛物线于P3，设P3（n，n22n3）则有：n22n2=，解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），P3（，），综上所述：所有点P的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）能使EFP组成以EF为直角边的直角三角形6.解：（1）当=0时，=3 当=0时，=1 （1，0），（0，3）（3，0）1分设抛物线的解析式为=a（+1）（3）3=a1（3） a=1此抛物线的解析式为=（ + 1）（3）=- +2+32分（2）存在抛物线的对称轴为：x=14
14、分如图对称轴与轴的交点即为Q=， =（1，0）6分当=时，设的坐标为（1，m）2+m=1+（3m）m=1（1，1）8分当=时，设（1，n） 2+n=1+3n0 n=（1，）符合条件的点坐标为（1，0），（1，1），（1，）10分7、答案：解 (1) 根据题意，将A(-，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，解这个方程，得a=，b=1，该拋物线的解析式为y= -x2+x+1，当 x=0时，y=1，点C的坐标为(0，1)。在AOC中，AC=。在BOC中，BC=。AB=OA+OB=+2=，AC 2+BC 2=+5=AB 2，ABC是直角三角形。 (2) 点D的坐标为(，1)。 (3)
15、存在。由(1)知，ACBC。yABCOxP若以BC为底边，则BC/AP，如图1所示，可求得直线BC的解析式为y= -x+1，直线AP可以看作是由直线BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= -x+b，把点A(-，0)代入直线AP的解析式，求得b= -，直线AP的解析式为y= -x-。点P既在拋物线上，又在直线AP上，yABCOPx点P的纵坐标相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=，x2= -(舍去)。当x=时，y= -，点P(，-)。若以AC为底边，则BP/AC，如图2所示。 可求得直线AC的解析式为y=2x+1。 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y=
16、2x+b，把点B(2，0)代入直线BP的解析式，求得b= -4，直线BP的解析式为y=2x-4。点P既在拋物线上，又在直线BP上，点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。当x= -时，y= -9，点P的坐标为(-，-9)。 综上所述，满足题目条件的点P为(，-)或(-，-9)。8解：（1）点B（2，m）在直线y=2x1上m=3 即B（2，3）又抛物线经过原点O设抛物线的解析式为y=ax2+bx点B（2，3），A（4，0）在抛物线上，解得：设抛物线的解析式为（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若SADP=SADC， ，又点C是直线y=2x1与y轴交点，C（
17、0，1），OC=1，即或，解得：点P的坐标为 （3）结论：存在抛物线的解析式为，顶点E（2，1），对称轴为x=2；点F是直线y=2x1与对称轴x=2的交点，F（2，5），DF=5又A（4，0），AE=如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形AEM1Q1此时DM1=AE=，M1F=DFDEDM1=4，t1=4；菱形AEOM2此时DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6，t2=6；菱形AEM3Q3此时EM3=AE=，DM3=EM3DE=1，M3F=DM3+DF=（1）+5=4+，t3=4+；菱形AM4EQ4此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AEM4Q4，易知
18、AEDM4EH， ，即，得M4E=，DM4=M4EDE=1=， M4F=DM4+DF=+5=，t4=综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4，t2=6，t3=4+，t4=9. 解：（1）令y=0，则 由AB6，且，得： （2）当AB=5时， 抛物线的解析式为： （3）N（x3，0）是抛物线与x轴的交点 若N在x轴的正半轴上， 则 由切割线定理： 若N在x轴的负半轴上， 则 由切割线定理： m的值为1或。定值问题1.【答案】解：（1）证明：如图，连接AC四边形ABCD为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H点，则BH=2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，15