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1、 中考数学专题复习存在性问题-作者:_ -日期:_ 2 中考数学专题复习存在性问题 一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线2yx向左平移 1 个单位，再向下平移4 个单位，得到抛物线2()yxhk.所得抛物线与x轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与y轴交于点 C，顶点为 D.（1）写出hk、的值；（2）判断ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段 AC 上是否存在点 M，使AOMABC？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点E 在抛
2、物线的对称轴上，且A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 3 二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线20yaxbx a与双曲线kyx相交于点 A，B已知点 B 的坐标为（2，2），点 A 在第一象限内，且tanAOX4过点 A 作直线 ACx轴，交抛物线于另一点C（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使ABD 的面积等于ABC
3、的面积若存在，写出点D 的坐标；若不存在，说明理由 4.如图，抛物线yax2c（a0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A（2,0），B（1,3）（1）求抛物线的解析式；（3 分）（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2 分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使SPAD4SABM成立，求点P的坐标（4 分）(4)在抛物线的 BD 段上是否存在点Q 使三角形 BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说明理由。4 三、二次函数中直角三角形的存在性问题 5.如图,在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形,ACB=90
4、,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线2yxbxc经过 A，B 两点，抛物线的顶点为 D（1）求b,c的值；（2）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(点 A、B 除外)，过点 E 作x轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点 P，使EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由.x y C B _ D _ A O AOCBDxy26 题备用图AOCBDxy26 题图 5 四、二次函数中等腰三角形的存在性问题 6.如图，直线3
5、3 xy交x轴于 A 点，交y轴于 B 点，过 A、B 两点的抛物线交x轴于另一点 C（3,0）.求抛物线的解析式;在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题 7如图，二次函数y=x2axb的图像与x轴交于A(21，0)、B(2，0)两点，且与y轴交于点C；(1)求该拋物线的解析式，并判断ABC的形状；(2)在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；(3)在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点 为顶点的四边形是
6、直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。y A B C O x y x O C B A 6 六、二次函数中菱形的存在性问题 8如图，抛物线经过原点 O 和 x 轴上一点 A（4，0），抛物线顶点为 E，它的对称轴与 x 轴交于点 D 直线 y=2x1 经过抛物线上一点 B（2，m）且与 y 轴交于点 C，与抛物线的对称轴交于点 F（1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若 SADP=SADC，求出所有符合条件的点 P 的坐标；（3）点 Q 是平面内任意一点，点 M 从点 F 出发，沿对称轴向上以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，设点 M 的
7、运动时间为 t 秒，是否能使以 Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M 的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由 七、二次函数中与圆有关存在性问题 9.已知：抛物线yxm xm21264()与 x 轴交于两点 A（x1，0），B（x2，0）()xxxx12120，它的对称轴交 x 轴于点 N（x3，0），若 A，B 两点距离不大于 6，（1）求 m 的取值范围；（2）当 AB=5 时，求抛物线的解析式；（3）试判断，是否存在 m 的值，使过点 A 和点 N 能作圆与 y 轴切于点（0，1），或过点 B 和点 N 能作圆与 y 轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的 m
