2022年高中函数整理 .pdf

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1、高考数学必胜秘诀在哪？概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结二、函数1.映射f: AB的概念。在 理解映射概念时要注意：A 中元素必须都有象且唯一；B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（ 1） 设:fMN是集合M到N的映射，下列说法正确的是A、M中每一个元素在N中必有象B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合（答：A） ；（2）点),(ba在映射f的作用下的象是),(baba，则在f作用下点) 1 ,3(的原象为点_（答：（2， 1） ） ；（3）若4,3 ,2, 1A，,cbaB，, ,a b cR，则A到B的映射有个，B

2、到A的映射有个，A到B的函数有个（答： 81,64,81 ） ；（ 4） 设集合1,0,1,1,2,3, 4,5MN，映射:fMN满足条件“对任意的xM，( )xfx是奇数”，这样的映射f有_个（答： 12） ；（5） 设2:xxf是集合 A 到集合 B 的映射，若 B=1,2 ， 则BA一定是 _ （答：或1 ）. 2.函数f: AB是特殊的映射 。特殊在 定义域 A和值域 B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数( )f x，xF，那么集合(,)|( ),(, ) |1x yyf xxFx yx中所含元素的

3、个数有个（答：0 或 1） ；（2）若函数42212xxy的定义域、 值域都是闭区间2,2b，则b（答：2）3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数” ，那么解析式为2yx，值域为 4，1 的“天一函数”共有_个（答： 9）4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则） ：（ 1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中0,0 xa且1a，三角形

4、中0A, 最大角3，最小角3等。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 如（ 1） 函数24lg3xxyx的定义域是 _(答：(0,2)(2,3)(3,4)；（2）若函数2743kxykxkx的定义域为R，则k_(答：30,4)；（3）函数( )f x的定义域是 , a b，0ba，则函数( )( )()F xfxfx的定义域是 _(答： ,aa)；（4）设函数2( )lg(21)f xaxx，若( )fx的定义域是R

5、，求实数a的取值范围；若( )f x的值域是 R，求实数a的取值范围（答：1a；01a）（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知( )f x的定义域为 , a b,其复合函数( )f g x的定义域由不等式( )ag xb解出即可；若已知 ( )f g x的定义域为 , a b,求( )f x的定义域， 相当于当 , xa b时，求( )g x的值域（即( )f x的定义域）。如（1）若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为 _（答：42|xx） ；（2） 若函数2(1)f x的定义域为 2,1)， 则函数( )f x的定义域为 _ （答

6、： 1,5 ） 5.求函数值域（最值）的方法：（1） 配方法 二次函数 （二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间, m n上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合 ，注意“ 两看 ” ：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（ 1） 求函数225, 1,2yxxx的值域（答：4,8） ；（2）当2,0(x时，函数3) 1(4)(2xaaxxf在2x时取得最大值，则a的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

7、第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 取值范围是 _（答：21a） ；（3）已知( )3(24)x bf xx的图象过点（ 2,1） ，则1212( )( )()F xfxfx的值域为 _（答： 2, 5）（2）换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（ 1）22sin3cos1yxx的值域为 _（答：17 4,8） ；（2）211yxx的值域为 _（答：(3,)） （令1xt，0t。运用换元法时，要特别要注意新元t的范围 ） ；（ 3 ）sincossincosyxxxx的 值 域 为 _ （ 答

8、：11,2 2） ；（ 4 ）249yxx的值域为 _（答：1,3 24） ；（3）函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如 求函数2 sin11siny，313xxy，2sin11cosy的值域（答：1(,2、 （0,1） 、3(, 2） ；（4）单调性法 利用一次函数，反比例函数， 指数函数， 对数函数等函数的单调性，如求1(19)yxxx，229sin1sinyxx，532log1xyx的值域为 _（答：80(0,)9、11,92、2,10） ；（5）数形结合法 函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、

9、 直线斜率、等等，如（ 1） 已知点( , )P x y在圆221xy上，求2yx及2yx的取值范围（答：33,33、5,5） ；（2）求函数22(2)(8)yxx的值域（答：10,)） ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - （3） 求函数2261345yxxxx及2261345yxxxx的值域（答：43,)、(26,26)）注意 ：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使

