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1、学习必备 欢迎下载 存在性问题 一、探索等腰（边）三角形的存在性 1（09 年十堰 25 题第 2 问）如图，已知抛物线32bxaxy（a0）与x轴交于点 A(1，0)和点 B(3，0)，与 y 轴交于点 C(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 (3)如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标 【解法指导】：本题第(2)问只要求CMP 是等腰三角形，并没有指出哪条是腰，故应分
2、类讨论。要使CMP 为等腰三角形，可以按CP=CM（以 C 为圆心，CM 为半径）或 MP=MC（以 M 为圆心，MC 为半径）或 PC=PM（P 在线段 MC 的中垂线）分类讨论。2（09 年中考题改编）如图，已知抛物线 y=-2(x+m)2+k 的顶点坐标为M(-2,18)，且与 y 轴交于C点.（1）求抛物线与x轴的交点 A,B（点 A 在点 B 的左边）的坐标；（2）在抛物线上存在点 P，使 S PAB=916S MAB,求出 P 点的坐标；学习必备 欢迎下载（3）在抛物线上是否存在点D，使三角形DOC 是以 DO、DC 为腰的等腰三角形？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明
3、理由 二、探索直角三角形的存在性 1（09 年营口 26 题第 4 问）如图，正方形 ABCO 的边长为 5，以 O 为原点建立平顺时针旋转后得到正方形 A1B1C1O(45)，B1C1交 y 轴 于点 D，且 D 为 B1C1的中点，抛物线 yax2bxc 过点 A1、B1、C1(1)求 tan的值；(2)求点 A1的坐标，并直接写出点 B1、点 C1的坐标；(3)求抛物线的函数表达式及其对称轴；(4)在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 PB1C1为直角三角形？若存在，直接写出 所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【解法指导】：本题应该分三种情况讨论：（1）、当PB1 C1=
4、90时，延长A1B1与对称轴的交点即为点 P1;（2）、当PC1 B1=90时，延长C1O与对称轴的交点即为点 P2;（3）、当B1 PC1=90时，以B1C1与为直径的圆与对称轴的交点即为点 P3，P4。2（09 年湛江 28 题第 3 问）已知矩形纸片OABC的长为 4，宽为 3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA 边上的动点（与点OA、不重合），现将POC沿PC翻折得到PEC，再在AB 边上选取适当的点D，将PAD沿PD翻折，得到PFD，使得直线PEPF、重 B A y O C x A1 B1 C1 D 于点求抛物线的解析式设抛物线的对称轴与轴交于点问在
5、对称轴上是否存在点使为等腰三角形若存在请直接写出所有符合条件的点的坐标若不存在请说明理由如图若点为第二象限抛物线上一动点连接求四边形面积的最大值并求此时圆心为半径或以为圆心为半径或在线段的中线分类讨论年中考题改编如图已知抛物线的顶点坐标为且与轴交于点求抛物线与轴的交点点在点的左边的坐标求出点的坐标在抛物线上存在点使学习必备欢迎下载在抛物线上是否存在点使题第问如图正方形的边长为以为原点建立平顺时针旋转后得到正方形于点且为的中点抛物线过点交轴求的值求点的坐标并直接写出点点的坐标求抛物线的函数表达式及其对称轴在抛物线的对称轴上是否存在点使为直角三角形若存在学习必备 欢迎下载 合（1）若点E落在BC边
6、上，如图，求点PCD、的坐标，并求过此三 点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图，设OPxADy，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点PCD、三点的抛物线上是否存在点 Q，使PDQ 是以 PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标 【解法指导】：第（3）问以 PD 为直角边的直角三角形 PDQ 的直角 有两种情况:一是DPQ=90，二是PDQ=90，由(1)可知 CPD=90，故知点 C 符合条件。而当PDQ=90 时，DQPC，故由直线 PC 的解析式可求直线 PQ 的解析式，再由抛物线和直线 PQ 的解析式联立的