8、 的值，若不存在试说明理由 7 定值问题：1.如图所示，在菱形 ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点 E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且 E、F不与 BCD重合（1）证明不论 E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有 BE=CF；（2）当点 E、F在 BCCD上滑动时，分别探讨四边形 AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 1、【答案】解：（1）由平移的性质知，2()yxhk的顶点坐标为（，），14hk ，。（2）由（1）得2=14yx.当=0y时，2140 x 解之，得1231xx，。A(3 0)B 1 0 ，(，)
9、.又当0 x 时，22=140 143yx，C 点坐标为（0，3）。8 又抛物线顶点坐标 D（1，4），作抛物线的对称轴1x 交x轴于点 E，DF y轴于点 F。易知 在 RtAED 中，AD2=22+42=20，在 RtAOC 中，AC2=32+32=18，在 RtCFD 中，CD2=12+12=2，AC2 CD2AD2。ACD 是直角三角形。（3）存在作 OMBC 交 AC 于 M，点即为所求点。由（2）知，AOC 为等腰直角三角形，BAC450，AC183 2。由AOM ABC，得AOAMABAC。即3AM9,AM2443 2。过 M 点作 MGAB 于点 G，则 AG=MG=29281
10、942164，OG=AOAG=39344。又点 M 在第三象限，所以 M（34，94）。2、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为20yaxbxc a，抛物线过 A（2，0），B（3，3），O（0，0）可得 42=093=3=0ab cab cc，解得=1=2=0abc。抛物线的解析式为22yxx。9（2）当 AE 为边时，A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，DE=AO=2，则 D 在x轴下方不可能，D 在x轴上方且 DE=2，则 D1（1，3），D2（3，3）。当 AO 为对角线时，则 DE 与 AO 互相平分。点 E 在对称轴上，且线段 AO 的中点横坐标为1，由对称性知，符合条件的
11、点D 只有一个，与点 C 重合，即 C（1，1）。故符合条件的点 D 有三个，分别是 D1（1，3），D2（3，3），C（1，1）。（3）存在，如图：B（3，3），C（1，1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2BOC 是直角三角形。假设存在点 P，使以 P，M，A 为顶点的 三角形与BOC 相似，设 P（x，y），由题意知x0，y0，且22yxx，若AMPBOC，则AMPMBOCO。即 x+2=3（x2+2x）得：x1=13，x2=2（舍去）当x=13时，y=79，即 P（13，79）。若PMABOC，则，BOPMCOBO。即：x2+2x=3（x+
12、2）得：x1=3，x2=2（舍去）当x=3 时，y=15，即 P（3，15）故符合条件的点 P 有两个，分别是 P（13，79）或（3，15）。3、【答案】解：（1）把点 B（2，2）的坐标代入kyx得，22k，k4。10 双曲线的解析式为：4yx。设 A 点的坐标为（m，n）A 点在双曲线上，mn4。又tanAOX4，mn4，即 m4n。n21，n1。A 点在第一象限，n1，m4。A 点的坐标为（1，4）。把 A、B 点的坐标代入2yaxbx得，4422a bab，解得，a1，b3。抛物线的解析式为：23yxx。（2）ACx轴，点 C 的纵坐标 y4，代入23yxx得方程，2340 xx，解
13、得x14，x21（舍去）。C 点的坐标为（4，4），且 AC5。又ABC 的高为 6，ABC 的面积125615。（3）存在 D 点使ABD 的面积等于ABC 的面积。理由如下：过点 C 作 CDAB 交抛物线于另一点 D，此时ABD 的面积等于ABC 的面积（同底：AB，等高：CD 和 AB 的距离）。直线 AB 相应的一次函数是：22yx，且 CDAB，可设直线 CD 解析式为2yxp，把 C 点的坐标（4，4）代入可得，12p。直线 CD 相应的一次函数是：212yx。解方程组23212yxxyx，解得，318xy。点 D 的坐标为（3，18）。11 4.（1）、因为点A、B均在抛物线上
14、，故点A、B的坐标适合抛物线方程 403acac 解之得：14ac；故24yx为所求（2）如图 2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点 设BD的解析式为ykxb，则有203kbkb ，12kb，故BD的解析式为2yx；令0,x 则2y ，故(0,2)M(3)、如图 3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB 易知BN=MN=1，易求2 2,2AMBM 12 2222ABMS；设2(,4)P x x，依题意有：2144 22AD x，即：21444 22x 解之得：2 2x ，0 x，故符合条件的P点有三个：123(2 2,4),(2 2,4),(0,
15、4)PPP xyNMOP2P1BDAP3C图 3 12 5.解答：解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（4，5），解得：b=2，c=3；（2）如图：直线 AB 经过点 A（1，0），B（4，5），直线 AB 的解析式为：y=x+1，二次函数 y=x22x3，设点 E（t，t+1），则 F（t，t22t3），EF=（t+1）（t22t3）=（t）2+，当 t=时，EF 的最大值为，点 E 的坐标为（，）；（3）如图：顺次连接点 E、B、F、D 得四边形 EBFD 可求出点 F 的坐标（，），点 D 的坐标为（1，4）S四边形
16、 EBFD=SBEF+SDEF=（4）+（1）=；如图：）过点 E 作 aEF 交抛物线于点 P，设点 P（m，m22m3）则有：m22m2=，解得：m1=，m2=，P1（，），P2（，），）过点 F 作 bEF 交抛物线于 P3，设 P3（n，n22n3）则有：n22n2=，解得：n1=，n2=（与点 F 重合，舍去），P3（，），综上所述：所有点 P 的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）能使EFP 组成以 EF 为直角边的直角三角形 13 6.解：（1）当x=0 时，y=3 当y=0 时，x=1 A（1，0），B（0，3）C（3，0）1 分 设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x3）