10、两定点在x轴的同侧。（6）判别式法 对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：2bykx型，可直接用不等式性质，如求232yx的值域（答：3(0,2）2bxyxmxn型，先化简，再用均值不等式，如（ 1） 求21xyx的值域（答：1(,2） ；（2）求函数23xyx的值域（答：10,2）22xm xnyxmxn型，通常用判别式法；如已知函数2328log1mxxnyx的定义域为R，值域为 0，2，求常数,m n的值（答：5mn）2xm xnymxn型，可用判别式法或均值不等式法，如求21

11、1xxyx的值域（答：(,31,)）（7）不等式法 利用基本不等式2( ,)abab a bR求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如 设12,x a ay成等差数列，12,x b by成等比数列，则21221)(bbaa的取值范围是_.（答：(,04,)） 。（8）导数法 一般适用于高次多项式函数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - -

12、- 如求函数32( )2440f xxxx， 3,3x的最小值。（答： 48）提醒 ： （ 1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值0()f x时，一定首先要判断0 x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（ 1） 设函数2(1) .(1)( )41.(1)xxf xxx，则使得( )1f x的自变量x的取值范围是_（答：(, 20,10）

13、；（2）已知1(0)( )1(0)xf xx，则不等式(2)(2)5xxf x的解集是 _（答：3(,2）7.求函数解析式的常用方法：（1） 待定系数法 已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2( )f xaxbxc；顶点式：2( )()f xa xmn；零点式：12( )()()f xa xxxx，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知( )f x为二次函数，且)2()2(xfxf，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为22, 求( )f x的解析式。（答：21( )212f xxx）（2）代换（配凑）法已知形如( ( )f g x的表达式，

14、求( )fx的表达式。如（1）已知,s i n)c o s1(2xxf求2xf的解析式（答：242()2,2,2f xxxx） ；（2）若221)1(xxxxf，则函数)1(xf=_（答：223xx） ；（3）若函数)(xf是定义在 R 上的奇函数，且当),0(x时，)1 ()(3xxxf，那么当)0 ,(x时，)(xf=_（答：3(1)xx）.这里需 值得注意 的是所求解析名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 式的

15、定义域的等价性，即( )fx的定义域应是( )g x的值域。（3）方程的思想 已知条件是含有( )f x及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于( )f x及另外一个函数的方程组。如（ 1） 已知( )2 ()32fxfxx，求( )f x的解析式（答：2( )33f xx） ；（2）已知( )f x是奇函数，)(xg是偶函数， 且( )f x+)(xg=11x,则( )f x= _（答：21xx）。8. 反函数：（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有( )0(0)f xx有

16、反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数223yxax在区间 1, 2上存在反函数的充要条件是A、,1aB、2,aC、1,2aD、,1a2,（答： D）（2）求反函数的步骤：反求x；互换x、y；注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注 意 函 数(1)yfx的 反 函 数 不 是1(1)yfx， 而 是1( )1yfx。如 设)0()1()(2xxxxf.求)(xf的 反 函 数)(1xf（ 答 ：11()(1)1fxxx） （3）反函数的性质：反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数)(xf满足条件)3(axf= x， 其中a 0 ， 若)(xf的反函数

17、)(1xf的定义域为aa4,1，则)(xf的定义域是 _（答： 4,7）.函数( )yf x的图象与其反函数1( )yfx的图象关于直线yx对称， 注意 函数( )yf x的图象与1( )xfy的图象相同。如（ 1）已知函数( )yf x的图象过点 (1,1),那么4fx的反函数的图象一定经过点_（答： （1,3） ） ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - （ 2） 已知函数132)(xxxf，若函数( )yg x