7、方程组，可求点 Q 的坐标。3.（2009 白银市）如图（1），抛物线22yxxk与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，3）图（2）、图（3）为解答备用图（1）k ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；（2）设抛物线22yxxk的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积；（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线22yxxk上求点 Q，使BCQ 是以 BC 为直角边的直角C y E B F D A P x O 图 A B D F E C O P x y 图 于点求抛物线的
8、解析式设抛物线的对称轴与轴交于点问在对称轴上是否存在点使为等腰三角形若存在请直接写出所有符合条件的点的坐标若不存在请说明理由如图若点为第二象限抛物线上一动点连接求四边形面积的最大值并求此时圆心为半径或以为圆心为半径或在线段的中线分类讨论年中考题改编如图已知抛物线的顶点坐标为且与轴交于点求抛物线与轴的交点点在点的左边的坐标求出点的坐标在抛物线上存在点使学习必备欢迎下载在抛物线上是否存在点使题第问如图正方形的边长为以为原点建立平顺时针旋转后得到正方形于点且为的中点抛物线过点交轴求的值求点的坐标并直接写出点点的坐标求抛物线的函数表达式及其对称轴在抛物线的对称轴上是否存在点使为直角三角形若存在学习必备
9、 欢迎下载 三角形 解：（1）3k ，A（-1，0），B（3，0）（2）如图（1），抛物线的顶点为 M（1，-4），连结 OM 则 AOC 的面积=23，MOC 的面积=23，MOB 的面积=6，四边形 ABMC 的面积=AOC 的面积+MOC 的面积+MOB 的面积=9（3）如图（2），设 D（m，322 mm），连结 OD 则 0m3，322 mm 0 且 AOC 的面积=23，DOC 的面积=m23，DOB 的面积=-23（322 mm），四边形 ABDC 的面积=AOC 的面积+DOC 的面积+DOB 的面积=629232mm 图（1）图（2）图（3）于点求抛物线的解析式设抛物线的对称
10、轴与轴交于点问在对称轴上是否存在点使为等腰三角形若存在请直接写出所有符合条件的点的坐标若不存在请说明理由如图若点为第二象限抛物线上一动点连接求四边形面积的最大值并求此时圆心为半径或以为圆心为半径或在线段的中线分类讨论年中考题改编如图已知抛物线的顶点坐标为且与轴交于点求抛物线与轴的交点点在点的左边的坐标求出点的坐标在抛物线上存在点使学习必备欢迎下载在抛物线上是否存在点使题第问如图正方形的边长为以为原点建立平顺时针旋转后得到正方形于点且为的中点抛物线过点交轴求的值求点的坐标并直接写出点点的坐标求抛物线的函数表达式及其对称轴在抛物线的对称轴上是否存在点使为直角三角形若存在学习必备 欢迎下载=875)
11、23(232m 存在点 D315()24，使四边形 ABDC 的面积最大为875（4）有两种情况：如图（3），过点 B 作 BQ1BC，交抛物线于点 Q1、交 y 轴于点 E，连接 Q1C CBO=45，EBO=45，BO=OE=3 点 E 的坐标为（0，3）直线 BE 的解析式为3yx 由2323yxyxx ，解得1125xy，；=-=2230.xy，=点 Q1 的坐标为（-2，5）如图（4），过点 C 作 CFCB，交抛物线于点 Q2、交 x 轴于点 F，连接 BQ2 CBO=45，CFB=45，OF=OC=3 点 F 的坐标为（-3，0）直线 CF 的解析式为3yx 由2323yxyxx
12、 ，解得1103xy，；=-2214xy，=-点 Q2 的坐标为（1，-4）综上，在抛物线上存在点 Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使BCQ1、BCQ2图（3）图（4）于点求抛物线的解析式设抛物线的对称轴与轴交于点问在对称轴上是否存在点使为等腰三角形若存在请直接写出所有符合条件的点的坐标若不存在请说明理由如图若点为第二象限抛物线上一动点连接求四边形面积的最大值并求此时圆心为半径或以为圆心为半径或在线段的中线分类讨论年中考题改编如图已知抛物线的顶点坐标为且与轴交于点求抛物线与轴的交点点在点的左边的坐标求出点的坐标在抛物线上存在点使学习必备欢迎下载在抛物线上是否存在点使题第问如图正方形的边长为
13、以为原点建立平顺时针旋转后得到正方形于点且为的中点抛物线过点交轴求的值求点的坐标并直接写出点点的坐标求抛物线的函数表达式及其对称轴在抛物线的对称轴上是否存在点使为直角三角形若存在学习必备 欢迎下载 是以 BC 为直角边的直角三角形 三、探索等腰直角三角形的存在性 1、（08 年义乌 24 题第 2 问）如图 1 所示，直角梯形 OABC 的顶点 A、C 分别在 y 轴正半轴与x轴负半轴上.过点 B、C 作直线l将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点 E（1）将直线l向右平移，设平移距离 CD 为t(t0)，直角梯形 OABC 被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的
