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1、中考数学压轴题-二次函数-存在性问题第10节 等边三角形的存在性 方法点拨一、两定一动A、确定点的位置B、求解过程二、两动一定三、方法总结 例题演练题组1：两定一动1如图，已知抛物线C1与x轴交于A（4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，2）将抛物线C1向右平移m（m0）个单位得到抛物线C2，C2与x轴交于D，E两点（点D在点E的左侧），与抛物线C1在第一象限交于点M（1）求抛物线C1的解析式，并求出其对称轴；（2）当m1时，直接写出抛物线C2的解析式；直接写出用含m的代数式表示点M的坐标（3）连接DM，AM在抛物线C1平移的过程中，是否存在ADM是等边三角形的情况？若存在，请求出此
2、时m的值；若不存在，请说明理由2如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y1相切若存在，求出点E的坐标，并求E的半径；若不存在，说明理由 3如图，抛物线C1：yx2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C（1）求抛物线C1的
3、解析式及顶点坐标；（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；（3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使PAC为等边三角形，求m的值 4如图，抛物线yax2+x+c经过点A（1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MPy轴，交抛物线于点P（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作M，当M与坐标轴相切时，求出M的半径 题组2：两动一定5如图，抛物线yx22x+c经过点A（2，5），与x轴相
4、交于B，C两点，点B在点C的左边（1）求抛物线的函数表达式与B，C两点坐标；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将BCD沿直线BD翻折得到BCD，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式 6如图，抛物线的解析式为yx+5，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线对称轴与直线BC交于点D（1）E点是线段BC上方抛物线上一点，过点E作直线EF平行于y轴，交BC于点F，若线段CD长度保持不变，沿直线BC移动得到CD，当线段EF最大时，求
5、EC+CD+DB的最小值；（2）Q是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点P是APQ为等边三角形，若存在，请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由7综合与探究如图，抛物线yx2x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90得到线段MD，连接CD、BD设点M运动的时间为t（t0），请解答下列问题：（1）求点A的坐标与直线l的表达式；（2）请直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时t的值；求点M运动的过程中线段CD长度的最小值题组3：三动点8如图1，抛物线C1：yax22ax+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C已知点A的坐标为（1，0），点O为坐标原点，OC3OA，抛物线C1的顶点为G（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A、B，顶点为G，当ABG是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由