18、与)1(1xfy的图象关于直线xy对称，求(3)g的值（答：72） ；1( )( )f abfba。如（ 1） 已知函数)24(log)(3xxf，则方程4)(1xf的解x_（答 ：1） ；（2）设函数 f(x)的图象关于点 （1,2）对称， 且存在反函数1( )fx，f (4)0，则1(4)f（答 ： 2）互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知fx是R上的增函数， 点1,1 ,1,3AB在它的图象上，1fx是它的反函数，那么不等式12log1fx的解集为 _（答：（2,8） ） ；设( )f x的定义域为A，值域为B，则有1( )()ffxx xB，1( )ff xx()xA

19、，但11( )( )f fxff x。9.函数的奇偶性 。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数)(xf2sin(3)x，25 ,3x为奇函数，其中)2,0(，则的值是（答： 0） ；（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如判断函数2|4 | 49xyx的奇偶性 _（答：奇函数） 。利用函数奇偶性定义的等价形式：( )()0fxfx或()1( )fxf x（( )0f x） 。如判断11( )()212xf xx的奇偶性 _.（答：偶函数）图像

20、法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - （3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. 若( )f x为偶函数，则()( )(|)fxf xfx. 如 若定义在R 上的偶函数( )f x在(,0)上是减函数，且)31(

21、f=2，则不等式2)(log81xf的解集为 _. （答：(0,0.5)(2,)）若奇函数( )f x定义域中含有0，则必有(0)0f. 故(0)0f是( )fx为奇函数的既不充分也不必要条件。如若22( )21xxaafx为奇函数，则实数a_（答： 1）. 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成 “一个奇函数与一个偶函数的和（或差） ” 。如设)(xf是定义域为R 的任一函数，( )()( )2f xfxF x，( )()( )2f xfxG x。判断)(xF与)(xG的奇偶性；若将函数) 110lg()(xxf，表示成一个奇函数)(xg和一个偶函数)(xh之和，则)(xg_（答

22、：)(xF为偶函数，)(xG为奇函数；)(xg12x）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外” . 既奇又偶函数有无穷多个（( )0f x，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.10. 函数的单调性 。（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）、导数法（在区间( , )a b内，若总有( )0fx，则( )f x为增函数；反之，若( )f x在区间( , )a b内为增函数，则( )0fx，请 注意两者的区别所在。如已知函数3( )f xxax在区间1,)上是增函数，则a的取值范围是 _( 答：(0,3）) ；在选择填空题中还可用数形结合法、特

23、殊值法等等，特别要注意(0byaxax0)b型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)bbaa，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 减区间为,0),(0,bbaa. 如（ 1）若函数2) 1(2)(2xaxxf在区间（，4 上是减函数，那么实数a的取值范围是 _( 答：3a）) ；（2）已知函数1( )2axf xx在区间2,上为增函数， 则实数a的取值范围 _（答：1(,)2）；（3）若函数log40,1

24、aafxxaax且的值域为R，则实数a的取值范围是_( 答：04a且1a）) ；复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减 ，如函数212log2yxx的单调递增区间是_( 答：（ 1,2 ）) 。（2）特别提醒： 求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数2( )log (3)af xxax在区间(,2a上为减函数，求a的取值范围（答：(1,2 3)）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗 ? 比较大小；解不等式；求参数范围）. 如已知奇函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数 , 若0)

25、12() 1(mfmf，求实数m的取值范围。（答：1223m）11. 常见的图象变换 函数axfy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿x轴向左平移a个单位得到的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 如设( )2, ( )xf xg x的图像与( )f x的图像关于直线yx对称，( )h x的图像由( )g x的图像向右平移1 个单位得到，则( )h x为_(答：2( )log (1)h xx) 函数axfy()0(

26、a的图象是把函数xfy的图象沿x轴向右平移a个单位得到的。如（ 1） 若2(199)443f xxx，则函数( )f x的最小值为 _(答： 2)；（2）要得到)3lg(xy的图像， 只需作xylg关于 _轴对称的图像， 再向 _平移 3 个单位而得到(答：y；右 )；（3）函数( )lg(2)1f xxx的图象与x轴的交点个数有_个(答： 2) 函数xfy+a)0(a的图象是把函数xfy助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；函数xfy+a)0(a的图象是把函数xfy助图象沿y轴向下平移a个单位得到的；如将函数aaxby的图象向右平移2 个单位后又向下平移2 个单位 ,所得图象如果与 原 图 象