14、函数图象如图 2 所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为 4 求梯形上底 AB的长及直角梯形 OABC 的面积；当42 t时，求 S 关于t的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC 重合），在直线AB 上是否存在点 P，使PDE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点 P 的坐标;若不存在，请说明理由 【解法指导】：第(2)问要求PDE 是等腰直角三角形，有以下三种情况：（1）、D=90 时，则 DP=DE；（2）、E=90 时，则 EP=ED；（3）、P=90 时，则 PE=PD.还要考虑 D 的位置是
15、在 x 的正还是负半轴上；E 的位置是在 y 的正还是负半轴上。只有这样全面考虑，才能综合求出 P 的坐标，不漏解。于点求抛物线的解析式设抛物线的对称轴与轴交于点问在对称轴上是否存在点使为等腰三角形若存在请直接写出所有符合条件的点的坐标若不存在请说明理由如图若点为第二象限抛物线上一动点连接求四边形面积的最大值并求此时圆心为半径或以为圆心为半径或在线段的中线分类讨论年中考题改编如图已知抛物线的顶点坐标为且与轴交于点求抛物线与轴的交点点在点的左边的坐标求出点的坐标在抛物线上存在点使学习必备欢迎下载在抛物线上是否存在点使题第问如图正方形的边长为以为原点建立平顺时针旋转后得到正方形于点且为的中点抛物线
16、过点交轴求的值求点的坐标并直接写出点点的坐标求抛物线的函数表达式及其对称轴在抛物线的对称轴上是否存在点使为直角三角形若存在学习必备 欢迎下载 2、（中考改编题）如图，已知抛物线 y=ax2+bx3 与x轴交于 A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心 M 恰好在此抛物线的对称轴上，M的半径为5 （1）填空：M 的坐标是 ；抛物线的解析式是 ；（2）求阴影部分的面积；（3）若点 P 为抛物线上一点，过点 P 作PE x 轴于 E，问是否存在这样的点P，使三角形 PEA 为等腰直角三角形？若存在，求P的坐标；若不存在，说明理由 四、探索相似三角形的存在性 1（
17、07 年苏州第 29 题第 2 问）设抛物线22yaxbx与 x 轴交于两个不同的点 A(一 1，0)、B(m，0)，与 y 轴交于点 C.且ACB=90 (1)求 m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点 D(1，n)在抛物线上，过点 A 的直线1yx 交抛物线于另一 点 E若点 P 在 x 轴上，以点 P、B、D 为顶点的三角形与AEB相似，求点 P 的坐标 (3)在(2)的条件下，BDP 的 外接圆半径等于_ 【解法指导】：本题以相似三角形知识为主线，将函数问题与几何问题串联起来，体现数形结合思想的应用。对于两个三角形相似的探究，首先要从已知条件和图形中，找出两者的确定因素，例如EAB=A
18、BD=45，为相似三角形确定了对应关系，进而分析不确定因素的可能性，即分情况于点求抛物线的解析式设抛物线的对称轴与轴交于点问在对称轴上是否存在点使为等腰三角形若存在请直接写出所有符合条件的点的坐标若不存在请说明理由如图若点为第二象限抛物线上一动点连接求四边形面积的最大值并求此时圆心为半径或以为圆心为半径或在线段的中线分类讨论年中考题改编如图已知抛物线的顶点坐标为且与轴交于点求抛物线与轴的交点点在点的左边的坐标求出点的坐标在抛物线上存在点使学习必备欢迎下载在抛物线上是否存在点使题第问如图正方形的边长为以为原点建立平顺时针旋转后得到正方形于点且为的中点抛物线过点交轴求的值求点的坐标并直接写出点点的
19、坐标求抛物线的函数表达式及其对称轴在抛物线的对称轴上是否存在点使为直角三角形若存在学习必备 欢迎下载 讨论要使得所求的解不重复也不遗漏。2（09 年长沙第 26 题第 3 问）如图，二次函数2yaxbxc（0a）的图象与x轴交于AB、两点，与y轴相交于点C连结ACBCAC、，、两点的坐标分别为(3 0)A，、(03)C，且当4x 和2x 时二次函数的函数值y相等（1）求实数abc，的值；（2）若点MN、同时从B点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BABC、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结MN，将B M N沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，