17、3=a1（3）a=1 此抛物线的解析式为y=（x+1）（x3）=-x2+2x+32 分（2）存在 抛物线的对称轴为：x=231=14 分 如图对称轴与x轴的交点即为 Q1 OA=OQ1，BOAQ1 AB=Q1B Q1（1，0）6 分 当Q2A=Q2B时，设Q2的坐标为（1，m）22+m2=12+（3m）2 m=1 Q2（1，1）8 分 当Q3A=AB时，设Q3（1，n）22+n2=12+32 n0 n=6 Q3（1，6）符合条件的Q点坐标为Q1（1，0），Q2（1，1），Q3（1，6）10 分 14 7、答案：解(1)根据题意，将A(21，0)，B(2，0)代入y=x2axb中，得024021
18、41baba，解这个方程，得a=23，b=1，该拋物线的解析式为y=x223x1，当 x=0 时，y=1，点C的坐标为(0，1)。在AOC中，AC=22OCOA=221)21(=25。在BOC中，BC=22OCOB=2212=5。AB=OAOB=212=25，AC 2BC 2=455=425=AB 2，ABC是直角三角形。(2)点D的坐标为(23，1)。(3)存在。由(1)知，ACBC。若以BC为底边，则BC/AP，如图 1 所示，可求得直线 BC的解析式为y=21x1，直线AP可以看作是由直线 BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y=21xb，把点A(21，0)代入直线AP的解析式，求得
19、b=41，直线AP的解析式为y=21x41。点P既在拋物线上，又在直线AP上，点P的纵坐标相等，即x223x1=21x41，解得x1=25，x2=21(舍去)。当x=25时，y=23，点P(25，23)。若以AC为底边，则BP/AC，如图 2 所示。可求得直线AC的解析式为y=2x1。直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y=2xb，把点B(2，0)代 入直线BP的解析式，求得b=4，直线BP的解析式为y=2x4。点P既在拋物线上，又在直线BP上，点P的纵坐标相等，即x223x1=2x4，解得x1=25，x2=2(舍去)。当x=25时，y=9，点P的坐标为(25，9)
20、。综上所述，满足题目条件的点P为(25，23)或(25，9)。y A B C O x P y A B C O P x 15 8解：（1）点 B（2，m）在直线 y=2x1 上m=3 即 B（2，3）又抛物线经过原点 O设抛物线的解析式为 y=ax2+bx 点 B（2，3），A（4，0）在抛物线上，解得：设抛物线的解析式为（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若 SADP=SADC，又点 C 是直线 y=2x1 与 y 轴交点，C（0，1），OC=1，即或，解得：点 P 的坐标为 （3）结论：存在 抛物线的解析式为，顶点 E（2，1），对称轴为 x=2；点 F 是直线 y=2x1 与对称轴 x=2
21、 的交点，F（2，5），DF=5 又A（4，0），AE=如右图所示，在点 M 的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形 AEM1Q1 此时 DM1=AE=，M1F=DFDEDM1=4，t1=4；菱形 AEOM2 此时 DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6，t2=6；菱形 AEM3Q3 此时 EM3=AE=，DM3=EM3DE=1，M3F=DM3+DF=（1）+5=4+，t3=4+；菱形 AM4EQ4 此时 AE 为菱形的对角线，设对角线 AE 与 M4Q4交于点 H，则 AEM4Q4，易知AEDM4EH，16，即，得 M4E=，DM4=M4EDE=1=，M4F=DM4+DF=+5=，t4=综
22、上所述，存在点 M、点 Q，使得以 Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形；时间 t 的值为：t1=4，t2=6，t3=4+，t4=9.解：（1）令 y=0，则xm xm21260()xxxxxx121212000，且，xmx12232，AmB()()23020，ABmm22352()由 AB6，且xx120，得：4605263212mmmm 123m （2）当AB=5时，5250mm，抛物线的解析式为：yxx26 （3）N（x3，0）是抛物线与x 轴的交点Nm()2120，若 N 在 x 轴的正半轴上，则OGONmOB12122，由切割线定理：OGONOB2 121221mm 若 N 在
23、x 轴的负半轴上，则ONmOAm12232，由切割线定理：OGONOA2 112232mm()17 mm12232232，123mm 232()舍去 m 232m 的值为 1 或232。定值问题 1.【答案】解：（1）证明：如图，连接 AC 四边形 ABCD为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC 和ACD 为等边三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF 中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四边形 AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则 SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作 AHBC 于 H点，则 BH=2，22AECFABC11SSBC AHBCABBH4 322四形边。由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF的边 AE与 BC 垂直时，边 AE最短 故AEF的面积会随着 AE的变化而变化，且当 AE最短时，正三角形 AEF的面积会最小，-THE END,THERE IS NO TXT FOLLOWING.-