27、 关 于 直 线xy对 称 , 那 么0, 1)(baARbaB, 1)(0, 1)(baCRbaD,0)(答： C) 函数axfy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿x轴伸缩为原来的a1得到的。如（ 1） 将函数( )yf x的图像上所有点的横坐标变为原来的13（纵坐标不变） ，再将此图像沿x轴方向向左平移2 个单位，所得图像对应的函数为_(答：(36)fx)；（2）如若函数(21)yfx是偶函数， 则函数(2 )yfx的对称轴方程是_(答：12x) 函数xafy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

28、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 到的 . 12. 函数的对称性 。 满足条件fxafbx的函数的图象关于直线2abx对称。如已知二次函数)0()(2abxaxxf满足条件)3()5(xfxf且方程xxf)(有等根，则)(xf_(答：212xx)； 点( ,)x y关于y轴的对称点为(,)x y；函数xfy关于y轴的对称曲线方程为xfy； 点( ,)x y关于x轴的对称点为( ,)xy；函数xfy关于x轴的对称曲线方程为xfy； 点( ,)x y关于原点的对称点为(,)xy；函数x

29、fy关于原点的对称曲线方程为xfy； 点( ,)x y关于直线yxa的对称点为( (),)yaxa；曲线( , )0f x y关于直线yxa的对称曲线的方程为( (),)0fyaxa特别地，点( ,)x y关于直线yx的对称点为( ,)y x；曲线( , )0f x y关于直线yx的对称曲线的方程为( , )f y x0；点( ,)x y关于直线yx的对称点为(,)yx；曲线( , )0f x y关于直线yx的对称曲线的方程为(,)0fyx。如己知函数33( ),()232xfxxx, 若)1(xfy的图像是1C, 它关于直线yx对称图像是22,CC关于原点对称的图像为33,CC则对应的函数解

30、析式是_（答：221xyx） ；曲线( ,)0fx y关于点( , )a b的对称曲线的方程为(2,2)0faxby。如若函数xxy2与)(xgy的图象关于点（-2 ，3）对称，则)(xg_（答：276xx）形如(0,)axbycadbccxd的图像是双曲线，其两渐近线分别直线dxc( 由分母为零确定) 和直线ayc( 由分子、分母中x的系数确定 ) ，对称中心是点(,)d ac c。如已知函数图象C与2:(1)1C y xaaxa关于直线yx对称，且图象C关于点（2， 3）对称，则a 的值为 _（答： 2）|( ) |f x的图象先保留( )f x原来在x轴上方的图象， 作出x轴下方的图象关

31、于x轴的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；(|)fx的图象先保留( )f x在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如（ 1） 作出函数2|log (1)|yx及2log |1|yx的图象；（2）若函数)(xf是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(xfxfxF的图象关于_对称 （答：y轴）提醒 ： （1）从结论可看出，求对称曲

32、线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像1C与2C的对称性， 需证两方面 ：证明1C上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在2C上；证明2C上任意点关于对称中心（对称轴） 的对称点仍在1C上。如（1）已知函数)(1)(Raxaaxxf。求证：函数)(xf的图像关于点( , 1)M a成中心对称图形；（2）设曲线 C 的方程是xxy3,将 C 沿x轴, y轴正方向分别平行移动, t s单位长度后得曲线1C。写出曲线1C的方程 （答：3()()yxtxts） ；证明曲线C 与1C关

33、于点2,2stA对称。13. 函数的周期性 。（1）类比“三角函数图像”得：若( )yfx图像有两条对称轴,()xa xb ab，则( )yf x必是周期函数，且一周期为2 |Tab；若( )yfx图像有两个对称中心( ,0),( ,0)()A aB bab，则( )yf x是周期函数，且一周期为2 |Tab；如果函数( )yf x的图像有一个对称中心( ,0)A a和一条对称轴()xb ab，则函数( )yf x必是周期函数，且一周期为4 |Tab；如已知定义在R上的函数( )f x是以 2 为周期的奇函数，则方程( )0f x在 2,2上至少有 _个实数根（答：5）（2） 由周期函数的定义