20、求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点 Q，使得以B，N，Q 为项点的三角形与ABC 相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由 【解法指导】：第（3）问中由于ABC 是直角三角形，且 BN 在 BC 上，故只要确定哪个是直角就能解题，而这就需要分情况考虑.故如果以 B，N，Q 为顶点的三角形与ABC 相似，则可能是BQN=90 或BNQ=90，据此解答。3.（20XX 年遂宁）如图，二次函数的图象经过点 D(0，397)，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6.求二次函数的解析式；该抛物线的对称轴上找一
21、点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标；在抛物线上是否存在点 Q，使QAB 与ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 y O x C N B P M A 于点求抛物线的解析式设抛物线的对称轴与轴交于点问在对称轴上是否存在点使为等腰三角形若存在请直接写出所有符合条件的点的坐标若不存在请说明理由如图若点为第二象限抛物线上一动点连接求四边形面积的最大值并求此时圆心为半径或以为圆心为半径或在线段的中线分类讨论年中考题改编如图已知抛物线的顶点坐标为且与轴交于点求抛物线与轴的交点点在点的左边的坐标求出点的坐标在抛物线上存在点使学习必备欢迎下载在抛物线上是否存在点使题第
22、问如图正方形的边长为以为原点建立平顺时针旋转后得到正方形于点且为的中点抛物线过点交轴求的值求点的坐标并直接写出点点的坐标求抛物线的函数表达式及其对称轴在抛物线的对称轴上是否存在点使为直角三角形若存在学习必备 欢迎下载 解：设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k，顶点 C 的横坐标为 4，且过点(0，397)y=a(x-4)2+k ka 16397 又对称轴为直线 x=4，图象在 x 轴上截得的线段长为 6，A(1，0)，B(7，0)0=9a+k ，由解得 a=93，k=3，二次函数的解析式为：y=93(x-4)23 点 A、B 关于直线 x=4 对称，PA=PB，PA+PD=PB+PDD
23、B，当点 P 在线段 DB 上时 PA+PD 取得最小值，DB 与对称轴的交点即为所求点 P，设直线 x=4 与 x 轴交于点 M，PMOD，BPM=BDO，又PBM=DBO，BPMBDO，BOBMDOPM，3373397PM，点 P 的坐标为(4，33)由知点 C(4，3)，又AM=3，在 RtAMC 中，cotACM=33，ACM=60o，AC=BC，ACB=120o 当点 Q 在 x 轴上方时，过 Q 作 QNx 轴于 N，如果 AB=BQ，由ABC于点求抛物线的解析式设抛物线的对称轴与轴交于点问在对称轴上是否存在点使为等腰三角形若存在请直接写出所有符合条件的点的坐标若不存在请说明理由如
24、图若点为第二象限抛物线上一动点连接求四边形面积的最大值并求此时圆心为半径或以为圆心为半径或在线段的中线分类讨论年中考题改编如图已知抛物线的顶点坐标为且与轴交于点求抛物线与轴的交点点在点的左边的坐标求出点的坐标在抛物线上存在点使学习必备欢迎下载在抛物线上是否存在点使题第问如图正方形的边长为以为原点建立平顺时针旋转后得到正方形于点且为的中点抛物线过点交轴求的值求点的坐标并直接写出点点的坐标求抛物线的函数表达式及其对称轴在抛物线的对称轴上是否存在点使为直角三角形若存在学习必备 欢迎下载 ABQ 有 BQ=6，ABQ=120o，则QBN=60o，QN=33，BN=3，ON=10，此时点 Q(10，33
25、)，如果 AB=AQ，由对称性知 Q(-2，33)当点 Q 在 x 轴下方时，QAB 就是ACB，此时点 Q 的坐标是(4，3)，经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使QABABC，点 Q 的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，3)于点求抛物线的解析式设抛物线的对称轴与轴交于点问在对称轴上是否存在点使为等腰三角形若存在请直接写出所有符合条件的点的坐标若不存在请说明理由如图若点为第二象限抛物线上一动点连接求四边形面积的最大值并求此时圆心为半径或以为圆心为半径或在线段的中线分类讨论年中考题改编如图已知抛物线的顶点坐标为且与轴交于点求抛物线与轴的交点点在点的左边的坐标求出点的坐标在抛物线上存在点使学习必备欢迎下载在抛物线上是否存在点使题第问如图正方形的边长为以为原点建立平顺时针旋转后得到正方形于点且为的中点抛物线过点交轴求的值求点的坐标并直接写出点点的坐标求抛物线的函数表达式及其对称轴在抛物线的对称轴上是否存在点使为直角三角形若存在