34、 “函数( )f x满足xafxf(0)a，则( )fx是周期为a的周期函数” 得：函数( )f x满足xafxf，则( )f x是周期为2a的周期函数；若1()(0)( )f xaaf x恒成立，则2Ta；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 若1()(0)( )f xaaf x恒成立，则2Ta. 如 (1)设)(xf是),(上 的 奇 函 数 ，)()2(xfxf， 当10 x时 ，xxf)(，则)5 .47(

35、f等于 _(答：5.0)；(2) 定义在R上的偶函数( )f x满足(2)( )f xf x，且在 3,2上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则(sin),(cos)ff的大小关系为_(答 ：(sin)(cos)ff)；（3） 已知( )f x是偶函数， 且(1)f=993，( )g x=(1)f x是奇函数，求(2005)f的值 (答：993)；（ 4 ） 设fx是 定 义 域 为R的 函 数 ， 且21fxfx1fx， 又222f，则2006f= (答：222)14.指数式、对数式：mnmnaa，1mnmnaa， ，01a，log 10a，log1aa，lg 2lg51，loglnex

36、x，log(0,1,0)baaNNb aaN，logaNaN，logloglogcacbba，loglogmnaanbbm。如（ 1）235log 25 log 4 log 9的值为 _(答：8)；（2）2log81( )2的值为 _(答：164) 15. 指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0 或 1） ； （ 4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。16. 函数的应用 。 （1）求解数学应用题的一般步骤：审题认真读题，确切理解题意， 明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；建模通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了

37、注上符合实际意义的定义域 ；解模求解所得的数学问题；回归将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - （2）常见的函数模型有：建立一次函数或二次函数模型；建立分段函数模型；建立指数函数模型；建立byaxx型。17. 抽象函数 ： 抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（

38、1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：正比例函数型：( )(0)f xkx k-()( )( )f xyf xfy；幂函数型：2( )f xx-()( )( )f xyf x fy，( )()( )xf xfyf y；指数函数型：( )xf xa-()( )( )f xyf x f y，( )()( )f xf xyf y；对数函数型：( )logaf xx-()( )( )f xyf xf y，()( )( )xff xfyy；三角函数型：( )tanf xx-( )( )()1( )( )f xfyf xyfx f y。如已知)(xf是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的

39、最小正周期为T，则)2(Tf_（答： 0）（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（ 1） 设函数( )()f xxN表示x除以3 的余数，则对任意的, x yN，都有A、(3)( )f xfx B、()( )( )fxyf xfy C 、(3 )3( )fxf x D、()( )( )f xyf x fy（答： A） ；（2）设)(xf是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(xfxfxf，如果23lg)1(f，15lg)2(f，求)2001(f（答： 1） ；（3）如设)(xf是定义在R上的奇函数， 且)()2(xfxf，证明： 直线1x是函数)(

40、xf图象的一条对称轴；（4）已知定义域为R的函数)(xf满足)4()(xfxf，且当2x时，)(xf单调递增。如果421xx，且0)2)(2(21xx，则)()(21xfxf的值的符号是_（答：负数）（3）利用一些方法（如赋值法（令x0 或 1，求出(0)f或(1)f、令yx或yx等） 、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（ 1） 若xR，( )f x满足()( )f xyf x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - -

41、 ( )fy，则( )f x的奇偶性是 _（答：奇函数） ；（2）若xR，( )f x满足()( )fxyf x( )fy，则( )f x的奇偶性是 _（答：偶函数） ；（3）已知( )f x是定义在( 3,3)上的奇函数， 当03x时，( )f x的图像如右图所示，那么不等式( ) cos0f xx的解集是_（答：(, 1)(0,1)(,3)22） ；（4）设( )f x的定义域为R，对任意, x yR，都有()( )( )xff xf yy，且1x时，( )0f x，又1( )12f，求证( )f x为减函数；解不等式2( )(5)f xfx.（答：0,14,5） O1 2 3 x y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -